Giải toán 11 Bài 4. Cấp số nhân

§4. CẤP SỐ NHÂN
A. KIẾN THỨC CĂN BẢN
ĐỊNH NGHĨA
Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạr.), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q.
un+i=un.qvớineN*
Số q được gọi là công bội của cấp số nhân. Nếu (un) là cấp số nhân công bội q thì
II. SỐ HẠNG TỔNG QUÁT
Định lí 1
Nếu cấp số nhân có số hạng đầu Ui và công bội q thì số hạng tổng quát Un được xác định bởi công thức:	un = u, ,qn_1 với n > 2.
TÍNH CHẤT CÁC số HẠNG CỦA CẤP số NHÂN
Định lí 2
Trong một cấp số nhân, bình phương của mỗi số hạng (trừ sô' hạng đầu và cuối) đều là tích của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là
Ufc = Uk_i.uk+1 với k > 2 (hay I uk I = 7uk_^+1 ).
TỔNG n SỐ HẠNG ĐẦU TIÊN CỦA MỘT CAP số NHÂN
Định lí 3
Cho cấp sô' nhân (un) với công bội q * 1. Đặt sn = u, + u2 + ... + un.
Khi đó	Sn = ——- ■
1-q
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Chứng minh (un) là cấp sô' nhân.
Ta chứng minh = q không phụ thuộc vào n. un
Xác định sô' hạng tổng quát của cấp sô' nhân un = Uiqn_l.
là các cấp số nhân.
Chứng minh các dãy số ^.2" ị ^“2]
éịiải
Lập tỉ sô' Un+Ĩ , ta có: un
a)
H^- = ^|.211+1^|.2nj=2	=> Un+1 = 2.un Vne N*
=> (un) là cấp sô' nhân có công bộ q = 2
Giải BT Dại số & Giải tích 11-59
bạ+l _
5
5 _!
Vne
un
2n+1 :
2n - 2
u„+l í
1?+1
a
1
T=l
72J
2
b)
c)
2 8
b) Biết q = I , u4 = ~ Tìm U,.
b) Ta có
u4 - u2 = 25 Ug - Uj = 50
iqq - iqq = 25 u4q2 - Uj = 50
iqq
(o2-l)
25
Ul (q2 - 1) = 50
(1)
(2)
(un) là cap sô' nhân có công bộ q =
1Ỵ 1	,	1
= --? Vne N => (un) là câp sô nhân công bộ q = - 4-
Cho cấp số nhãn (Un) với công bội q a) Biết Ui = 2, u6 = 486. Tìm q.
Biết Ui = 3, q = -2. Hỏi số 192 là số hạng thứ mấy?
Ố]lĂì
Áp dụng: un = q,.qn_1.
Ta có: u« = Uj.q5 => q5 = — =	= 243 q = 3
UL 2
, ,	„	3	_ u4 _ 8 f3f _ 9
Ta có u4 = utq => Ui - —~	Hr = —
q3 21 L2J 7
Ta có un = u,qn‘' => 192 = 3.(-2)',_l => (-2)"-' =64=>n-l=6=>n = 7 Vậy 192 là sô' hạng thứ 7.
Tim các số hạng của cấp số nhân (u„) có năm sô' hạng, biết:
a) u3 = 3 và u5 = 27;	b) u4 - u2 = 25 và u3 - Ui = 50.
Ốji.ải
Áp dụng: un = Ui.q11’1
Ta có U.J = iqq" => iqq2 = 3
u5 = Uiq4 => Uiq’ = 27 Do đó q2 = (Uiq4) : (iqq2) = 9 => q = ±3
Với q = 3 ta có Ui = ỉ ta có cap sô' nhân: ; 1; 3; 9; 27.
3
Với q = -3 ta có U] = ỉ ta có cấp sô' nhân: ; -1; 3; -9; 27.
