SGK Hình Học 12 - Bài 1. Hệ tọa độ trong không gian

CHƯƠNG
PHƯƠNG PHẤP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
♦í* Hệ toạ độ trong không gian 4 Phương trình mặt phẳng ♦í* Phương trình đường thẳng
Trụ sỏ Liên Hiệp Quốc tại Niu Oóc (New York)
§1. HỆ TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
• • •
Trái Đất và Trạm vũ trụ ISS (International Space station) trong không gian
I- TOẠ ĐỘ CỦA ĐIỂM VÀ CỦA VECTƠ
Hệ toạ độ
Trong không gian, cho ba trục x'Ox, y'Oy, z'Oz vuông góc với nhau từng đôi một. Gọi ỉ, j, k lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục x'Ox, y'Oy, z'Oz.
Hệ ba trục như vậy được gọi là hệ trục toạ độ Đề-các vuông góc Oxyz trong không gian, hay đơn giản được gọi là hệ toạ độ Oxyz (h.3.1).
Điểm o được gọi là gốc toạ độ.
Các mặt phẳng (Oxy), (Oyz), (Ozx) đôi một vuông góc với nhau được gọi là các mặt phẳng toạ độ.
Không gian với hệ toạ độ Oxyz còn được gọi là không gian Oxyz.
Vi z, j, k là ba vectơ đơn vị đôi một vuông góc với nhau nên :
->2 ->2 -»2 z' =j =k =1
Á,
và i.j = j.k - k.i = 0.
Trong không gian Oxyz, cho một điểm M. Hãy phân tích vectơ OM theo ba vectơ không đồng phẳng I, J, k đã cho trên các trục Ox, Oy, Oz.
Toạ độ của một điểm
Trong không gian Oxyz, cho một điểm M tuỳ ý. Vì ba vectơ z, ỹ, k không đồng phẳng nên có một bộ ba số (x ; y ; z) duy nhất sao cho :
Hình 3.2
Ngược lại, với bộ ba số (% ; y ; z) ta có một điểm M duy nhất trong không gian thoả mãn hệ thức OM =xỉ + ỹj' + zk.
Ta gọi bộ ba số (x ; y ; z) đó là toạ độ của điểm M đối với hệ trục toạ độ Oxyz đã cho và viết:
M = (x ; ỵ ; z) hoặc M(x ',y ; z).
Toạ độ của vectơ
Trong không gian Oxyz cho vectơ a, khi đó luôn tồn tại duy nhất bộ ba số (ữj; <72 ; <73) sao cho : a = aỵi + a2j + a2)k.
Ta gọi bộ ba số (<7j; ữ2 ; «3) đó là toạ độ của vectơ a đối với hệ toạ độ Oxyz cho trước và viết a = («!; ứ2 ; <73) hoặc ã(aị; <72; <73).
Nhận xét. Trong hệ toạ độ Oxyz, toạ độ của điểm M chính là toạ độ của vectơ OM.
Ta có : M = (x; y ; z) OM = (x; y ; z).
2 Trong không gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có đỉnh A trùng với gốc 0, có AB, AD, AA' theo thứ tự cùng hướng với i, J, k và có AB - a,
AD = b, AA'= c. Hãy tính toạ độ các vectơ AB, AC, AC' và AM với M là trung điểm của cạnh C'D'.
II- BIỂU THỨC TOẠ ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ Định lí
; Trong không gian Oxyz cho hai vectơ ã = (ứị; ứ2; a2) và I /? = (/?!;	; z?3 ). Ta có :
I a) a + b = (ơ| + bị; ữ2 + b-Ị; <73 + /73),
I b) à - b = (<7| - bỵ; a2 - b2 ; <73 - /?3),
I c) ka = kựiỵ-.a-, -.a20 = (kay, ka2; ka-0
với k là một số thực.
chứng minh
Theo giả thiết: a = a\i + a2j + a2k , b = bị i + b2 j + b2k,
=> a + b — (ứj + /7 ị)z + (<72 +bọ}j + (a2 + b2)k .
Vậy a + b = (ứj + /?| ; a2 + b2 ; <73 + z?3).
Chứng minh tương tự cho trường hợp b) và c).
Hệ quả
Cho hai vectơ ã = (t7j; «2; «3) và b - (Z?J; /?2 ; z?3).
l=ớl
Ta có : a = b 
ứ2 - b2 a3=b3'
Vectơ 0 có toạ độ là (0 ; 0 ; 0).
Với b*0 thì hai vectơ a và b cùng phương khi và chỉ khi có một sốk sao cho : ứ| - kbỵ, í/2 = kb2, a3 - kb2.
đ) Trong không gian Oxyz, nếu cho hai điểm A(xA ; ỵA; ZA), B{kB ; yB ; Zg) thì:
• AB = OB-OA = (xB-xA-,yB-yA, ZB-ZA).
• Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB là XA+XB . yẠ+yẹ . ZA+ZB^
l 2 ’ 2 ’ 2 J
TÍCH VÔ HƯỚNG
Biểu thức toạ độ của tích vô hướng
Định lí
I Trong không gian Oxyz, tích vô hướng của hai vectơ 1 ã = («Ị; ứ2 ; #3) và b = (/?!; b'i; z?3) được xác định bởi công thức
a.b = a ịbị + a2b2 + ữ3Z>3
Chứng minh
ã.b = (ữ| i + a2j + «3k). (bịi + b2j + b3Ẩr)
-2	4-.
