Giải bài tập Toán 10 Bài 2. Phương trình đường tròn

BÀI 2. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN
A. KIẾN THỨC CẦN NAM vững
Phương trĩnh dường tròn
Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C), tâm I(a; b), bán kính R. Phương trình của (C) là (x - a)2 + (y - b)2 = R2	(*)
Nếu đặt c = a2 + b2 - R2 thì (*) có thể viết thành:
X2 + y2 - 2ax - 2by + c - 0
Phương trỉnh tiếp tuyến của đường tròn
Trong mpOxy, đường tròn (C) có tâm I(a; b) và Mo(x();yo) G (C).
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại Mo là:
(x0 - a)(x - a) + (yo - b) (y - b) = R2
B. GIÀI BÀI TẬP
Tìm tâm và bán kính của các đường tròn sau:
X2 + y2 - 2x - 2y - 2 = 0
16x2 + 16y2 + 16x - 8y - 11 = 0
X2 + y2 - 4x + 6y - 3 = 0
Giải
a) Tâm 0(1; 1), bán kính R - Vl2 + l2 +2 = 2
	 „	„ ,	,22	1	11 M b) Chia vê trái cho 16 ta có: X +y +x —-y = (J
Vậy đường tròn có tâm 0 ——; — ;
2’4 ’
16
Bán kính R =
Tâm 0(2; -3); bán kính R = 5/4 + 9 + 3 = 4
Lập phương trình đường tròn (C) trong các trường hợp sau:
(C) có tâm I(-2; 3) và đi qua M(2; -3);
(C) có tâm I(-l; 2) và tiếp xúc với đường thẳng X - 2y + 7 = 0
(C) có đường kính AB với A = (1; 1) và B = (7; 5)
Giải
a) Đường tròn (C) có tâm K-2; 3) và đi qua điểm M(2; -3) nên có bán kính:
R = IM R2 = IM2 = (4)2 + (6)2 = 52
Phương trình của (C) là: (x + 2)2 + (y - 3)2 = 52
b) Khoảng cách từ K-l; 2) đến A: X - 2y + 7 = 0 là: |(-l)-2(2) + 7|	4
d(l,A)U-7r
x/l2+(-2f V5
-,16
Mà R = d(I, A) nên ta có: R = —7=- R2 = —- V5 5 .
Phương trình của
(C) là: (x + l)2+(y-2)2=y
Ta có: AB = (6;4)
V52
AB = AB = Vó2 + 42 = V36+16 =
AB là đường kính => R =
AB
2
V52
V13=>R2 =13
Gọi I là trung điểm AB => I là tâm của (C)
' ^±^ = 112 = 4
. ...
.1	2	2
Phương trình của (C) là: (x - 4)a + (y - 3)2 = 13
Lập phương trình đường tròn đi qua ba điểm
A(i; 2)	B(5; 2)	0(1; -3)
M(-2; 4)	N(5; 5)	P(6; -2)
Giải
a) Phương trình đường tròn (C) có dạng: X2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 A(l;2)e(C)	« 1 + 4 - 2a - 4b + c = 0
2a + 4b-c = 5	(1)
B(5; 2) 6 (C)	 25 + 4-10a-4b + c = 0
10a + 4b-c = 29	(2)
C(l;-3)e(C) l + 9-2a + 6b + c = 0
2a-6b-c = 10	(3)
í a = 3
Từ (1), (2), (3) suy ra
Vậy phương trình đường tròn là: X2 + y2 - 6x + y - 1 = 0
b) Phương trình đường tròn (C) có dạng: X2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0
M(-2; 4) e (C)	4+16 + 4a - 8b + c = 0
4a-8b + c = -20	(1)
N(5;5) G (C) 25 + 25-10a-l()b + c = 0
 l()a + l()b-c = 5()	(2)
P(6; -2) e (C) 36 + 4 - 12a + 4b + c = 0
12a-4b-c = 40	(3)
fa = 2
Từ (1), (2), (3) suy ra <
c =-20
Vậy phương trình đường tròn là: X2 + y2 - 4x - 2y - 20 = 0.
Lập phương trình đường tròn tiếp xúc với hai trục tọa độ Ox, Oy và qua điểm M(2; 1).