200
3
Thay (2) vào (1), ta được 50.q = 25, => q -
rp,, ,o, 	„ _	50	50
Từ (2) suy ra Ui = —5—— =
q - 1	1 _ 1
Ta có câ'p sô' nhân:
200 3 ’
100 3 ’
50 3 ’
25
3 !
25
6
4, Tim cấp số nhân có sáu số hạng, biết rằng tổng của năm số hạng đầu là 31 và tổng cùa năm số hạng sau là 62
Ốịiảl
Giả sử cấp sô' nhân là U), u2, u3, u4, u5, Ugcó công bội q.
í Uj + u2 + u3 + u4 + u5 = 31	( Ujq + u2q + u3q + u4q + u5q = 31q
Ta có:
u2 + u3 + u4 + u5 + Ug =62
u2 + u3 + u4 + u5 + Ug = 62
u2 + u3 +u4 +u5 +Ug = 31q u2 + u3 + u4 + u5 + Ug = 62
Suy ra 31.q = 62, q = 2. Vì Sg = 31 =
Vậy ta có cấp sô' nhân: 1, 2, 4, 8, 16, 32.
Ul(l-25)
1-2
=> Ui = 1.
5. Tỉ lệ tăng dân số của tỉnh X là 1,4%. Biết rằng số dân của tỉnh hiện nay lá 1,8 triệu người, hỏi với mức tăng như vậy thì sau 5 năm, 10 năm số dân của tỉnh đó là bao nhiêu?
ỐịiÂi
Gọi sô' dân của tỉnh đó là N.
Sau một năm, sô' dân tăng thêm là 1,4% N.
Vậy sô' dân của tỉnh đó vào năm sau là N + 1,4% N = 101,4% N. Sô' dân tỉnh đó sau mỗi năm lập thành một cấp sô' nhân
N, 12L1.N/101’4
100
N.
Giả sử N = 1,8 triệu người thì sau 5 năm sô' dân của tỉnh là
và sau 10 năm sẽ là:
101,4
100
101,4
100
.1,8 a 1,9 (triệu)
10
.1,8 a 2,1 (triệu).
Cho hình vuông c, có cạnh bằng 4. Người ta chia các cạnh của hình vuông thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuông c2. Từ hình vuông c2 lại làm tiếp nhu trên để được hình vuông c3, ... Tiếp tục quá trình trên, ta nhận được dãy các hình vuông Ci, c2, c3	Cn, ...
Gọi a„ là độ dài cạnh của hình vuông c„. Chứng minh dãy số (an) là một cấp số nhân.
Ốịiải
Xét dãy (an), với a] = 4. Giả sử hình vuông Cn độ dài cạnh là an. Hình vuông Cn+1 có độ dài cạnh an+1.
Áp dụng định lí Py-ta-go ta có:
c. BÀI TẬP LÀM THÊM
.2	1 2 	 .. ...
Cho ba sô , Ỳ , —— lập thành cấp sô cộng, chửng minh a, b, c lập
b-a b b-c thành cấp số nhân.
Cho cấp số nhân (an) có an = 5, a5 = 135, a6 = -405. Tính a, và q.
Cho cấp số nhân (an), chứng minh:
a) a,ap = aqap_q+i (p > q);	b) apaq = aman với p + q = m + n.
Cho 3 số a, b, c lập thành cấp số nhân. Chứng minh rằng:
(a + b + c)(a - b + c) = a2 + b2 + c2.
Áp dụng: Tìm ba số liên tiếp của cấp số nhân biết tổng là 14 và tổng bình phưong là 84.
-Hưởng iần: Vì (a + c)2 - b2 = a2 + c2 + 2ac - b2 = a2 + b2 + c2.
Cho cấp số nhân (an) biết a, + a5 = 51, a2 + a6 = 102. Tìm n biết Sn = 3069. -Hưởng àẫn: Tìm được a, = 3, q = 2.
1 Qn
Áp dụng công thức: sn = a1 1 M suy ra n = 10.