- aỵbịi + aỵb2i.j + aỵb^i.k + a2bỵj.i +
-2 -.2 + ữ2/?2 j + a2b3 i-k + ữ3^1 k.i + ữ3^2 k-j + ữ3^3 k ■
-2-2-2 -- -- -- Vì i = j = k =1 và i.j = j.k = k.i = 0 nên
ã.b = ỠỊốỊ + ữ2ờ2 + a3^3 ■
ứng dụng
Độ dài của một vectơ. Cho vectơ d = («1; ữ2 ’ a3^ ■
Ta biết rằng |ữ|2 = ã2 hay |ữ| = Vrr. Do đó 1-1	/2.2.2
|ữ| — \Ịa\ + ữ2 + Ỡ3 .
Khoảng cách giữa hai điểm. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm
yA ; ZA) và ổ(.Yg ; ys; ZB). Khi đó khoảng cách giữa hai điểm A và 5 chính là độ dài của vectơ AS. Do đó ta có :
AB = |âb| = yj(xfí -XA)2 +(ys -yAỴ +(zB -ZA~) .
Góc giữa hai vectơ. Nếu (p là góc giữa hai vectơ d - (ỡị ; ữ2; ữ3) và
b = (bỵ; z?2 ; z?3) với à và b khác õ thì COS (p =	• Do đó :
iHl.lhl
	.- 7.	aibi + Ỡ2Z?2 + a-ib-i
cosộ9 = cos(a, O) = -ị-	- 7--—- r-r--. ——
ỵ]aị +aị+aị .yỊb2 +bị+bj
Từ đó ta suy ra a Ị-b Uịbị + ữ2ốọ + ứ3Z?3 = 0.
^.3 Với hệ toạ độ Oxyz trong không gian, cho <7 = (3 ; 0 ; 1), b = (1 ; -1 ; -2), c = (2 ; 1 ; -1). Hãy tính tf.(Z?+c) và |« + z?|.
PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU ' Định lí
Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) tâm I(a ; b ; c) bán kính r có phương trình là :
(x -a)~ + (y -b)~ + (z -c)2 = r~
chứng minã
Gọi M(x ; y ; z) là một điểm thuộc mặt cầu (S) tâm I bán kính r (h.3.3). Khi đó : M G (S) a \Ĩm\ = r
 ự(x - ứ)2 + (y - ồ)2 + (z - c)2 = r (%- ữ)2 + (}’ - z?)2 + (z - c)2 = r2 .
Do đó (x - ứ)2 + (y - ố)2 + (z - c)2 = r2 là phương trình của mặt cầu (S).
4 Viết phương trình mặt cầu tâm /(1; -2; 3) có bán kính r= 5.
Nhận xét. Phương trình mặt cầu nói trên có thể viết dưới dạng :
X2 + y2 + z2 - 2ax - 2by - 2cz + d = 0 với d - á2 + b2 + c2 - Z'2 .
Từ đó người ta chứng minh được rằng phương trình dạng X2 + y2 + z2 + 2 Ay + 2By + 2Cz + D - 0 với điều kiện A2 + J52 + c2 - D > 0 là phương trình của mặt cầu tâm Z(-Â ; -B ; -C) có bán kính r = ylA2 +B2 +c2-D .
Ví dụ. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình :
X2 + y2 + z2 + 4x — 2y + 6z + 5 = 0.
giải
Phương trình mặt cầu đã cho tương đương với phương trình sau :
(x + 2)2+(y-l)2+(z + 3)2 =32.
Vậy mặt cầu đã cho có tâm I = (-2 ; 1 ; -3), bán kính r - 3.
BÀI TẬP
Các bài tập sau đây đều xét trong không gian Oxyz.
Cho ba vectơ a = (2 ; -5 ; 3), ố = (0 ; 2 ; -1), c = (1 ; 7 ; 2).
Tính toạ độ của vectơ í/ = 4ứ ố + 3? .
3
Tính toạ độ của vectơ e = ã - 4b - 2c .
Cho ba điểm A = ( 1 ; -1 ; 1), B = (0 ; 1 ; 2), c = (1 ; 0 ; 1).
Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC.
Cho hình hộp ABCD .A'B'C'D' biết A = (1 ; 0 ; 1), B = (2 ; 1 ; 2), D = (1 ; -1 ; 1), C' = (4 ; 5 ; -5). Tính toạ độ các đỉnh còn lại của hình hộp.
Tính
aĩ> với a = (3 ; 0 ; -6), b = (2 ; -4 ; 0).
c2 với c = (1 ; -5 ; 2), ư = (4 ; 3 ; -5).
Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu có phương trình sau đây :
A'2 + y2 + z2 - 8* - 2y + 1 - 0 ;
3.V2 + 3y2 + 3z2 - 6v + 8y + 15z - 3 = 0.
Lập phương trình mặt cầu trong hai trường hợp sau đấy :
Có đường kính AB với A = (4 ; -3 ; 7), 5 = (2 ; 1 ; 3).
Đi qua điểm A = (5 ; -2 ; 1) và có tâm c = (3 ; -3 ; 1).