Giải bài tập Toán 10 Bài 2. Tích vô hướng của hai vectơ

BÀI 2. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
A. KIẾN THỨC CẦN NAM vững
Tích vô hướng của hai vectơ
Cho hai vectơ a và b đều khác 0. Tích vô hướng của ã và b là một số, kí hiệu là a . b .
Ta có: a.b = a . b cos(a,b)
Từ công thức trên, ta suy ra:
a = 0 hoặc b = 0, khi đó a.b =0.
a * 0, b / 0 và a .b = 0, khi đó a ± b
a . a = (a) = ã2: bình phương vô hướng của a .
Các tính chát
Với ba vectơ a , b , c và số k, ta có:
(tính giao hoán)
(tính phân phối)
(tính chất kết hợp)
a . b = b . a
a.(b +c) = a.b + a.c
(k. a). b = k( a. b ) = a ,(k b )
ã2 = 0 o a = 0
Biếu thức tọa độ
Trên mặt phẳng Oxy, cho a = (ai, a2) và b = (bi, b2), ta có
a . b = ai.bi + a2.b2
Các ứng dụng
* Tính độ dài của vectơ
Cho vectơ a = (a1; a2), ta có: a = ựa2 + a2
* Tính góc giữa hai vectơ
Cho hai vectơ a = (ab a2) và b = (bi, b2), ta có:
cos(a,b
a.b. a, bị +a,b2
* Tính khoảng cách giữa hai điểm.
Cho hai điểm A(xa, Ỵa) và B(xb, Ỵb), ta có:
XB-X
B. GIẢI BÀI TẬP
Cho tam giác vuông cân ABC có AB = AC = a. Tính các tích vô
hướng AB.AC , AC.CB .
Giải
AB.AC = AB . AC ,cos(AB, AC)
= 0(vìAB±AC)
* Ta có:
Vậy AB.AC = 0.
Ta có: AB.AC = AB . AC .cos(AC,CB)
Mà (AC,CB) = C'CB (CC’ là tia đối của tia CA) = 135°
nên AC.CB - a
Cho ba điểm o, A, B thẳng hàng và biết OA = a, OB = b. Tính tích vô hướng OA.OB trong hai trường hợp:
Điểm o nằm ngoài đoạn AB;
Điểm 0 nằm trong đoạn AB.
Giải
a) Ta có:
OA.OB
OA . OB .cos()° = a.b
(OA và OB cùng hướng)
Ta có: OA và OB ngược hướng nên (OA,OB)=180°
Suy ra cos(OA,OB) = - 1
Vậy OA.OB = a.b.cosl80° A *7	-'
o b
= - ab.	a
Cho nửa đường tròn tâm o có đường kính AB = 2R. Gọi M và N là hai điểm thuộc nửa đường tròn sao cho hai dây cung AM và BN cắt nhau tại I.
Chứng minh AI.AM = AI.AB và BI.BN = BI.BA:
Hãy dùng câu a) để tính AI.AM + BI.BN theo R.
Giải
a) Ta có: (AI,AM) = 0°
(vì AI và AM cùng hướng)
=> Ãỉ . ĂM= AI. AM (1)
AI . AB = AI . AB . cos(AI,AB)
Mà AB . cos(Al.AB) - AM (A ABM vuông tại M)
nên AI . AB = AI . AM (2)
Từ (1) và (2) suy ra AI . AM = AI . AB
b) Ta có: AI . AM + BI . BN = AI . AB + BI . BA
= AB (AĨ - BÌ) = AB . AB = Aẻ2 = AB2 = 4R2
Trên mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A( 1; 3), B(4; 2).
Tìm tọa độ điểm D nằm trên trục Ox sao cho DA = DB;
Tính chu vi tam giác OAB;
Chứng tỏ OA vuông góc với AB và từ đó tính diện tích tam giác OAB.
Giải
a) Gọi (x; 0) là tọa độ của D. Ta có:
DA = ự(l-x)2 + (3)2 = 7x2 - 2x + 10
DB = 7(4 - x)2 + (2)2 = Vx2 -8x + 20
Do DA = DB nên:
ựx2 - 2x + 10 = VX2 - 8x + 20 6x = 10 X = —
3
Vậy D(| ;()).
b) Ta có:
OA2 = I2	+ 32 =10	=>	OA =	7ĨÕ
AB2 = 32	+ (-1)2 = 10	=>	AB =	710
OB2 = 42	+ 22 = 20	=>	OB =	72.710
Chu vi AOAB là:
p = OA + AB + OB = 7ĨÕ + 7ĨÕ + 72.710 = 710(2 + 77)
Ta có: OA2 + AB2 = 20 = OB2
Suy ra AOAB vuông tại B hay OA 1 AB
Diện tích AOAB là:
s = ịoA.OB = ị 710.710 = 5.
2
Trên mặt phẳng Oxy hãy tính góc giữa hai vecto' a và b trong các trường hợp sau:
a = (2; -3), b = (6; 4);
a = (3; 2), b = (5; -1);
a = (-2; -273), b = (3; 77);
Giải
Ta có: a. b= 12 - 12 = 0
Vậy cos( a . b ) - 0 suy ra (a , b ) = 90°
Ta có: a. b= 15 - 2 = 13
Khi đó: a
7Ĩ3 ; b = 726
cos(a,b) =
13	77
777726 2
Vậy (a, b) = 45°.
Ta có: a . b = -6 - 6 = -12
Khi đó: a
716 = 4 ; b = 77+3 = 277
- 7'	-12	-3	V3 _
cos(a,b) =—=	= Vậy(a,b)= 150°.
4.273 273	2
6. Trên mặt phẳng phẳng tọa độ Oxy cho bôn điểm:
A(7;-3),	B(8; 4),
cơ, 15),	D(0;-2).
Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình vuông.
Ta có:
Do đó
Giải
ÃB = (1; 7); ÃD = (-7; 1)
AB . AD = 0 => AB i AD ÃB = Vl2 + 72 = V 50 ;
à D = ự(-7)2 + l2 = ự 5 0
(1)
Suy ra AB = AD
(2)
DC = (1 ; 7)
Mặc khác 	.
AB = (1 ; 7)
>=4> DC = AB
(3)
Từ (1), (2), (3) suy ra tứ giác ABCD có các cạnh bằng nhau và
vuông góc với nhau nên nó là hình vuông.
7. Trên mặt phảng Oxy cho điểm A(-2; 1). Gọi B là điểm đối xứng với điểm A qua gốc tọa độ o. Tìm tọa độ của điểm c có tung độ bằng 2 sao cho tam giác ABC vuông ở c.
Giải
Vì B đối xứng với A(-2; 1) qua 0 nên ta có: B(2; -1). Gọi (x; 2) là tọa độ của c.
Vì AABC vuông tại c nên CA . CB = 0	(*)
Mà CA = (-2 - x; -1) và CB = (2 - x; -3)
nên (*) o - (2 + x) (2 - x) + 3 = 0
0-4 +X2+ 3 = 0
o X2 = 1
o X2 = ± 1
Vậy cơ; 2) hay C(-l; 2).