Giải bài tập Toán 10 Bài 4. Hệ trục tọa độ

BÀI 4.
HỆ TRỤC TỌA ĐỘ
A. KIẾN THỨC CẨN NAM vững
Trục và độ dài đại sô trên trục
Trục tọa độ là một đường thẳng trên đó đã xác định một điểm o gọi là điểm gốc và một vecto' đơn vị ể (ịẽị = 1).
Cho điểm M ở trên trục (O; ẽ), có duy nhất một số k sao cho OM = kẽ . Khi đó K gọi là tọa độ của điểm M trên trục (O; ẽ).
Cho hai điểm A và B trên trục (O; ẽ), có duy nhất một số a sao cho AB — a.ẽ . Khi đó A là độ dài đại số của vecto' AB trên trục (O; ẽ). Kí hiệu a = AB.
Hệ trục tọa độ
Hệ trục (O; i ; j ) gồm hai trục (O; i ) và (O; j ) vuông góc với nhau. Khi đó ta có thể gọi hệ trục đó là mặt phẳng Oxy với o là gốc tọa độ; trục (O; i ) là trục hoành; trục (0; j ) là trục tung.
Trong mặt phẳng Oxy cho vectơ LI tùy ý. Khi đó, có duy nhát cặp số (x; y) sao cho: LI - X i + y j .
Trong mặt phẳng Oxy, cho điếm M tùy ý. Tọa độ OM đưực gọi là tọa độ của điểm M.
Tọa độ của vectơ tổng, vectơ hiệu của hai vectơ
Trong mặt phẳng Oxy, cho hai vectơ u = (ui; u2), V = (vx; v2).
Khi đó:
* u + v = (U1 + V1J u2 + v2);
u - V = (U1 - Vi; u2 - v2);
kti = (kuiỉ ku2) (keR),
Tọa độ trung điếm của đoạn thẳng
Xạ + xb
2
Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A(xa; yA) và B(xb; yB). Tọa độ của I là trung điểm của AB được tính theo công thức: I-
y' 2
5. Tọa độ trọng tâm của tam giác
Trong mpOxy, cho AABC với A(xa; Ỵa) và B(xb; Yb); C(xc; yc).
Trọng tâm G có tọa độ cho bởi công thức: G<
x = XA + XB
G 3
B. GIẢI BÀI TẬP
1. Trên trục (0; ẽ), cho các điểm A, B, M, N có tọa độ lần lượt là -1, 2, 3, -2
a) Hãy vẽ trục và biểu diễn các điểm đã cho trên trục;
b) Tính độ dài đại số của AB và MN . Từ đó suy ra hai vecto'
AB và MN ngược hướng.
Giải
a) Trục và các điểm đã cho được thể hiện trong hình dưới.
-2
b) * Ta có: AB = XB - XA = 2 - (-1) = 3
MN = XN - XM = -2 - 3 = -5
* Từ kết quả trên ta thấy:
AB > 0	_	— ‘ —
	 nên 2 vecto’ AB và MN
MN<0
ngược hướng nhau.
2. Trong mặt phẳng tọa độ, các mệnh đề sau đúng hay sai?
a)
a = (-3; 0) và i = (1; 0) là hai vectơ ngược hướng.
b)
a = (3; 4) và b = (-3; -4) là hai vectơ đối nhau.
a = (5; 3) và b = (3; 5) là hai vectơ đối nhau.
Hai vecto’ bằng nhau khi và chỉ khi chúng có hoành độ bằng nhau và tung độ bằng nhau.
c)
đ)
Giải
Ta có a	= -3 i	và	i	là	hai	vectơ	ngược hướng nên	mệnh đề đúng.
Ta có a	= 3 i	+ 4	j	và	b = -3 i	- 4 j nên a = - b	. Mệnh đề	đúng.
Ta có a	- 5 i	+ 3	j	và	b	= 3 i	+ 5 j nên a không phải là	vecto’
đối của b . Mệnh đề	sai.
d. Mệnh đề đúng.
Tìm tọa độ của các vectơ sau:
a) a = 2 i ;	b) b = 3 j
c)e=3i-4j;	d)d= 0.2 1-^3]
Giải
Ta có thể đưa các vectơ về dạng tọa độ để tính. Theo đó:
a = 2 i + 0 j	a = (2; 0)
b= 01 + (-3)J	«	b = (0; -3)
c=3i + (-4)j	C = (3; —4)
d = 0,2Ỉ +(-Vã)] o	d =(0,2;-Vã)
Các khẳng định sau đúng hay sai?
Tọa độ của điểm A bằng tọa độ của vectơ OA ;
Điểm A nằm trên trục hoành thì có tung độ bằng 0;
Điểm A nằm trên trục tung thì có hoành độ bằng 0;
Hoành độ và tung độ của điểm A bằng nhau khi và chỉ khi A nằm trên đường phân giác của góc phần tư thứ nhất và thứ ba.
a) Đúng.
Trong mặt phẳni
cho điểm M(x0, yo).
Tìm tọa độ của
xứng với M qua trục Ox;
Tìm tọa độ của
xứng với M qua trục Oy;
Tìm tọa độ của
xứng với M gốc o.
Giải
b) Đúng, tọa độ Oxy
c) Đúng.
d) Sai.
điểm
điểm
điểm
đối
đối
đối
yo
'-Xụ
-yo
Giải
Tọa độ các điểm được thể hiện trong hình bên, trong đó: A(x0; -yo), B(-x0; yo), C(-x0; -yo).
Cho hình bình hành ABCD có A(-l; -2), B(3; 2), C(4; -1). Tìm tọa độ đỉnh D.
Giải
Gọi X và y lần lượt là hoành độ và tung độ của D. Ta có: AD = BC (ABCD là hình bình hành)
fx +1 = 4-3 íx = 0
Suy ra V	 <
[y + 2 = -1 - 2 [y = -5
Vậy D(0, -5).
Các điểm A’(-4; 1), B’(2; 4), C’(2;
-2) lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA và AB của tam giác ABC. Tính tọa độ các đỉnh của tam giác ABC. Chứng minh rằng trọng tâm của tam giác ABC và A’B’C’ trùng nhau.
Giải
Ta có:
= 2xa.
A'
XB + XC
= 2yc
= -8
= 4
(3)
= 2xc.
= 2xb
= 2y.
XA
Cộng (1) và (2) vế theo vế, ta có: XA + XB + 2xc = -4 Kết hợp với XA + XB = 4 suy ra Xc = -4
Cộng (!’) và (2’) vế theo vế, ta có: yA + yB + 2yc = 10
Kết hợp với yA + Ỵb = -4. Suy ra yc = 7 Vậy C(-4; 7).
Xc = -4 nên (1) => XB = -4
yc = 7 nên (1’) => yB = -5
Vậy B(-4; -5).
Xc = -4 nên (2) => XA = 8
yB = -5 nên (3’) => yA = 1.
Vậy A(8; 1).
Gọi G là trọng tâm của A ABC, ta có:
_xA+x+x 8-4-4
Vậy G = G’.
Cho a = (2; -2), b = (1; 4). Hãy phân tích c = (5; 0) theo hai vectơ a và b .
Giải
Phân tích c = (5; 0) thành hai vectơ:
* ma = (2m; 3m) * n b = (n; 4n)
Khi đó c = m a + n b , ta có:
5 = 2m + n m = 4
=> <
0 = 3m + 4n [n = -3
Vậy c = 4 a - 3 b .