Giải bài tập Toán 10 CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG III

CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP CUỐI CHƯƠING III
TRẢ LỜI CÂU HỎI VÀ GIẢI BÀI TẬP
Cho hình chữ nhật ABCD. Biết các đỉnh A(5; 1), C(0; 6) và phương trình CD: X + 2y -12 = 0. Tìm phương trình các đường thẳng chứa các cạnh còn lại.
Giải
Ta có: ABCD là hình chữ nhật nên AB // CD Khi đó AB có phương trình: X + 2y + m = 0 Mà A(5; 1) 6 AB nên m = -7.
.	r-1	yẠ
Vậy AB có phương trình: X + 2y - 7 = 0
Mặt khác AD 1 AB nên AD có A phương trình: 2x - y + n = 0
Mà A e AD nên n = -9
Vậy AD có phương trình 2x - y - 9 = 0
* Vì BC // AD nên BC có phương trình:	;
2x - y + p = 0	0	5 X
Mà c 6 BC nên p = 6
Vậy CB có phương trình 2x - y + 6 = 0
Cho A(l; 2), B(-3; 1) và C(4; -2). Tìm tập hợp các điểm M sao cho MA2 + MB2 = MC2
Giải
Giả sử M có tọa độ là (x; y), ta có: MA2 = (x - l)2 + (y - 2)2; MB2 = (x + 3)2 + (y - 1), MC2 = (x - 4)2 + (y + 2)2.
Vì MA2 + MB2 = MC2 nên: X2 + y2 + 12x - lOy -5 = 0
Vậy (M| là đường tròn tâm K-6; 5), bán kính R = \/ó6 .
Tìm tập hợp các điếm cách đều hai đường thang: Ap 5x + 3y -3 = 0 và A2: 5x + 3y + 7 = 0
Giải
Gọi Mix; y) là điểm cách đều A] và A2; ta có: d(M; A1) = d(M; A2)
Tính ra ta dược M|t
2.4'
3;3 .
5x + 3y - 3 = ±(5x + 3y + 7) = 0
Vậy tập hợp những điểm M là đường thẳng song song và cách đều A| và A2.
. 4. Cho đưừng thẳng A: x - y + 2 = 0 và hai điếm 0(0; 0), A(2; 0).
Tim điểm đồi xứng của o qua A.
Tìm diêm M tròn A sao cho độ dài dường gấp khúc OMA ngắn nhất.
Giải
Gọi O’ là điểm đối xứng cua o qua A, khi đó O’(-2; 2)
Ta có: M 6 A nên MO = MO’.
Khi đó độ dài đường gấp khúc là: OA + OM + MA = OA + O’M + MA.
Trong hệ thức trên, OA không đôi nôn OMA ngắn nhất khi O’M + MA.
Ta có O’M + MA ngắn nhất khi và chi khi M trùng với Mo, với M là giao diêm của ()’A và A.
Cho ha diem A(4; 3), B(2; 7) và C(-3; -8).
Tìm tọa độ cua trọng tâm G và trực tám 11 của tam giác ABC;
Gọi T là tám dường tròn ngoại tiêp tam giác ABC. Chựng minh T, G và 11 thang hàng.
a) Gọi G(x; y) là trọng tâm của AABC, ta có:
. Vậy G( 1; 7 )
Gọi H(x; y) là trực tâm của AABC, ta có:
ÃH.BC = Õ x + 3y-13 = 0
BH.AC = O 7x 4-1 ly - 91 = 0
Giải hệ phương trình
X + 3y -13 = 0
7x + l ly-91 = 0
ta được X = 13, y = 0.
Vậy 11(13; 0).
b) Ta có T(x; y) là tâm đường tròn ngoại tiếp AABC, nên:
TA = TB (x-4)2 + (y - 3)2 = (x-2)2+(y-7)2
TA = TC (X - 4)2 + (y - 3)2 = (x + 3)2 + (y + 8)2
Giải hệ '
(x-2)2+(y-7)2
(x + 3)2 + (y + 8)2
ta được X = -5, y - 1. Vậy T(-5; 1)
	 (	1	 ■	—. 
Mà TG = 6;-ị và TH = (18;-1) nên 3TG=TH Vậy T, G, H thẳng hàng.
Lập phương trình hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng 3x - 4y + 12 = 0 và 12x + 5y - 7 = 0.
