Giải bài tập Toán 10 ÔN TẬP CUỐI NĂM

ÔN TẬP CUỐI NÃM
1. Cho hai vectơ
thì hai vectơ a + mb
a và b có a — 3 , b = 5 . Với giá trị nào của m và a -mb vuông góc với nhau?
Giải
Ta có: (a + mb ) (a - mb ) = a - m2b2 = 9 - 25m2
Mặc khác (a + mb) 1 (a - mb) nên 9 - 25m2 = 0 .	9	3
Khi đó m2 = —- => m = ± —
25	5
2. Cho tam giác ABC và hai điểm M, N sao cho AM —O.AB;
AN -O.AC
, _	.	 2 ' „ 2
Hãy vẽ M, N khi a = — và p — —.
3	3
Hãy tìm mối liên hệ giữa a và p đế’ MN song song với BC.
Giải
' n 2 ,
Khi a = — và p = — ta có:
3
——— 2 —-	— 2 ■—
AM = — AB và AN——AC
b) MN-AN-AM
MN=pAC-aAB
(1)
3
Mặt khác: BC = AC-AB (2)
Từ (1) và (2) suy ra PAC — O.AB = kAC - kAB
Khi đó p = k = a
Vậy MN //BC a p = a.
3. Cho tam giác đều ABC cạnh a.
Cho M là một điểm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tính MA2 + MB2 + MC2 theo a.
Cho đường thắng d tùy ý, tìm điểm N trên đường thẳng d sao cho NA2 + NB2 + NC2 nhỏ nhất.
Giải
Ta có MA = MA . Mà MA = MO + OA
nên MA -MO +OA + MO + OA
(1)
Tương tự MB = MO +OB + 2MO .OB
(2)
MC = MO +OC + 2MO . oc
Từ (1), (2) và (3) suy ra MA2 + MB2 + MC2
(3)
= 3 MO +OA +
OB +OC +2MO (OA + OB + OC)
= 3 MO + OA +
OB +OC
(4)
Vì M e (O) nên MO = R
Và OA = OB = oc = R nên (4) có thể viết thành:
MA2 + MB2 + MC2 = 6R2
* l Mặt khác, AABC đều nên R = —
3 Suy ra MA2 + MB2 + MC2 = 2a2
NA2 + NB2 + NC2 = 3 NO + OA + OB +OC (xem câu a)
Ta có:
Do đó NA2 + NB2 + NC2 nhỏ nhất khi và chỉ khi NO nhỏ nhất
« NO 1 (d)
 N = H, hình chiếu của o lên (d).
Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng 6 cm. Một điểm M nằm trên cạnh BC sao cho BM = 2cm.
Tính độ dài của đoạn thẳng AM và tính côsin của góc BAM ;
Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABM;
Tính độ dài đường trung tuyến vẽ từ đỉnh c của tam giác ACM;
Tính diện tích tam giác ABM.
Giải
a) Xét tam giác ABM ta có: AB = 6cm; BM = 2cm, ABC = 6()"
Khi đó AM2 = AB2 + BM2 - 2.AB.BM.COS600
= 36 + 4-2.6.2. 1 = 28. Vậy AM = 2^7 em
Tính ra ta được cosBAM =——
14
Ta có = 2R với a - AM = 2\ỊĨ, sinA = 60° =
sin A	2
2V2Ĩ
Vậy R = —~
Gọi mc là độ dài trung tuyến của AACM vẽ từ c, ta có:
2(CA2+CM2)-AM2
in 	—_	
c	4
Với CA = 6 cm, CM = 4cm; AM = 2 5/7 cm.
Suy ra m . = V19 cm
d) Gọi s là diện tích của A ABM, ta có:
•	 I	/
s =-7BA.BM.sin ABM = ị.6.2.^-= 3V3 cm2
2	2
Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta đều có a) a = b cosC + c cosB;
sinA = sinBcosC + sinCcosB;
ha = 2RsinBsinC.
Giải
a) Giả sử B nhọn và c nhọn thì hình chiếu H của A lên cạnh BC thuộc đoạn BC.
Do đó HB + HC = BC (*)
Mà HB = c cosB và HC = b cosC
nên từ (*) ta có: BC = c cosB + b cosC
Vậy a = c cosB + b cosC
Giả sử B tù thì H thuộc tia Bx, tia đối của tia BC. Khi đóBC = HC - HB (**)
Mà HC = b cosC và HB = c cos B| = —c cosB (vì B1 bù B)
. nên từ (**) ta có: c - b cosC - (-C cosB)
Vậy a = b cosC + c cosB
Vì A và B + c bù nhau nên sinA = sin(B + C)
= sinB cosC + sinC cosB
(công thức cộng)
Vậy sinA = sinB cosC + sinC cosB
_	1 .	1 ,	• A A a
Ta có: — ah:i = — bc sinA và ——-
2	2	sin A
nên h - b.c. ■ -
sin A
Cho các điểm A (2; 3), B (9; 4), M (5; y) và p (x; 2).
