SGK Hình Học 12 - Bài 3. Phương trình đường thẳng trong không gian

§5. PHƯƠNG TRÌNH
ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
Hình ảnh của các đường thẳng trong không gian - các cầu vượt trong thành phố và qua sông
Ta đã biết trong hệ trục toạ độ Oxy phương trình tham số của đường thẳng có X = XQ + /ữ|
dạng
y = y0+to2
với ứj2+ữ2 7^0 (h.3.14a).
Như vậy trong không gian Oxyz phương trình của đường thẳng có dạng như thế nào ? (h.3.14b)
b) Đường thẳng trong không gian
Hình 3.14
Á,
I- PHƯƠNG TRÌNH THAM số CỦA ĐƯỜNG THANG
Trong không gian Oxyz cho điểm /wo(1 ; 2 ; 3) và hai điểm M1 (1 + í; 2 + t; 3 + í),
M2 (1 + 2f; 2 + 2í; 3 + 2f) di động với tham số í. Hãy chứng tỏ ba điểm Mo, AT|, /w2 luôn thẳng hàng.
Định lí
II Trong không gian Oxyz cho đường thẳng ỉx đi qua điểm ' AZ0(x0 ỉ To ; zo) vừ «/zận a = (ơị ; a2 a3) làm vectơ chỉ I phương. Điều kiện cần và đủ để điểm M(x ;y,z) nằm trên A
là có một số thực t sao cho ||	X = Xq + taỵ
<y = yữ+ta2 z-zữ+ta2.
chứng minh
Ta có : MữM = (x - x0 ;y-y0;z- z0).
Điểm M nằm trên A khi và chỉ khi MqM cùng phương với d, nghĩa là MqM = td với t là một số thực. Điều này tương đương với
X — XQ + ta3 y = y0+ta2 z = zữ + ta3.
X-.VQ
y-y0=^2 hay z-z0 =to3
Định nghĩa
Phương trình tham sô' của đường thẳng A đi qua điểm v/o(xo ; y0 ’ zo) và có vectơ chỉ phương <2 = (ữ|; a2; a3) là phương trình có dạng
X = x0 + ta\
< y = ỵ0 + z«2 z — ZQ + ta3
trong đó t là tham số.
D3T Chú ý. Nếu ỠỊ, a2, a3 đều khác 0 thì người ta còn có thể viết phương trình của đường thẳng A dưới dạng chính tắc như sau :
x~x0 y-yọ z~z0
«1	«2 a3
Ví dụ 1. Viết phương trình tham số của đường thẳng A đi qua điểm M0(l ; 2 ; 3) và có vectơ chỉ phương là d = (1 ; -4 ; -5).
X = 1 + /
Phương trình tham số của A là :
< y — 2 — 4/
z = 3-5z.
Ví dụ 2. Viết phương trình tham số của đường thẳng AB với Â(1 ; -2 ; 3) và 5(3 ; 0 ; 0).
giải
Đường thẳng AB có vectơ chỉ phương AB = (2 ; 2 ; -3).
X — 1 + 2f
X — 1 +1
y = 2 + 2t vuông góc với mặt’phẳng z = 4 + 3í
Phương trình tham số của AB là : í y = -2 + 2t z = 3-3t.
Ví dụ 3. Chứng minh đường thẳng d :
(ư): 2x + 4y + 6z + 9 = 0.
giải
d có vectơ chỉ phương a = (1 ; 2 ; 3);
(ặ) có vectơ pháp tuyến n = (2 ; 4 ; 6).
Ta có n =2d, suy ra <7 -L(ữr).
2 Cho đường thẳng A có phương trình tham số
X = -l + 2r y = 3-3t z = 5 + 4t.
Hãy tìm toạ độ của một điểm M trên A và toạ độ một vectơ chỉ phương của A.
II- ĐIỀU KIỆN ĐỂ HAI ĐƯỜNG THANG SONG SONG, CẮT NHAU, CHÉO NHAU
Cho hai đường thẳng d và d' có phương trình tham số lần lượt là
d:
X = 3 + 2t y = 6 + 4t z-4 + t
và d' :•
fx = 2 + r' y-l-r' z = 5 + 2/.
Hãy chứng tỏ điểm /W(1 ; 2 ; 3) là điểm chung của d và d';
Hãy chứng tỏ d và d' có hai vectơ chỉ phương không cùng phương.
Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng d, d’ có phương trình tham số lần lượt là
d:
X - Xq +
■y = y0+jta2 và d’ z = z0 + ta3
x = Xq + t'a'y .y = y'0 + t'a'2 z = z'Q + t'a'y
Sau đây ta xét vị trí tương đối giữa d và d’, nghĩa là xét điều kiện để d và d’ song song, cắt nhau hoặc chéo nhau.
1. Điều kiện để hai đường thẳng song song
Gọi d = (ứj; đ2 ; ữ3) và d' - («í; a'2; a'3) lần lượt là vectơ chỉ phương cửa d và d’. Lấy điểm M(Xq ;yữ;zQ) trên d (h.3.15).
Ta có :
M	~a>
-	» >
	♦	>
Hình 3.15
d’
d song song với d’ khi và chỉ khi
Đặc biệt:
d trùng với d’ khi và chỉ khi
d = ka' Mid'.
d = kd' Med'.
Ví dụ 1. Chứng minh hai đường thẳng sau đây song song :
d:
X = 1 +1 ' y = 2t
z = 3-t
fx = 2 + 2/
và
y = 3 + 4t' z = 5-2t'.
Ọiải
d có vectơ chỉ phương d = (1 ; 2 ; -1), lấy M(1 ; 0 ; 3) e ư; d' có vectơ chỉ phương d' = (2 ; 4 ; -2).
Vì d =^-d' VÒ.M không thuộc d’ nên d song song với d'.
Chứng minh hai đường thẳng sau đây trùng nhau :
đ:
X = 3-t y = 4 + t z = 5-2t
vâ
d':
fx = 2-3/ y = 5 + 3/ z = 3-6/.
Điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau
I Hai đường thẳng d và d' cắt nhau khi và clii khi hệ phương <5 trình ẩn t, t' sau
'x0+Zứ, = x0+t'a'ỉ • y0 + ta2 = y'o + t'a'2	(I)
/o+?í73 -z'o + t'a3
I có đúng một nghiệm.
V^Chú ý. Giả sử hệ (I) có nghiệm (íg; t'o), để tìm giao điểm Mq của d và d’ ta có thể thay tgVào phương trình tham số của d hoặc thay t'o vào phương trình tham sộ' của d'.
Ví dụ 2. Tìm giao điểm của hai đường thẳng sau :
X
= l+f
x=2-2/
d: •
y-
= 2 + 3z
và d': •
y = -2 + /
-
= 3-z
z = l + 3/.
ì + z =
2-2/
(1)
Xét hệ phương trình •
2 + 3z
= -2 + /
(2)
3-z =
1 + 3/
(3)
Từ (1) và (2) suy ra t = -1 và / = 1. Thay vào phương trình (3) ta thấy nó thoả mãn. Vậy hệ phương trình trên có nghiệm là t - -1, t' = 1.
Suy ra d cắt d' tại điểm 4/(0 ; -1 ; 4).
Điêu kiện đé hai đường thẳng chéo nhau
Ta biết rằng hai đường thẳng chéo nhau nếu chúng không cùng phương và không cắt nhau. Do vậy
I Hai đường thẳng d và d' chéo nhau khi và chỉ khi d và d' I không cùng phương và hệ phương trình
A'o +	= Aq + t (7|
1 >’0+ta2 = y'o + ta2
•W
Zq +	= Zq +1 a-ỵ
I vô nghiệm.
Ví dụ 3. Xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng
A' — 1 + 2t
íx = ỉ + 3t'
y = -l + 3z và . z = 5 + r
< y = -2 + 2z' z = -l + 2<
k
Ta có : d = (2 ; 3 ; 1) và a = (3 ; 2 ; 2).
Vì không tồn tại số & để ữ = kd' nên d và d' không cùng phương. Từ đó suy ra d và d’ hoặc cắt nhau hoặc chéo nhau (h.3.16).
Xét hệ phương trình :
fì+2z = l+3/
■ -l + 3z = -2 + 2f' 5+Z=-l+2<
3	2	, v ,
Từ hai phương trình đầu ta được t=5 và rì = -—, thay vào phương trình cuối không thoả mãn.
Ta suy ra hệ'trên vô nghiệm. Vậy hai đường thẳng d và d' chéo nhau.
Ví dụ 4. Chứng minh hai đường thẳng sau đày vuông góc
x = 5-r
fx='9 + 2rì
y = -3 + 2r và d' :< y = 13 + 3/ z = 4t	z = 1 - rì.
d và d’ lần lượt có vectơ chỉ phương là d = (-1 ; 2 ; 4) và d' = (2 ; 3 ; —1). Ta có d . a - - 2 + 6 - 4 = 0.
