Giải bài tập Toán 10 Bài 1. Giá trị lượng giác của một góc a bất kì với 0° < a <180°

CHƯƠNG II.
TÍCH VÔ HƯỚNG CỬA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG
BÀI 1. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC a BAT KÌ
VỚI 0° < a < 180°
A. KIẾN THỨC CẨN NAM vững
Giá trị lượng giác của một góc
Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M trên nửa đường tròn sao cho xOM - a (0° < a < 180°) và M có tọa độ (x0; yo), ta có:
sina = yo	cosa = Xo
y	X
tana = — (x0 0) cota = — (y0 * 0)
XO	y()
Các tính chât
Cho hai góc bù nhau là a và 180° - cc, ta có: sin(180° - a) = sina	cos(180° - a) = -cosa
tan(180° - a) = -tana	cot(180° - a) = -cota
3. Một số giá trị lượng giác
a
0°
30°
45°
60°
90°
sin a
0
1
2
V|
2
2
1
cosa
1
73
2
72
2
1
2
0
tan a
0
_7|
3
1
73
II
cota
II
Tã
1
73
3
0
Góc giữa hai vectơ
Cho hai vectơ a và b khác 0. Từ điểm o bất kỳ, vẽ OÃ = a và OB — b. Góc AOB (có sô đo từ 0° đến 18O0}
(a , b) = 90", kí hiệu alb
B. GIẢI BÀI TẬP
Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có:
sinA = sin(B + C); b) cosA - -cos(B + C)
Giải
Ta có: Trong tam giác ABC thì A + (B + C) = 180° Hay A = 180° - (B + C) nghĩa là A và (B + C) bù nhau. Theo tính chất của hai góc bù nhau thì sinA = sin(B + C).
Tương tự câu A, ta có: cosA = -cos(B + C).
Cho AOB là tam giác cân tại 0 có OA = a và có các đường cao OH và AK. Giả sử ACIĨ4 = a. Tính AK và OK theo a và oc.
Giải
Ta có: OH là đường cao của tam giác cân AOB nên OH là tia phân giác của ACIR Khi đó A OR - 2cc
AK
AAOK vuông tại K nên —— = sin2a => AK - asin2a
AO
Tương tự —— = cos2a => OK = acos2a AO
Chứng minh rằng:
sinl05° = sin75° b) COS1700 = - coslO0 c) COS1220 = - cos58°
Giải
Ta có: 105° = 180° - 75°. Vậy sinl05° = sin75°
Ta có: 170° = 180° - 10°. Vậy sinl70° = -coslO0
Ta có: 122° = 180° - 58°. Vậy COS1220 = -cos58°
Chứng minh rằng với mọi góc a (0° < a < 180°) ta đều có:
	2_. .	•_2~ _ 1
cos a + sin a = 1
Giải
Theo định nghĩa, M(x; y) thuộc nửa đường tròn đơn vị trong mặt phẳng Oxy nên: OM2 = X2 + y2 X2 + y2 = 1
Mặc khác X = cosa và y = sinoc.
Vậy cos2a + sin2a = 1
Cho góc a với cosa = Ỷ. Tính giá trị của biểu thức:
p = 3sin2a + cos2a.
Giải
Ta có: cos2a + sin2a = 1
sin2a = 1 - cos2a = 1
Mặc khác: p = 3sin2a + cos2a = 2sin2a + sin2a + COS2OC
= 2sin2a + 1 = 2.— + 1 = ——— = 9	9	9
Vậy:
Cho hình vuông ABCD. Tính: cos(AC, BA), sin (AC, BD), cos(AB, CD).
Giải
Tính cos(AC, BA)
Vẽ tia AB'là tia đối của tia AB, ta có: (AC, BA) có số đo là CAB'.
Suy ra (AC, BA) = 135°
Vậy COS1350 =
Tính sin (AC, BD)
Ta có: (AC, BD) = COD = 90°
Vậy sin (AC, BD) = sin90° = 1
* Tính cos(AB, CD)
Vì AB và CD ngược hướng nên (AB, CD) = 0°
Vậy cos(AB, CD) = cosO0 = 1.