SGK Hình Học 12 - Bài đọc thêm. Chùm mặt phẳng

Bản quyền thuộc Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam - Bộ Giáo dục và Dào tạo.
CHƯƠNG
Một số vi sinh vật biển
CHƯƠNG
hai mặt phảng (a) và (yố) cắt nhau theo giao tuyến A. Tập hợp các mặt phẳng (y) chứa đường thẳng A nói trên được gọi là chùm mặt phẳng xác định bởi (a) và (yổ) và kí hiệu là ((a), (/?)).
Nếu (a) và (yổ) lần lượt có phương trình (à): ÂjA' + Bỵy + CỵZ + D] =0 (/?): AọX + Byy + C2Z + £>2 = 0
thì người ta chứng minh được phương trình của chùm mặt phẳng ((a), (/?)) có dạng :
m(A\X + Bxy + CỵZ + Dt) + n(A2x + Btf + C2Z + ữ2) = 0	(1)
với m2 + n2 0.
Phương trình (1) có thể được viết tắt là : 7??(a) + «(/?) = 0.
Ta thấy phương trình của chùm mặt phẳng rất đơn giản nhưng nó lại giúp chúng ta giải được rất nhiều bài toán về phương trình mặt phẳng một cách độc đáo và cực kì ngắn gọn.
Ví dụ. Trong không gian Oxyz cho hai mặt phẳng (a) và (/?) lần lượt có phương trình (a): X + y + 5z — 1 = 0
và {/3): 2x + 3y - z + 2 = 0.
Chứng minh rằng (a) cắt (/?) theo giao tuyến A.
Viết phương trình mặt phẳng (ỳ) chứa giao tuyến A và điểm M(3 ; 2 ; 1).
Mặt phẳng (a) và (/ặ lần lượt có-các vectơ pháp tuyến : na = (1 ; 1 ; 5), np = (2 ; 3 ; -1).
Vt I * j nên cắt (P) theo giao tuyến A.
Phương trình mặt phẳng (Ỳ) của chùm ((a), (/?)) có dạng :
m{x + y + 5z — 1) + n(2x + 3y — z + 2) = 0	(1)
Điểm M(3 ; 2 ; 1) thuộc mặt phẳng (ỹ) nên khi thay toạ độ của M vào (1) ta sẽ tính được các giá trị cụ thể của cặp số («2; ri} để xác định phương trình của (/).
Ta có : w?(3 + 2 + 5—1) + /7(6 + 6 -1 + 2) - 0 9m + 13/7 = 0.
Chọn m = -13 ta được n = 9.
Thay m = -13 và n = 9 vào (1) ta được phương trình của mặt phẳng cần tìm : 5.V + 14}’ - 74z + 31=0.