Giải bài tập Toán 11 Bài 1. Vectơ trong không gian sự đồng phẳng của các vectơ

Chương III
VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN,
QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN
Bài 1.
VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN - sự ĐÔNG PHANG của các VECTƠ
A. KIẾN THỨC CẦN NAM VỮNG
I. Các khái niệm vectơ
1. Vectư là gì?
Vectơ Ali
B
A : điểm đầu
B: điểm cuối
Hướng: từ A đèn B
Đường thẳng AB: giá
Độ dài: Ịab| - AB
Định nghĩa:
Vectơ là một đoạn thẳng có hướng nghĩa là trong hai điếm mút của đoạn thẳng đã chỉ rõ điểm nào là điếm đầu, điểm nào là điểm cuối.
Đường thẳng AB mang vectơ AB gọi là giá của vectơ AB.
Độ dài: Độ dài của một vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó, chẳng hạn:
Độ dài của vectơ â, kí hiệu là I ã I.
Độ dài của vecto' AB là |ab| = AB.
Vectơ - không
Vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau gọi là vectơ — không. Kí hiệu õ . Độ dài của vectơ - không là I õ I =0.
Hai vectơ cùng phương, cùng hướng
Định nghĩa
Hai vectơ cùng phương là hai vectơ có giá là hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.
Qui ước: Vectơ õ cùng phương với mọi vectơ.
Nếu hai vectơ cùng phương thì hoặc chúng cùng hướng, hoặc ngược hướng.
Qui ước: Vectơ 0 cùng hướng với mọi vectơ.
Hai vectơ bằng nhau
Định nghĩa và kí hiệu
Hai vectơ bằng nhau là hai vectơ cùng hướng và cùng độ dài
Hai vectơ ã và b bằng nhau, ta viết ã = b.
II. Cộng hai vectơ
Phép cộng hai vectơ trong không gian được định nghĩa tương tự như phép cộng hai vectơ trong mặt phẳng. Trong không gian, phép cộng vectơ có các tính chất sau đây:
ả + b = b + ã (tính chất giao hoán)
(ả + b) + C = á + (b + C ) (tính chất kết hợp)
á + Ổ = Ó+ ả = ã (tính chất của vectơ ó )
Chú ỷ:
Quy tắc ba điểm (Hệ thức Schalès)
AB = ĂC + CB
Mở rộng: ẦB = AC + CD + DB
Hệ quả: AB = OB - ÕÃ
Quy tắc hình bình hành
Cho OACB là hình bình hành.
Ta có: OC = OẨ + OB
Quy tắc dường trung tuyến
I là trung điểm của AB
 MÃ + MB = 2 MI, VM
Quy tắc trọng tăm
G là trọng tâm AABC o GẦ +
G là trọng tâm AABC MA +
Quy tắc hình hộp
GB + GC = ỏ
MB + MC = 3 MG, VM
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có ba cạnh xuất phát từ đỉnh A là AB, AD, AA’ và đường chéo AC’.
Ta có: AC'= AB + AD + AA’
Hiệu của hai vectơ
1. Vectơ dối của một vectơ
Nếu tổng của hai vectơ á và b là vectơ - không (ã + b = ổ) thì ta bảo ả là vecto’ đối của b, hoặc b là vectơ đối của ả .
Kí hiệu: Vectơ đốì của vectơ ã được kí hiệu là - ã.
Như vậy là ã + (- ã) = (- ả) + ã = õ
Nhận xét:
Vectơ đốì của vectơ â là vectơ ngược hướng với vecto' ã và có cùng độ dài với vectơ ả . Đặc biệt,- vectơ đốì của õ vectơ là ổ .
Hiệu của hai vectơ
Hiệu của hai vectơ ã và b theo thứ tự đó là tổng của vectơ ã với vectơ đối của b, kí hiệu là ã - b.
Muôn có hiệu ã -b ta lấy vectơ ã cộng với vectơ đối của vectơ b.
Vậy ã-b = ã+(-b).
Định nghĩa:
Hiệu của hai vectơ là tổng của vectơ thứ nhất với vectơ đối của vectơ thứ hai.