Giải
Phương trình đường tròn tâm I(a; b) có dạng:
(x -r a)2 + (y - b)2 = R2
Do đường tròn tiếp xúc với cả 2 trục tọa độ Ox; Oy nên:
d(I; Ox) = d(I; Oy) = R -LL = -U. = R a = b = R VI VI
Do đó (*) o (x - a)2 + (y - a)2 = a2
Mà: M(2, 1) G (C) nên (2 - l)2 + (1 - a)2 = a2
C4> 4 — 4a + a" +1 — 2a + a" — a
 a2-6a+ 5 = 0 
a = 1 => b = 1
a = 5 => b = 5
Vậy có 2 đường tròn thỏa điều kiện của đề bài:
(Cl): (X- l)2 + (y- 1)2= 1
(C2): (x - 5)2 + (y - 5)2 = 25
Lập phương trình của đường tròn tiếp XÚC với các trục tọa độ và có tâm ở trên đường thẳng 4x - 2y - 8 = 0
Giải
Phương trình đường tròn tâm I(a; b) có dạng: (x - a)2 + (y - b)2 = R2
Đường tròn tiếp xúc với hai trục tọa độ Ox; Oy nên:
a - b
a = -b
|b|	|a|	, . , .
d(I; Ox) = d(I; Oy) = R « V = r aMb = R «
VI	VI 1
* Trường hợp a = b
Ta có I e (đ): 4x - 2y - 8 = 0
4a-2b-8 = 04a + 2a-8 = 0a=4
Vậy b = 4
Phương trình của (C1) là: (x - 4)2 + (y -4)2 = 16
* Trường hợp a = -b
Ta có I e (d): 4x - 2y - 8 - 0
„	4
4a-2b-8 = 0o4a + 2a-8 = 0o 6a = 8 a = 4
3
Vậy b = -
Phương trình của (C2) là:
+
y + -
3
16
T
Cho đường tròn (C) có phương trình:
X2 + y2 - 4x + 8y - 5 = 0
Tìm tọa độ tâm và bán kính của (C)
Viết phương trình tiếp tuyến với (C) đi qua điểm A(-1; 0)
Viết phương trình tiếp tuyếh với (C) vuông góc với đường thẳng: 3x - 4y + 5 = 0
Giải
a) Tâm 0(2; -4)
Bán kính R = 5/4 + 16 + 5 = 5
* Cách 1: Gọi (A): Ax + By + c = 0 (A2 + B2 > 0) là đường thẳng qua A(-l; 0).
Khi đó A(-1)+B.0 + C = 0«-A + C = 0o A = c
+ Vì (A) là tiếp tuyến của (C) nên d(I; (A)) = R I2A-4B + CI	/—r~7
o ■ V 1	1
o|3A-4B| = 5.Va2 +B2
9A2-24AB +16B2 = 25A2+25B2 o 16A2 + 24AB+ 9B2 =0
Như vậy A + 0 và B + 0
+ Chọn B = 1, ta có:
16A2+24AB + 9B2 = 0 A = c =--ậ
4
3
Vậy (A): -7- X + y - -7 = 0 (A): 3x - 4y + 3 = 0
4
* Cách 2: Giả sử (C) có tiếp tuyến (A) // Oy Ta có (A): X - m - 0 o d(I;(A)) = R
|2 — mị , I
 ' ==-!■ = 5 2 - m = 5 Vĩ
2 - m = 5	m = 3
2 - m = -5	m - -7
+ Xét (Al): X = -3
Ta thấy tọa độ A(-l; 0) không thỏa phương trình (A1). Vậy (A1) không thỏa đề bài là tiếp tuyến của (C).
+ Xét (A2): X = 7
Ta thấy tọa độ A(-l; 0) không thỏa phương trình (A2). Vậy (A2) không thỏa đề bài là tiếp tuyến của (C).
Vì (C) không có tiếp tuyến đi qua A(-1; 0) và song song với Oy nên gọi (d) là tiếp tuyến qua A(—1; 0) và có hệ số góc k.
Ta có: y = k(x + 1) (d): kx - y + k = 0
Vì (d) là tiếp tuyến của (C) nên d(I; (d)) = R
l2k/+y-^-- = 5 |3k + 4| = 5.Vk2 +1 VỉcTĨ 1	1 .
. o 9k2+24k +16 = 25k2+ 25
 16k2 - 24k+ 9 = 0 k = Ậ
4
	 3	3
Vậy (d): 4x-y+ 4 = 0 (d): 3x-4y+ 3 = 0 4	4
Gọi (A) là tiếp tuyến của (C).
+ Vì (A) vuông góc với (d): 3x - 4y + 5 = 0 nên (A) nhận vectơ chỉ
phương của (d) làm vectơ pháp tuyến, nghĩa là: nA = (-4; —3)
Do đó (A): - 4x - 3y + c = 0
= 5 |c+ 4| = 25
c = 21
c = 29
+ Vì (A) là tiếp tuyến của (C) nên: d(I; (A)) = R
ị-4.2-3(-4) + Cị
7(-3)2 + (-4)2
Vậy (C) có hai tiếp tuyến:
(A|):-4x-3y + 21 = 0
(Aj:-4x-3y-29 = 0