Giải bài tập Toán 10 Bài 3. Tích của một số với một vectơ

BÀI 3. TÍCH CỦA MỘT sô VỚI MỘT VECTƠ
A. KIẾN THỨC CẦN NAM vững
Tích của một sô với một vectơ
Cho số k 0 và vectơ a 0. Tích của số k với vectơ a là một vectơ, kí hiệu là k.a, cùng hướng với a nếu k > 0, ngược hướng với a nếu k < 0 và có độ dài bằng |k|.|ã|.
Tính chất
Cho hai vectơ a và b , với mọi số h và k, ta có:
k(a + b ) = ka + kb	* (h + k)a = ha + ka
h(ka ) = (hk)a	* l.a = a ; (-l)a = - a
Áp dụng
Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì với mọi điểm M, ta cố:
MA + MB = 2MI
Nếu G là trọng tâm của AABC thì với mọi điếm M, ta có:
MÃ + MB + MC = 3MG
4) Hai vectơ cùng phương
a cùng phương với b 0 khi và chi khi tồn tại k e ỈR sao cho:
a = k b
B. GIẢI BÀI TẬP
1. Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng:
AB + AC+AD = 2AC
B
Ta có:
Giải
AB = DC(ABCD là hình
A
bình hành)
Suy ra
AB +AC + AD	/
=
AD +DC + AC	D*-
—
wc
AC + AC = 2ÃC
Cho AK và BM là hai trung tuyến của tam giác ABC. Hãy phân tích các vectơ AB, BC, CA theo hai vectơ II = AK và V = BM.
Giải
* Vì AK là trung tuyến của AABC nên K là trung điểm của BC. Suy ra: AB + AC = 2AK (1)
Vì BM là trung tuyến của AABC nên M là trung điểm của AC. Suy ra: BA + BC = 2BM (2)
Từ (1) và (2) => 2AB + AC + CB = 2(AK - BM)
« 2AB + .AB = 2(AK-BM)
3AB = 2(AK - BM) « AB = ị(u - V)
3
* Ta có: BC = AC-AB mà AC = 2AK-AB nên BC = 2AK - AB - AB = 2AK-2AB
- 4 - = ti- —V
3
-	2 - 2 -
= 2u-2(ặu-ặv)
Vậy CA = --7(211 + V).
Trên đường thẩng chứa cạnh BC của tam giác ABC lấy một điểm M sao cho MB = 3MC. Hãy phân tích vecto' AM theo hai vecto’ LI = AB và V = AC
Giải
Ta có: AM = AB + BM (*)
Theo giả thiết ta lại có:
BM = 3CM = 3(BM - BC)
=> BM = 7- BC = |(AC - AB)
2	2
Do đó từ (*) suy ra:
----- — 3—: 3 —	1—: 3—z ... — 1 -
AM = AB + 4aC-^AB = -4aB + ^AC. Vậy AM = ị(-u + 3v).
2	2	2	2	2
Gọi AM là trung tuyến của AABC và D là trung điếm của đoạn AM. Chứng minh rằng:
2DA = DB + DC = õ ;
2ÕÃ + ÕB + õc = 4OD , với o là điểm tùy ý.
Giải
a) Ta có: AM = 2AD (D là trung điểm của AM)	(1)
Mặc khác: DB + DC = 2DM = AM (M là trung điểm cùa BC) (2)
Từ (1) và (2) suy ra 2DA + DB + DC = -AM + AM = 0
Vậy 2DA+DB+DC=0
b) Ta có: OB + oc = 2OM (M là trung điểm của BC)	(1)
và OA + OM = 2OD (D là trung điểm của AM)	(2)
Từ (1) và (2) suy ra:
2ÕÃ + ÕB + õc = 2OA + 2ÕM = 2(ÕÃ + ÕM) = 4OD
Vậy 2OA + OB + oc = 4OD .
Gọi M và N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và CD của tứ giác ABCD. Chứng minh rằng:
2MN = AC + BD = BC + AD.
Giải
và
MN = MB + BD + DN
Mà
MA = -MB và DN =-CN
nên:
* Ta có: MN = MA + AC + CN
2MN = MA + AC + CN + MB + BD + DN
Suy ra 2MN=AC+BD
(1)
* Tương tự 2MN = BC+ AD (2)
Từ (1) và (2) suy ra 2MN = AC + BD = AD + BC .
Cho hai điểm phân biệt A và B. Tìm điếm K sao cho
3KA + 2KB = ()
Giải
Ta có: KA = BA - BK . Mà 3KA + 2KB = 0 (giả thiết) Suy ra 3( B A - B K.) + 2 K B = 0
Đo đỏ 3BA = 3BK + 2BK. => I BA = BK
5
— 3 —
Vậy K được xác định bởi: BK = — BA .
5
Cho tam giác ABC. Tìm (liêm M sao cho MA + MB + 2MC = 0.
Giíii
Gọi I là trung điém của AB, ta có: MA 4- MB = 2MI
Theo giá thiết ta có:
Gọi J là trung (liêm cúa IC, ta có: MI + MC = 2M.I
MA+MB+2MC=0
=>2Mí + 2MJ = 0 => MI + MJ = 0 Vậy M là trung (liêm của IJ.
Cho lục giác ABCDEF. Gọi M, N, p, Q, R, s lần lượt là trung điếm cua các cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA. Chứng minh rằng hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm.
G i ả i
Giá sứ G là trọng tâm cùa AM PR
Khi (ló: GM+GP+GR-0 ('■')
mà	2GM = GA + GB
2GP=GC+GD
2GR = GE + GF
nên 2(GM = GP + GR) = GA + GB + GC + GD + GE + GF
Kết hợp với (*) suy ra: GA + GB + GC + GD + GE + GF = 0 Do đó: (GA+ GF) + (GB + GC) + (GD + GE) = () o 2GS + 2GN + 2GQ = 0 GS + GN + GQ = 0
Vậy G cũng dồng thời là trọng tâm của ASNQ, nghía là hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm.
Cho tam giác đều ABC có o là trọng tâm và M là một điếm tùy ý trong tam giác. Gọi D, E, F lần lượt là chân đường vuông góc hạ
từ M đôn BC, AC, AB. Chứng minh rằng:
md + me + mf = |mo
2
Giải
Qua M, vẽ đường thắng song song với AB, cát BC và CA lần lượt tại p và P’; đường thắng song song với AC, cat BC vậ BA lần lượt tại Q và Q’; đường thắng song song với BC, cắt AEB và AC lẳn lượt tại R và R’.
Ta có:
■■■ MP + MR = MB (MPBR là hình bình hành)
MQ' + MP' = MA (MP’AQ’ là hình bình hành)
MR' + MQ = MC (MR’CQ là hình bình hành)
Vì o là trọng tâm AABC nên ta có:
MP + MR + MQ'+MP' + MR' + MQ = 3M0	(1)
Mặt khác: MP + MR + MQ' + MP' + MR' + MQ
= (MP + MQ) + (MR' + MQ') + (MP*’ + MR’)
= 2MD+2ME+2MF= 2(MD+ ME + MF) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: 2(MD + ME + MF) = 3MO