Giải bài tập Toán 10 Bài 1. Phương trình đường thẳng

CHƯƠNG III.
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MĂT PHANG
•	Õ
BÀI 1. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
A. KIẾN THỨC CẦN NAM vững
Vecto’ chỉ phương
Vectơ u được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng A nếu u 0 và giá của 11 song song hoặc trùng A.
Phương trình tham sô
Cho đường thẳng A qua điểm M()(xo;yo) và có u = (u|;uo) là hai vectơ chỉ phương.
* Phương trình tham sô' của A: <
X = x0 + tu, y = y() + tu2
* Hệ số góc của đường thẳng A:
Đặt a = xAv. Ta có:
Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng A cắt Ox tại điểm A. Tia Av thuộc A nằm trên nửa mặt phẳng bờ A chứa tia Oy.
k = tana là hệ số góc của đường thẳng- A.
Gọi u = (u1;u2) là một vectơ chủ phương của A. Ta có hệ số góc của A
là: k = — (u 0) UI
Vectơ pháp tuyến
Nếu đường thẳng A có vectơ chỉ phương u = (u,;u9) thì vectơ n sao cho n.ll = 0 là vectơ pháp tuyến của A.
Phương trình tổng quát
Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng A đi qua điểm M()(xo;yo) có vectơ pháp tuyến n = (a;b). Phương trình tổng quát của A:
ax + by + c = 0 (trong đó a2 + b2 > 0 và c = -ax(1 - by0)
VỊ trí tương đôi của hai đường thắng
Cho trong mặt phẳng Oxy hai đường thẳng: A, : HịX + b.y + c^O (a2 + b2 >0)
A2 : a2x + b,y + c2 = 0 (a2 + b2 > 0}
Ta xét hệ: (I)
x + b,y + c, = 0 I I* I
a,x + b,y + c, = 0
X •-	—	“
a. Nếu hệ (I) có một nghiệm thì Aj cắt A2
Nếu hệ (I) vô nghiệm thì A1// A2
Nếu hệ (I) có mọi cặp (x; y) đều là nghiêm thì A1 = A2
Góc giữa hai đường thẳng
Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng:
Aị : a,x + b,y + c, = 0 (a2+ b2>0)
A2 : a2x + b2y + c2 = 0 (a2 +'b2 > 0)
Đặt <p = (A(,A,), la có: cosip =
111
n,
cos(npn2)
	.
nl
n2
Hoặc cos (p =
Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Trong mặt phăng Oxy, cho điểm M(1(x(|;y ) và đường thẳng A: ax + by + c = 0. Khoảng cách từ điểm Mo đến đường thẳng A, kí hiệu: lax,. + byn + c|
(KMũ, A) được tính bởi công thức: d(M..,A) = -—-—1
Va2 + b2
B. GIẢI BÀI TẬP
Lập phương trình tham số của đường thẳng d trong mỗi trường hợp sau:
d đi qua điểm M(2; 1) và có vectơ chỉ phương u = (3; 4)
d đi qua điếm M(-2; 3) và có vectơ pháp tuyến là n = (5;1)
Giải
ai Ta có: d: <
x = 2 + 3t
y = l + 4t
b) Ta có: d: (x = -2 + t; y = 3 + 5t)
Lập phương trình tổng quát của đường thẳng A trong mỗi trường hợp sau:
A đi qua M(-5; -8) và có hệ sô góc k = -3;
A đi qua hai điểm A(2; 1) và B(-4; 5).
Giải
Ta có: A: y - (-8) = -3(x + 5) « y = -3x - 23
Ta có: A qua A(2; 1) và B(-4; 5) nên A có AB = (-6;4) là vectơ chi phương. Phương trình tham số của A là:
X - 2 — 6t
J	»
y = 1 + 4t
Khử t ta được: —— - —	o 2x + 3y - 7 = 0
-6	4
Cho tam giác ABC, biết A(l; 4), B(3; -1) và C(6; 2)
Lập phương trình tổng quát của các đường thẳng AB, AC và CA.
Lập phương trình tổng quát của đường cao AH và trung tuyến AM.