* Qui tắc về hiệu của vectơ
Nếu AB là một vectơ đã cho thì với điểm o bất kì ta luôn có: ÃB = ÕẼ - ÕÃ
Phép nhân vectơ với một số
Trong không gian, phép nhân vectơ với một số được định nghĩa tương tự như trong mặt phẳng. Với mọi vectơ ã, b trong không gian và mọi cặp số in, n ta có các tính chất sau đây:
m(ã + b) = mã + mb
(m + n) ã = mã + nã
m(nâ) = (mn) ã
m.õ = õ và o.ã = õ
Chú ỷ: Theo định nghĩa ta có: l.ã = a; (-l)ã = - ã
Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian
1. Góc giữa hai vectơ trong không gian
Cho ũ và V là hai vectơ khác vectơ - không trong không gian. A, B, G là các điểm sao cho AB = ũ và AC = V. Ta gọi góc giữa hai vectơ AB và AC trong mặt phảng (ABC) là góc giữa hai vectơ ũ và V được kí hiệu là (ũ,v). Góc nàykhông phụ thuộc vào việc chọn điểm A.
Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian
Tích vô hướng của hai vectơ ũ và V trong không gian là một số được kí hiệu là ũ; V xác định bởi công thức sau:
ũ .V = |ũj |v| cos(ũ . v)
* Chú ý:
Nếu ũ = 0 hoặc V = 0 thì ũ. V = 0
ũ±voũ.v=0
Tính chất
Với ba vectơ ã, b và C bất kì trong không gian và với mọi số k ta có:
ã.b = b.ã	b) (kã).b = k(ãb) = ã (kb)
ã . (b + c) = ã . b + ã . C	d) ã2 > 0; a2 = 0 ã = õ .
Sự ĐỒNG PHANG CỦA CÁC VECTƠ
ĐIỀU KIỆN ĐỂ BA VECTƠ ĐồNG PHANG
1) Định nghĩa
Ba vectơ gọi là đồng phẳng nếu ba đường thẳng chứa ba vectơ đó cùng song song với một mặt phẳng.
Trên hình vẽ, các đường thẳng chứa ba vectơ ã, b, C đều song song với mặt phẳng (P) nên ba vectơ ã, b, C đồng phẳng
Nhận xét
Vẽ ÕA = ã, ÕB = b, Õc = C
* Ba vectơ ã, b, C đồng phẳng
 Bốn điểm o, A, B, C cùng nằm trên một mặt phẳng
 Ba đường thẳng OA, OB, oc cùng nằm trong rnột mặt phẳng.
2) Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng
• Định lí 1
Cho hai vectơ không cùng phương ã và b.
Ba vectơ a, b, c đồng phẳng khi và chỉ khi tồn tại các số thực m, n sao cho C = mã + nb, các số m, n là duy nhất.
• Dinh lí 2
Nếu ba vectơ ã, b, C không đồng phẳng thì với vectơ ũ bất kì ta tìm được các số thực m, n, p sao cho ũ = mã + nb + pc, các số m,
n,	p là duy nhất.
B. HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP
Bài 1*. Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD.A’B’C’D’. Mặt phảng (P) cắt các cạnh bên AA’, BB’, CC’, DD’ lần lượt tại I, K, L, M. Xét các vectơ có các điểm đầu là các điểm I, K, L, M và có các điểm cuối là các đỉnh của hình lăng trụ. Hãy chỉ ra các vectơ:
Cùng phương với IA.
Cùng hướng với IA.
Ngược hướng với IA.
Giải
Các vectơ cùng phương với IA là: KB, KB', LC, LC\ MD, MDLÃ'.
Các vectơ cùng hướng với IA là: KB,LC,MD.
Các vectơ ngược hướng với IA là: KB’,LC\MD’va ĨÃ.
Bài 2: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’. Chứng minh rằng:
ÃB + ẼỠ + DD' = ÃỠ;
BD-DD-KD'^BB';
AC + BÃ' + DB + ỠD = õ.
Giải
	>D' a) Ta có:	/\
AC' = AC + cc*'. .	(1)	/ b)	
AC = AB + BC (2)	7..i /
Mặt khác: CC'= DD'; BC = B'C (3)	*■•• /
Từ (1), (2), (3) suy ra đpcm.
Ta có:
-CD = DD1
-BdD1 = CB*’
=> BD - CD - cc = BD + DD' + cc = BB1
Ta CÓ: AC + BA’ +DB + CD = AC + C’D + DB + BA’
= AC4 C’A’ = AC-A’C
Kết hợp với AC = A 'C' suy ra đpcm.