Suy ra d -Ld'.
Nhận xét. Trong không giạn Oxyz cho mặt phẳng (6Ộ : Ax + By + Cz + D = 0
X = A'Q + taỵ
và đường thẳng d : 5 y = yo +
z = z0+to3.
Xét phương trình â(aq + tdỵ) + B(y0 + tci2) + C(z0 + ta-Ị) + D = 0 (Hà ẩn). (1)
- Nếu phương trình (1) vô nghiệm thì d và (6Ộ không có điểm chung, vậy d//(cộ (h.3.17a).
Nếu phương trình (1) có đúng một nghiệm t = tữ thì d cắt (ó) tại điểm Mo(*o + íoữl ỈTo + í0ứ2 ’z0 +íoứ3) (h.3.17b).
Nếu phương trình (1) có vô số nghiệm thì d thuộc (ạ) (h.3.17c).
X = 2 +1
x = l + 2í
a)d: <
y=3-t ;
z = 1
b) : «
y = l-í ;
z = l-r
c) d: <
Tìm số giao điểm của mặt phẳng (ữ): X + y + z - 3 = 0 với đường thẳng d trong các trường hợp sau :
X — 1 + 5ĩ y = ỉ-4t z = 1 + 3t.
BÀI TẬP
.1. Viết phương trình tham số của đường thẳng d trong mỗi trường hợp sau :
d đi qua điểm M(5 ; 4 ; 1) và có vectơ chỉ phương d = (2 ; -3 ; 1);
d đi qua điểm A(2 ; -1 ; 3) và vuông góc với mặt phẳng (à) có phương trình x + y-z+ 5 = 0;
c) d đi qua điểm B(2 ; 0 ; -3) và song song với đường thẳng A
v = l + 2r
< y = -3 + 3í ; z -4t
d) d đi qua hai điểm F(1 ; 2 ; 3) và <2(5 ; 4 ; 4).
2. Viết phương trình tham số của đường thẳng là hình chiếu vuông góc của đường X = 2 + t
thẳng d:
)> = -3 + 2í z = ỉ + 3t
lần lượt trên các mặt phẳng sau :
(Oxy);
b)
3. Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng d và d' chơ bởi các phương trình sau :
X = -3 + 2t
X = 5 +1'
à) d: ■
y = -2 + 3t
và
d': ■
y = -l-4/
z = 6 + 4/
z = 20 + /
X — 1 +1
%=1+2/
ị>) d: ■
y = 2 + t
và
d': <
y = -l + 2/
z = 3-t
z = 2-2/.
Tìm a để hai đường thẳng
sau đây cắt nhau
X = ĩ + at
X = 1 -1'
d: -
y = t
và
d':
y = 2 + 2t'
z = -ỉ + 2t
z = 3-t'.
5. Tìm số giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng (cc) trong các trường hợp saụ :
a) d
x = \2 + 4t
y = 9 + 3t và (ạ): 3x + 5y - z - 2 = 0 ; z = 1 + t
b) d
x = ì + t y = 2-t z = 1 + 2t
và (cộ : X + 3y + z +1 = 0 ;
c) d
X = 1 + t
y-l + 2t và (à): X + y + z - 4 = 0. z = 2 - 3z
6. Tính khoảng cách giữa đường thẳng A :
(cộ : 2x - 2y + z + 3 = 0.
X = -3 + 2t
y = -1 + 3r và mặt phẳng z = -l + 2r
Cho điểm Â( 1 ; 0 ; 0) và đường thẳng A : < ỵ = 1 + 2t z = t.
Tìm toạ độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm A trên đường thẳng À.
Tìm toạ độ điểm A' đối xứng với A qua đường thẳng À.
Cho điểm M(1 ; 4 ; 2) và mặt phẳng (à) : X + y + z - 1 = 0.
Tìm toạ độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng («■).
Tìm toạ độ điểm M' đối xứng với M qua mặt phẳng (ặ).
Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phảng (cộ.
d’:
X = 1 +1'
ỵ = 3-2t' z = 1.
Cho hai đường thẳng
x= ỉ-t ỵ = 2 + 2t và z = 3t
Chứng minh d và d' chéo nhau.
Giải bài toán sau đây bằng phương pháp toạ độ :
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng 1. Tính khoảng cách từ đỉnh A đến các mặt phẳng (A'B£>) và (fi'D'C).