Giải
Ta có:
|3x-4y + 12| |12x + 5y-7|
_ = —
 13(3x -4y +12) = ±5(12x + 5y - 7)
21x+.77y -191 = 0
99x-27y +121 = 0
Cho đường tròn (C) có tâm 1(1; 2) và bán kính bằng 3. Chứng minh rằng tập hợp các điểm M mà từ đó ta vẽ được hai tiếp tuyến với
(C) tạo với nhau một góc 60° là một đường tròn. Hãy viết phương trình đường tròn đó.
Giải
Gọi T là tiếp điểm của (C) và tiếp tuyến vẽ từ M, ta có: AITM vuông tại T cho: IM = 2IT = 6.
Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn tâm I, bán kính R - 6.
Phương trình của đường tròn này là: (x - l)2 + (y - 2)2 = 36.
Tìm góc giữa hai đường thẳng A1 và A2 trong các trường hợp sau:
Ap 2x + y - 4 = 0 và A2: 5x - 2y + 3 = 0
1	3
A.: y = -2x + 0 và Ao: y = — X + -2-.
1 J	2	2
Giải
a) Ta có: Aj có n, = (2;1); A, có n2 = (5;-2)
=>Ịa,,aJ = 48(i21'59" \ 1 -)
b) Tạ có: A1 có ki = -2; A2 có k2 = — 2
Mà kj.k2 = -1 nên Al 1 A2
X2 y2
Cho elip (E): —— + 2— = 1
16 9
Tìm tọa độ các đỉnh, các tiêu điếm và vẽ elip đó.
Giải
Ta có: a2 = 16 => a = 4
b2 = 9 => b = 3
Mặc khác c2 = a2 — b2 = 16 — 9 = 7 => c = V?
+ Tọa độ các đỉnh: A1(—4; 0); A2(4; 0); B1(O; -3); B2(0; 3)
+ Tọa độ tiêu điểm: F1(-V?; 0); F2(a/7 ; 0)
Ta biết rằng Mặt Trăng chuyển động quanh Trái Đất theo một quỹ đạo là một elip mà Trái Đất là một tiêu điểm. Elip đó có chiều dài trục lớn và trục nhỏ lần lượt là 769 266 km và 768 106 km. Tính khoảng cách ngắn nhất và khoảng cách dài nhất từ Trái Đất đến Mặt Trăng, biết rằng các khoảng cách đó đạt được khi Trái Đất và Mặt Trăng nằm trên trục lớn của elip.
Giải
Ta có: AxA2 = 769266 = 2a;
B1B2= 768106 = 2b.
Suy ra a = 384633km; b = 384053km
Mặc khác: c2 = a2 - b2 = 3846332 - 3840532 = 44 583 7 880
Suy rac ~ 21115 km
Khoảng cách ngắn nhất là:
F1A1 = a - c = 384633 - 21115 = 363518 (km)
Khoảng cách dài nhất là:
CÀU HỎI TRẮC NGHIỆM
Cho tam giác ABC có tọa độ các đính là A( 1; 2), B(3; 1) và C(5; 4). Phương trình nào sau đây là phương trình đường cao của tam giác vẽ từ A?
2x + 3y - 8 = 0;	(B) 3x - 2y - 5 = 0;
(C) 5x-6y + 7 = 0;	(D) 3x - 2y + 5 = 0.
Giải
Đường cao phát xuất từ A nên phương trình đường cao có vectơ pháp tuyến là BC = (2 ; 3). Vậy chọn dáp án A.
Cho tam giác ABC với các đỉnh là A(—1; 1), 13(4; 7) và C(3; -2), M là trung điểm của đoạn thẳng AB. Phương trình tham số của trung tuyến CM là:
(A)
(C)
X = 3 +1
y = -2 + 4t’
(B)
X = 3 + t
y = -2-4t
x = 3-t y = 4 + 2t’
(D)
ly
= 3 + 3t
= -2 + 4t
Giải
Vì M là trung điểm của AB nên M có tọa độ
là 4; 4
V 2
—- , 3
Khi đó CM = (-^:6)
2
Vậy phương trình tham số của CM:
3.
■7-t
2
y = -2 + 6t
x = 3-
3. Cho phương trình tham số của đường thẳng d:
X = 5 + t
y = -9-2t
Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình tổng quát của (d)?
(A) 2x + y - 1 = 0;
(C) X + 2y + 2 = 0;
(B) 2x + 3y + 1 = 0; (D) X + 2y - 2 = 0.
Giải
Khử t trong phương trình tham số ta được phương trình tổng quát của (d) là: 2x + y - 1 = 0.
Vậy chọn đáp án A.