Giải
* Đường thẳng AB có vectơ chỉ phương AB = (2;-5) nên có vectơ pháp tuyến n = (5; 2)
Phương trình tống quát của đường thẳng AB là:
5(x - 1) + 2(y - 4) = 0 « 5x + 2y - 13 = 0
* Đường thắng BC có vectơ pháp tuyến n = (1; -1) nên có phương trình tổng quát là:
l(x - 3) - l(y - 1) = 0 <» X - y - 4 = 0
* Đường thẳng CA có vecto' pháp tuyến n = (2; 5) nên có phương trình tổng quát là:
2(x - 6) + 5(y - 2) = 0 « 2x + 5y - 22 = 0
* Vì AH là đường cao của AABC nên AH J_ BC. Do đó BC là vectơ pháp tuyến đường thẳng AH.
* Phương trình tổng quát của đường thẳng AH là:
l(x - 1) + l(y - 4) = 0 <» X + y - 5 = 0
* Vì M là trung điểm BC nên
. Khi đó đường thẳng AM
có vectơ chỉ phương AM =
và có vectơ pháp tuyến n = (7; 5).
Vậy phương trình tổng quát của AM là:
7(x - 1) + 5(y - 4) = 0 « 7x + 5y - 27 = 0
Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm M(4; 0) và điểm N(0; -1).
Giải
Đường thẳng đi qua M(4; 0) và N(0; -1) có vectơ pháp tuyến n = (-l;4).
Phương trình tổng quát của đường thẳng MN là:
— l(x - 4) + 4(y - 0) = 0 <» -X + 4y + 4 = 0
Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng di và da sau đây:
X = 5 +1
y = 3 + 2t
X = -6 + 51
y = 6 - 41
d, : 4x -lOy + 1 = 0 và d, : X + y + 2 = 0
d, :12x-6y+10 = 0 và d2
d! : 8x + lOy - 12 = 0 và d2
Giải
a) Giải hệ:
4x-10y + l = 0
ta có: X =
Vậy di cắt da.
b) Giải hệ: <
12x-6y + 10 = 0
X = 5 + t;y = 3 + 2t
ta có: Ot = 52.
Hệ vô nghiêm nên di // d2
c) Giải hệ
8x + 10y-12 = 0 X = -6 + 5t;y = 6-4t
ta có: Ot = 0.
Hệ có mọi cặp (x; y) đều là nghiệm nên d.] =
6. Cho đường thẳng d có phương trình tham số
x = 2 + 2t
y = 3 +1
Tìm điểm M thuộc d và cách điểm A(0; 1) một khoảng bằng 5.
Giải
Ta có: M e d nên M(x = 2 + 2t; y = 3 + t)
Độ dài đoạn MA:
MA = ự(x-xA)2 + (y-yA)2 = 7(2+ 2t)2 + (2 + t)2
Mà MA = 5 nên 5 = 7(2 + 2t)2 + (2 +1)2
 25 = 4(1 + t)2 + (2 + t)2
o 5t2 + 12t -17 = 0 o t = 1 và t = -^-
5
* Khi t = 1 thay vào ta được M(4; 4)
( 24
Ị7	'	/ 24
* Khi t = thay vào ta được M - —
5	I 5
27
5,
Vậy có 2 điểm M thuộc d và cách điểm A(0; 1) một khoảng bằng 5.
7. Tìm số đo của góc giữa hai đường thẳng di và d2 lần lượt có phương trình di: 4x - 2y + 6 = 0 và d2: X - 3y + 1 = 0.
Giải
Gọi a là góc giữa dj và d2) ta có:
I a I a 2 + b I b 21	|4.1 + 2.31	1
cos ot — — - ■ ■ ———-—---- — — —■	. -L . — - 
7a; + b; 7a2 + b2 716 + 4-71 + 9 V2
Vậy a = 45”.
trường hợp sau:
a) A(3; 5)
và
A: 4x + 3y + 1 = 0
b) B(l; -2)
và
d: 3x - 4y - 26 = 0
c) C(l; 2)
và
m: 3x + 4y - 11 = 0
Giải
|4(3) +3(5)+11	28	28
Tìm khoảng cách từ một điếm đến đường thẳng trong các
13(1)4-4(2)-111
Ta có: d(C; m) = 	,	■ = 0
y32+42
Tìm bán kính của đường tròn tâm C(-2; -2) tiếp xúc với đường thẳng A: 5x + 12y -10 = 0
Giải
Bán kính R của đường tròn tâm C(—2; -2) tiếp xúc với đường thẳng A: 5x + 12y - 10 = 0 chính là khoảng cách từ C(-2; -2) đến A. Khi đó ta có:
|5(-2) + 12(-2)-10| _ |-44| _44
x/52 + 122	- 7169 _ 13