SGK Toán 7 - Bài 7. Đa thức một biến

§7. Đa thức một biến
1. Đa thức một biến
• Đa thức một biến là lổng của những đơn thức cùa cùng một biến. Chảng hạn : A = 7y2 - 3y + ị là đa thức của biến y ;
B = 2x5 - 3x + 7x3 + 4x5 + y là đa thức của biên X.
n
?2
Mỏi số được coi là một đa thức một biến.
Để chỉ rỏ A là đa thức của biến y, B là đa thức của biến X,... người ta viết
A(y), B(x)	Khi đó. giá trị của đa thức A(y) tại y = 1 được kí hiệu là
A(-l), giá trị của đa thức B(x) tại X = 2 được kí hiệu là B(2)	
Tính A(5). B( 2), với A(y) và B(x) là các da thức nêu trẽn.
Tìm bậc của các da thức A(y). B(x) nêu trên.
41
• Bậc cùa đa thức một biến (khác đa thức khỏng, đã thu gọn) là số mù lớn nhất của biến trong đa thức đó.
2. Sắp xếp một đa thức
Đẻ thuận lợi cho việc tính toán đồi với các đa thức một biến, người ta thường săp xếp các hạng tử của chúng theo luỹ thừa tảng hoặc giảm của biến.
Ví dụ : Đôi với đa thức
p(x) = 6x + 3 - 6x2 + X3 + 2x4,
khi sắp xếp các hạng tử của nó theo luỹ thừa giàm cùa biến, ta được :
p(x) = 2x4 + X3 - 6x2 + 6x + 3.
và theo luỹ thừa tảng của biên, ta được :
P(x) = 3 + 6x - 6x2 + X3 + 2x4.
► Chú ý:
□
□
Để sắp xốp các hạng từ của một đa thức, trước hết phải thu gọn đa thức đó. Sắp xếp các hạng í ừ cùa da thức B(x) ị trong mục I) theo luỹ thừa tăng cùa hiến. Hãy sắp xếp các hạng tử của mồi da thức sau theo luỹ thừa giâm cùa hiến :
Q(x) = 4x3 - 2x + 5x2 - 2x3 + 1 - 2x3
R(x) = -X2 + 2x4 + 2x - 3x4 - 10 + X4.
Nhận xét:
Mọi đa thức bậc 2 cùa biên X, sau khi đà sắp xếp các hạng tử của chúng theo luỹ thừa giảm của biến, đều có dạng :
ax2 + bx + c
trong đó a, b, c là các sô' cho trước và a * 0.
► Chú ý:
Ngoài biếu thức ở nhận xét trên, ta còn có thể gập các biểu thức đại số, mà trong đó có nhừng chữ đại diện cho các sô' xác định cho trước. Đé phân biệt với biên, người ta gọi những chừ như vậy là hằng số (còn gọi tầt là hằng).
3. Hệ số
Xét đa thức P(x) = 6x5 + 7x3 - 3x + y •
3.
Hệ số
Xét đa thức P(x) = 6x5 + 7x3 - 3x +
42
Đó là một đa thức đà thu gọn. Ta nói 6 là hệ sô' cùa luỹ thừa bậc 5 ; 7 là hệ số của luỳ thừa bậc 3 ; -3 là hệ sô của luỹ thừa bậc 1 ; ỳ là hệ số của luỹ thừa bậc 0 (còn gọi là hệ sổ fự do). Vì bậc của đa thức P(x) bàng 5 nên hệ số của luỹ thừa bậc 5 còn gọi là hệ số cao nhất.
► Chú ý:
Còn có thể viết đa thức P(x) đầy đủ từ luỹ thừa bậc cao nhất đến luỹ thừa bậc 0 là :
P(x) = 6x5 + Ox4 + 7x3 + Ox2 - 3x + y.
Vì thế, ta nói hệ sô' của các luỹ thừa bậc 4, bậc 2 cùa P(x) bàng 0.
Thi "về đích nhanh nhát” : Trong 3 phút, mổi tổ viên hãy viết các đa thức một biến có bậc bằng sô thành viên cùa tổ mình. Tổ nào viết được nhiều nhất thì coi như tô đó về đích nhanh nhất.
Bài tạp
Cho đa thức: P(x) = 2 + 5x2 - 3x3 + 4x2 - 2x - X3 + 6x5.
Thu gọn và sáp xếp các hạng tử của P(x) theo luỹ thừa giảm của biến.
Viết các-hệ sô' khác 0 của đa thức p(x).
Cho đa thức Q(x) = X2 + 2x4 + 4x3 - 5x6 + 3x2 - 4x - 1.
Sắp xếp các hạng tử cùa Q(x) theo luỹ thừa giảm của biến.
Chỉ ra các hê sô' khác 0 của Q(x).
Viết một đa thức một biến có hai hạng tứ mà hệ sô' cao nhất là 5, hộ sô' tự do là-1.
42.
Tính giá trị của đa thức P(x) = X - 6x + 9 tại X = 3 và tại X = -3.
43.
Trong các sô' cho ờ bén phải mỏi đa thức, sô' nào là bậc của đa thức đó ?
5x2-2x3 + X4 - 3x2 - 5x5 +	1	-5	5	4
15-2x	15-2	1
3x5 + X3 - 3x5 + 1	3	5	1
-l.	1	-1	0
43