4. Đường thẳng đi qua điểm M(l; 0) và song song với đường thẳng d: 4x + 2y +1 = 0 có phương trình tổng quát là:
(A) 4x + 2y + 3 = 0;	(B) 2x + y + 4 = 0;
(C) 2x + y - 2 = 0;	(D) X - 2y + 3 = 0.
Giải
Gọi (d’) là đường thẳng đi qua M(l; 0).
Vì (d’) // (d) nên (d’) có phương trình là 4x + 2y + m = 0
mà M(l; 0) e (d’) nên m = -4
Vậy phương trình của (d’) là: 2x + y - 2 = 0
Vậy chọn đáp án c.
5. Cho đường thẳng d có phương trình tống quát: 3x + 5y + 2006 = 0. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
(d) có vectơ pháp tuyến n =(3 ; 5);
(d) có vectơ chỉ phương a = (5 ; —3);
(d) có hệ số góc k =
(d) song song với đường thẳng 3x + 5y = 0.
k=4
b
1(0; -2) và
tiếp xúc với đường
Giải
Ta có a - 3, b = 5 suy ra hệ số góc
Vậy chọn đáp án c.
Bán kính của đường tròn tâm thẳng A: 3x - 4y - 23 - 0 là:
(A) 15;
(B) 5;
3
(C) 4;
5
(D) 3.
Giải
Ta có R = d(I; A) =
|3.0-4(-2)-23| 15 ,
x/ì2 + ả2 ~ 5 ~
Vậy chọn đáp án D.
Cho hai đường thẳng:
dư 2x + y + 4 - m = 0 và d2: (m + 3)x + y-2m-l = 0
di song song với da khi:
(A) m = 1;
(B) m = -1;
Giải
(C) m = 2;
(D) m = 3.
Ta có: d, // d2 — = — * —. Suy ra - 2 = - m = -1 a2 b2 c2 m+3 1
_ a,
Khi m = -1 thì — = 5	.
c2 a2
Vậy chọn đáp án B.
Cho (di): x + 2y + 4 = 0 và giữa hai đường thẳng di và d2 là:
30°;	(B) 60°;
(d2): 2x - y + 6 = 0. Số đo của góc
(C) 45°;
(D) 90°.
Ta có: cos
Giải
|n,.n2| _|1.2-2.1|
InJ.ln-,! V5.V5
=>(d1;d2) = 90°
Vậy chọn đáp ủn D.
9. Cho hai đường thẳng Ai: X + y + 5 - 0 và A2: y = -10. Góc giữa
A1 và A2 là:
(Ã) 45°;
(B) 30°;
(C) 88°57’52”;	(D) 1°13’8”.
Giải
Ta có: cos(A(;A,) =
n ,n2
V2.V1 - V2 _ 2
=> At;A, = 45". Vậy chọn dáp án A.
Khoảng cách từ điểm M(0; 3) đến đường thẳng: A: xcosa + ysina + 3(2 - sina) = 0 là:
(A). Vó ;
(B). 6;
(C). 3 since;
(D).	■
sina + cosa
Giải
().cosa + 3.sina + 6-3.sina
Ta có: d(M, A) = 	,	—— 	- = 6
Vcos2 a + sin2 a
Vậy chọn đáp án B.
Phương trình nào sau đây là phương trình đường tròn?
X2 + 2y2 - 4x - 8y + 1 = 0;
4x2 + y2 - lOx - 6y - 2 = 0;
X2 + y2 - 2x - 8y + 20 = 0;
X2 + 2y2 - 4x + 6y - 12 = 0.
Giải
Hai phương trình trong câu (A), (B) không phải có dạng:
X2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 nên không là phương trình của đường tròn.
Phương trình trong câu (C) có tâm 1(1; 4) và a2 + b2 - c < 0 nên cũng không phải là phương trình đường tròn.
Vậy chọn đáp án D.
Cho đường tròn (C) X2 + y2 + 2x + 4y - 20 = 0. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
Đường tròn (C) có tâm 1(1; 2);
Đường tròn (C) có bán kính R = 5;
Đường tròn (C) đi qua điểm M(2; 2);
Đường tròn (C) không đi qua điểm A(l; 1).
Giải
Chọn đáp án A.
Phương trình tiếp tuyến tại điểm M(3; 4) với đường tròn (C) X2 + y2 - 2x - 4y - 3 = 0 là:
(A) X + y - 7 - 0;	(B) X + y + 7 = 0;
(C) X - y - 7 = 0;	(D) X + y - 3 = 0.