Tìm y đế' tam giác AMB vuông tại M;
Tìm X đế' ba điểm A, B và p thẳng hàng.
Giải
a) AAMB vuông tại M cho ta: AM2 + MB2 = AB2
Mà AM2 = (3)2 + (3 - y)2; MB2 = (4)2 + (4 - y)2;
Nên AB2 = 72 + l2
Ta có y(y - 7) = 0
 y = 0 hoặc y = 7 Vậy có hai điểm:
M (5; 0) hoặc M (5; 7) b) Ta có: A, p và B thẳng hàng khi AP = k.AB (k 6 R)
x-2 = 7k
2-3 = k
k = -lx = -5
Vậy khi X = -5 thì ba điểm trên thẳng hàng.
Cho tam giác ABC với H là trực tâm. Biết phương trình đường thẳng AB, BH và AI-I lần lượt là 4x + y - 12 - 0, 5x - 4y - 15 = 0 và 2x + 2y - 9 = 0. Hãy viết phương trình hai đường thẳng chứa hai cạnh còn lại và đường cao thứ ba.
Giải
Từ phương trình đường thẳng AB và AH ta thấy giao điểm của AB
và AH là A với tọa độ của A là ; 2)
2
Từ phương trình đường thẳng AB và BH ta thấy giao điểm của AB và BH là B với tọa độ của B là (3; 0)
-ì
* Từ phương trình đường thẳng BH và AH ta thấy giao điểm của
BH và AH là H với tọa độ của H là
* Vì đường thẳng chứa cạnh AC đi qua A và vuông góc với BH: 5x - 4y - 15 = 0 nên phương trình có dạng 4x + 5y + k = 0.
Mà A (ị; 2) e AC nên 4.ị + 5.2 + k = 0 o k = -20
2	2
Vậy AC: 4x + 5y - 20 = 0
Vì BC 1 AH nên phương trình của BC có dạng X - y + p = 0. Mà BC đi qua B (3; 0) nên 3 - 0 + p = 0 o p = -3
Vậy BC: X - y - 3 = 0
Vì CH ± AB nên phương trình có dạng: - X + 4y + t = 0.
Mà CH đi qua H I —; — j nên - — + 4.— + t — 0 t — —
l 3 6J 3	6	3
Vậy CH: X - 4 y - I = 0 3x - 4y -1 = 0
Lập phương trình đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng A: 4x + 3y - 2 = 0 và tiếp XÚC với hai đường thẳng dp X + y + 4 = 0 và d2: 7x - y + 4 = 0
Giải
Gọi I (x; y) là tâm đường tròn cần tìm, ta CÓ: *IeA:4x + 3y-2 = 04x + 3y-2 = 0
|3x-ỵ + 4|
5
* d(I, di) = d(I, d2)
(1)
(2)
Từ (1) và (2) suy ra:
4x + 3y-2 = 0
5(x + y + 4) = 7x - y + 4
x [4x + 3y-2 = 0
5(x + y + 4) = -7x - y + 4
4x + 3y = 2
vã <
2x -6y = 16
x 4x + 3y = 2 12x + 4y = -24
x = 2
va 1
ly=-2
X = -2
ly-6
Vậy có 2 đường tròn:
(CO: (x- 2)2 + (y + 2)2 = 16
(C2): (X + 4)2 + (y - 6)2 = 36
Cho elip (E) có phương trình: -X .. + 21 - 1
100 36
Hãy xác định tọa độ các đỉnh, các tiêu điểm của elip (E) và vẽ elip đó.
Qua tiêu điềm của elip dựng đường song song với Oy và cắt elip tại hai điểm M và N. Tính độ dài đoạn MN.
Giải
a) Ta có
a2 - b2 = 100-36 = 64
a2 = 100	2
■1	suy ra c’
b2 = 36
Vậy a = 10; b = 6; c = 8
Tọa độ các đỉnh: Al (-10; 0); A2 (10; 0); B1 (0; -6); B2 (0; 6)
Tọa độ các tiêu điểm: F1 (-8; 0); F2 (8; 0)
Đường thẳng MN song với Oy và đi qua tiêu điểm của elip nên
jM(8,yM)
N(8,yN)
82 Ị y2
100 36
/=_9_
36 25
324
25
y = 11
5 n . Vậy ■
18
y = -“
5
N(8; -4)
15
Ta có: MN = (0;^)
5
|mn| = mn = y
hoành độ của M và N cũng chính là hoành độ của tiêu điểm elip.
Giả sử MN đi qua tiêu điểm bên phải thì
Ta có M 6 (E) nên:
Vậy độ dài đoạn MN là -7- (đơn vị chiều dài).