Giải bài tập Toán 10 Bài 3. Phương trình đường elip

BÀI 3.
PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG ELIP
KIẾN THỨC CẦN NAM vững
Elip
Cho hai điểm cố định F1, F2và độ dài không đổi 2a lớn hơn FiFg. Elip là tập hợp những điểm M trong mặt phẳng sao cho: MFi + MF2 = 2a. Trong đó:
Tiêu điểm của elip là Fb F2
Tiêu cự của elip chính là độ dài F1F2 - 2c.
Phương trình chính tắc
Cho hệ trục tạo độ Oxy với o là trung điểm của F!F2; trục hoành trùng với tiêu cự, sao cho Fi(-c; 0) và F2(c; 0); trục tung trùng với đường trung trực của F1F2. Trong hệ trục Oxy đó, elip có phương trình 2	2
. z . z x y
chính tắc là: —r +	= 1
a2 b2
Hình dạng của elip
Elip có trục đối xứng là Ox và Oy, tâm đối xứng là o.
Elip cắt Ox tại Ai(-a; 0) và A2(a; 0); cắt Oy tại B1(O; -b) và B2(0; b). Khi đó:
+ A1, A2, Bi, B2 gọi là đỉnh của elip
+ AịA2 = 2a gọi là trục lớn của elip
+ B1B2 = 2b gọi là trục nhỏ của elip.
Liên hệ giữa đường tròn và elip
Đường tròn X2 + y2 = a2 được co về trục Ox thành elip X2	V2	b
—7 +	= 1, với hệ số co k = —(()< b < a).
a	b	a
GIẢI BÀI TẬP
Xác định độ dài các trục, tọa độ các tiêu điểm, tọa độ các đỉnh của các elip có phương trình sau:
a)^- + 7- = l; b) 4x2 + 9y2 = 1; c) 4x2 + 9y2 = 36.
25 9
Giải
a) Ta có: a2 = 25 => a = 5
b2 = 9 => b = 3
Vậy c2 = a2 - b2 = 25 - 9 = 16 => c = 4
Độ dài trục lớn là A1A2 = 10
Độ dài trục nhỏ là B1B2 = 6 Tiêu điểm là Fi(-4; 0); F2(4; 0)
Tọa độ các đính là A1(—5; 0); As(5; 0); B1(O; -3); Ba(0;3)
b) Ta có: a2
Độ dài trục lớn là AjA2 = 1
Độ dài trục nhỏ là B1B2 =
Tiêu điểm là F,
Tọa độ các đỉnh là
Chia 2 vế của phương trình cho 36, ta được
Ta có: a2 = 9	=> a = 3
=> c = V5
b2 = 4	=> b = 2
Vậy: c2 = a2 - b2 =9-4 = 5
Độ dài trục lớn là A1A2 = 6
Độ dài trục nhỏ là B]B2 = 4
Tiêu điểm là Fị(-\/5;0); F,(V5;()j
Tọa độ các đỉnh là Ai(-3; 0); A2(3; 0); B1(O; -2); B2(0; 2)
Lập phương trình chính tắc của elip, biết:
Độ dài trục lớn và trục nhỏ lần lượt là 8 và 6.
Độ dài trục lớn bằng 10 và tiêu cự bằng 6.
Giải
a) Vì độ dài trục lớn A1A2 = 2a = 8 nên a = 4
Vì độ dài trục nhỏ B1B2 - 2b = 6 nên b = 3
Vậy phương trình cua (E) là — + — = i 25 16
a) Vì độ dài trục lớn AjA2 = 2a = 10 nên a - 5
Vì tiêu cự F!F2 = 2c = 6 nên c = 3
Ta có: b2 = a2 - c2 = 25 - 9 = 16
2	2
. x X y
Vậy phương trình (E) là — + — = 1.
25 16
Lập phương trình chính tắc của elip trong các trường hợp sau:
	 .	12
a) Elip đi qua các điểm M(0; 3) và N 3;—— 1	5
b) Elip có một tiêu điểm là F,i—v/3;0l và điểm
V3
M 1;—
2
nằm
trên elip.
Giải
a) Phương trình (E) có dạng: —— +	= 1
a b
„	9	.	, ọ „
M(0; 3) e (E) « 0 + -- = 1 o b2 = 9
b
9	144
25b2 ”
12
5
(1)
(2)
Từ (1) và (2) suy ra
a"
a2 = 25
b2 =9
Vì M
e (E) nên -y +	= 1
a 4b
(1)
(2)
X’ y-
Vậy phương trình của (E) là —— + — = 1 25 9
b) Vì (E) có tiêu điểm F( í -ạ/3;0 ị nên ta có c = V3
Mặt khác c2 = a2 - b2 nên a2 - b2 =	= 3
Từ (1) và (2) suy ra <
hay
Vậy phương trình của (E) là -—F -— = 1
Để cắt một báng hiệu quảng cáo hình elip có trục lớn là 80cm và trục nhó là 40cm từ một tâm ván ép hình chừ nhật có kích thước 80cm X 40cm, người ta vẽ hình elip đó trên tấm ván ép như hình dưới. Hoi phải ghim hai cái đinh cách các mép tấm ván .ép bao nhiêu và lấy vòng dây có độ dài là bao nhiêu?
Giải
Vì trục lờn của clip A]A2 = 2a = 80cm nên a = 40 (cm)
=> a2 = 1600
Vì trục nhỏ của clip bhB-2 = 2b = 40cm nên b = 20 (cm)
=> b2 = 400
3
1-2
Ta có: c2 = a2 — b2
= 1600 - 400 = 1200
Suy ra c = 20 VH
Vậy phải ghim 2 cây đinh F], F2 cách mép tấm ván ép là:
AiFi = A2F2 = 40 - 20 Vi * 5,36(cm)
Độ dài của vòng dây là:
MFi + MF2 + F1F2 = 80 + 40 Vi ~ 149,28(cm)
Cho hai đường tròn Cl (Fl; R1) và c2 (F2; Rọ). Cj nằm trong c2 và F1 F2. Đường trong c thay đối luôn tiêp xúc ngoài với C1 và tiếp xúc trong với c2. Hãy chứng tỏ rằng tâm M của đường tròn c di động trên một elip.
Giải
Vì (C) có tâm là M và bán kính Rtiếp xúc ngoài với (C1) tại A, nên: MF1 = R + Rj.
Đồng thời (C) tiếp xúc trong với (C2) tại A2 nên MF2 = R2 - R
Suy ra MF1 + MF2 = R2 - R + R1 + R
= R-. 4- R2
Vì Ri + R2 không đổi nên tâm M của (C) luôn di động trên 1 elip tiêu điểm F1jF2, độ dài trục lớn R1 R2.