Bài 3: Cho hình bình hành ABCD. Gọi s là một điểm nằm ngoài mặt phẳng (ABCD). Chứng minh rằng: SA 4- sc = SB + SD
Giải
Gọi o là tâm của hình bình hành,
o là trung điểm của AC và BD
SO là trung tuyến của tam giác SAC:
2SÕ = SÃ 4- SC (1)
SO là trung tuyến của tam giác SBD:
2SO = SB 4-SD (2)
Từ (1) và (2) suy ra đpcm
và N lần lượt là trung
Bài 4: Cho hình tứ diện ABCD. Gọi M điểm của AB và CD. Chứng minh rằng:
b) MN = |(AC + BD)
a) MN = |(AD + BC)
2
Giải
a) Ta có:
(1)
(2)
MN = MA + AD + DN
nên
nên
MN = MB + BC + CN
Cộng (1) và (2) vế với vế, ta có: 2MN = (MA + MB) + AD + BC 4- (DN + CN)
M là trung điểm của AB MA 4- MB = õ
N là trung điểm của CD
DN+CN=O
Suy ra‘: 2MN = AD 4- BC (đpcm)
b) Ta có:
MN = MA + AC + CN
MN = MB + BD + DN
Và lí luận như câu a) ta có đpcm.
Chú ý: Có thể chứng minh : AC + BD = AD + BC và kết hợp với câu a) để suy ra câu b)
Bài 5: Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.
Chứng minh rằng: DẨ + DB + DC = 3DG
Giải
Theo quy tắc ba điểm, ta có:
DA = DG + GA
DB = DG + GB
DC-DG + GC
=> DA + DB + DC = 3DG + (ga + GB + go) (1) Mà G là trọng tâm của tam giác ABC nên: GA + GB + GC = õ
* (1) và (2) DÃ + DB + DC = 3DG (đpcm)
Bài 6: Cho M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC và BD của tứ diện ABCD. Gọi I là trung điểm của đoạn MN và p là một điểm bất kỳ trong không gian. Chứng minh rằng:
a) ĨÃ + ĨB + ĨC + ĨD-Õ
b) PI = i(PA + PB + PC + PD
a) IA + IB + IC+TD - õ
Giải
Ta có: IA + IB + IC + ID - IA + IC + IB + ID
= 2IM + 2IN (tính chất trung điểm)
= 2(lM + in) = õ (vì I là trung điểm MN)
b) PA + PB + PC + PD = 4PI + (lA + IB + IC + id) = 4PI õ
Bài 7: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có AA' = a, AB' = b, AC' = c. Hãy phân tích (hay biểu thị) các vectơ B'C, BC' qua các vectơ a, b, c.
Giải
Áp dụng quy tắc ba điểm, ta có:
ẼTC = ÃC-ÃB’
= ÃC - (ÃB + BB*') = ÃC - ÃB - ÃÃ’
Vậy B'C = c - b - a
BCF =ÃC' - AB =(ÃÃ' + ÃC) - ÃB
(Qui tắc hình bình hành ACC’A’)
Vậy BC' = a + c - b
Bài 8: Cho tam giác ABC. Lấy một điểm s
ngoài mặt phẳng (ABC). Trên đoạn SA lấy điểm M sao cho
MS = -2MA và trên đoạn BC lấy điểm N sao cho NB = -~NC. Chứng
minh ba vectơ AB, MN, sc đồng phẳng.
Giải
Ta biểu diễn một trong ba vectơ AB, MN, sc theo hai vectơ còn lại, chẳng hạn biểu diễn MN theo AB,SC.
Ta có: MN-MS + SC + CN (1)
MN = MÃ + ÃB + BN (2)
Nhân hai vế của đẳng thức (2) với 2:
2MN = 2MA + 2ÃB + 2BN (3)	A
Cộng (1) và (3) vế với vế ta có:
3MN = (MS + 2MA) + sc + 2ÃB + (CN + 2BN)
Kết hợp giả thiết MS = 2MA; NB = -^NC ta suy ra:
2
3MN = SC + 2AB => MN = 4 sc + -5 AB
3	3
Đẳng thức này chứng tỏ ba vectơ MN, sc, AB đồng phảng.
Bài 10: Cho hình hộp ABCD.EFGH. Gọi K là giao điểm của AH và DE, I là giao điểm của DF và BH. Chứng minh rằng ba vectơ AC, KI và FG đồng phẳng.
(1)
Giải
AC có giá trị thuộc mp(ABCD)
KI là đường trung bình của tam giác HAB => KỈ = |ăB
với
(2)
FG = BC => FG có giá trị song song với mp(ABCD) (3)
(1), (2), (3) => Ba vectơ AC, KI và FG đồng phẳng (đpcm)
=> KI có giá trị song song mp(ABCD)