Giải
Ta có M(3; 4) thỏa phương trình X + y - 7 = 0 nên tiếp tuyến của (C) đi qua M. Vậy chọn đáp án A.
Cho đường tròn (C): X2 + y2 - 4x - 2y = 0 và đường thẳng A: X + 2y + 1 = 0. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
(A) A đi qua tâm của (C);	(B) A cắt (C) tại hai điểm;
(C) A tiếp xúc (C);	(D) A không có điểm chung với (C).
Giải
I- . _	. |x + 2y + l| I-
(C) có tâm 1(2; 1), bán kính R = V5 và d(I, A) = -	V	 = V5
V5 . nên (C) tiếp xúc với A. Vậy chọn đáp án c.
Đường tròn (C): x2 + y2-x + y- l = 0có tâm I và bán kính R là: (A)I(-l; 1), R= 1;	(B) I(ị;-ị), R - ệ;
Với giá trị nào của m thì phương trình sau đây là phương trình của đường tròn X2 + y2 - 2(m + 2)x + 4my + lỡm -6 = 0?
(A) 1 < m < 2;	(B) -2 < m < 1;
(C) m 2;	(D) m 1.
Giải
Gọi I là tâm đường tròn. Điều kiện để đường tròn tâm I(m + 2; -2m) có bán kính là:
(m + 2)2 + (-2m)2 - 19m + 6 > 0
Giải ra ta được m > 2 hoặc m < 1. Vậy chọn đáp án c.
Đường thẳng A: 4x + 3y + m = 0 tiếp xúc với đường tròn (C): X2 + y2 = 1 khi:
(A) m = 3;	(B) m = 5;	(C) m = 1;	(D) m = 0.
Giải
Ta có: d(I, A) =
= 1 o m = ± 5. Vậy chọn đáp án B.
Cho hai điểm A(l; 1) và B(7; 5). Phương trình đường tròn đường kính AB là:
X2 + y2	+	8x +	6y +	12	=	0;
X2 + y2	-	8x -	6y +	12	=	0;
X2 + y2	-	8x -	6y -	12	=	0;
X2 + y2	+	8x +	6y -12	=	0.
Giải
Gọi I là tâm đường tròn cần tìm. Khi đó I có tọa độ (4; 3), bán kính R = \[ĩĩ. Phù hợp với phương trình X2 + y2 - 8x - 6y + 12 = 0.
Vậy chọn đáp án B.
Đường tròn đi qua ba điểm A(0; 2), B(-2; 0) và C(2; 0) có phương trình là:
(A) X2 + y2 = 8;	(B) X2 + y2 + 2x + 4 = 0;
(C) X2 + y2 - 2x - 8 = 0;	(D) X2 + y2 - 4 = 0.
Giải
Chọn đáp án D. X2 + y2 - 4 = 0
Cho điểm M(0; 4) và đường tròn (C): X2 + y2 - 8x - 6y + 21 = 0. Tìm phát biểu đúng trong các phát biểu sau:
(A) M nằm ngoài (C);	(B) M nằm trên (C);
(C) M nàm trong (C);	(D) M trùng với tâm của (C).
Giải
Ta có: (C) có tâm 1(4; 3) và R = 2
Trong khi đó OM = 4 > R nên M nằm ngoài (C).
Vậy chọn đáp án A.
x' y' .	. , z z ,
Cho elip (E)	F — = 1 và cho các mệnh đê:
25 9
Elip (E) có các tiêu điểm Fi(-4; 0) và F2(4; 0);
z c 4
Elip (E) có tỉ số — = -7;
a 5
Elip (E) có đỉnh Ai(-5; 0);
Elip (E) có độ dài trục nhỏ bằng 3.
Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
(A) (I) và (II);	(B) (II) và (III);
(C) (I) và (III);	(D) (IV) và (I).
Giải
Vì (E) có độ dài trục nhỏ là 6 (do b - 3) nên mệnh đề (IV) sai. Vậy chọn đáp án D.
Phương trình chính tắc của elip có hai đỉnh là (-3; 0), (3; 0) và hai tiêu điểm là (-1; 0), (1; 0) là:
(A)^ + ỊỈ = 1;	(B) 4 + ^=1;
9	1	8	9
(C)^ + ^-=l;	(D)^ + ^ = l.
9	8	19
Giải
Ta có: a = 3; c = 1 => b2 = a2 - c2 = 9 - 1 = 8
2	2
• z	X y
Vậy (E) có phương trình là ~	= 1 ■ Vậy chọn đáp án c.
Cho elip (E): X2 + 4y2 = 1 và các mệnh đề:
(E) có trục lớn bằng 1;
(E) có trục nhỏ bằng 4;
(E) có tiêu điếm F1(();—);
2
(E) có tiêu cự bằng V5.
Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
(A) (I);	(B) (II) và (IV);
(C) (I) và (III);	(D) (IV).
Giải
1	, , ,, ,	1
Ta CÓ: a = 1; b = A=> c2 = a2 - b2 = 1 - — =
2	4
Tiêu cự F1F-2 = 2c = V-3 . Vậy chọn, đáp án D.
/3
2
Dây cung của elip (E): — + -^7 = 1 (0 < b < a) vuông góc với b
a trục lớn tại tiêu điểm có độ dài là:
. . 2c2
(A) —;
a
2a
(C) —;
c
Giải
Vì dây cung của elip qua tiêu điểm nên mọi điểm trên dây đều có tọa độ (c; y).
Các điếm thuộc (E) nên:
14=
a b
2b2
-.2	..2	.2	12
y	a - c	b
12 —	..2
b	a
Độ dài dây cung là ——. Vậy chọn đáp án B.
_	,	' c 12
Một elip có trục lớn bang 26, tỉ so — = — ■ Trục nhỏ của elip a 13
bằng bao nhiêu?
(A) 5;
(D) 24.
10;	(C) 12;
Giải
Elip có trục lớn bằng 26 nên a = 13
_ c 12
Từ — = — suy ra c = 12 a 13
Ta có b2 = a2 - c2 = 132 - 122 = 25 => b = 5
Trục nhỏ bằng 2b = 10. Vậy chọn đáp án B.
Cho elip (E): 4x2 + 9y2 = 36. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
(B) (E) có trục nhỏ bàng 4;
5
(D) (E) có tỉ số
a 3
(A) (E) có trục lớn bằng 6;
Giải
Chia 2 vô của phương trình cho 36 ta được — + — = 1
9	4
Ta có: a2 = 9 => a = 3
b 2 = 3 => b = 2
Vậy C" = 5 => c = <5
Vậy (E) CÓ tiêu Cự I?1I?2 là .
Chọn đáp án c.
Cho đường tròn (C) tâm F-J bán kính 2a và một điớm F2 ó' bên trong của (C). Tập hợp tâm M của các đường tròn (C’) thay đổi những luôn đi qua 1?2 và tiếp xúc với (C) (hình dưới) là đường nào sau đây?
(A) Đường thắng;	(B) Đường tròn;
Elip;	(D) Parapol.
Giải
Gọi A là tiếp điểm cúa (C) và (ơ)
Ta có: MF1 + MI?2 = MF1 + M(p = 2a (hằng số)
Hệ thức này chứng tỏ tập hựp M lồ elip. Chọn đáp ớn c.
Khi cho t thay đối, điếm M(5cost; 4sint) di động trên đường
nào sau đây?
(A) Elip;
(C) Parapol;
(B) Đường thắng;
Đường tròn.
Giải
_	X
X = 5 cos t => cos I = —
Gọi M(x; y) với
5
y = 4sin t => sin t = Y
Mà sin21 + cos21 = 1 nên — + — = 1
25 16 Vậy M di động trên (E). Chọn đạp án A.
_	1S X V	_	_	
Cho (E):——+ 2—= 1 (0<b<a). Gọi Fl, F2 là hai tiêu điểm và a2 b2
cho điểm M(0; -b). Giá trị nào sau đây bằng giá trị của biểu thức MF1.MF2 - OM2?
(A) c2;	(B) 2a2;	(C) 2b2;	(D) a2 - b2.
Giải
Vì (E) có F1(—c; 0); F2(c; 0) nên Mp! = Vc2 + b2 , MF, = ực’ + b"
Khi đó
MFj.MF, = c2 + b2
OM2=b2
MFrMF2 - OM2 = c2
Chọn đáp án A.
X2 y2 ,	. , .
Cho elip (E) —— + — = 1 và đường thẳng A: y + 3 = 0.
16 9
Tính các khoảng cách từ hai tiêu điểm của (E) đến đường A' bằng giá trị nào sau đây:
(A) 16;	(B) 9;	(C) 81;	(D) 7.
Giải
Ta có (E) có 2 tiêu điểm là F,(-V7;0); F,(v/7;0)
I0 + 3I I0-1-3I
Khi đó d(FpA).d(F,,A) = l-p.l-p = 3.3 = 9
Vl V1
Chọn đáp án B.