Giải bài tập Toán 10 CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG II

CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP CUỐI CHUƠING II
TRẢ LỜI CÂU HỎI VÀ GIẢI BÀI TẬP
Hãy nhắc lại định nghĩa giá trị lượng giác của một góc a với 0° < a < 180u. Tại sao khi a là các góc nhọn thì giá trị lượng giác này lại chính là các tỉ số lượng giác đã được học ở lớp 9?
Xem phần kiến thức cần nám vững.
Tại sao hai góc bù nhau lại có sin bằng nhau và cosin đối nhau?
Xem phần kiến thức cần nắm vững.
Nhắc lại định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ ã và b . Tích vô hướng này với ỊãỊ và |b| không đổi đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất khi nào?
Xem phần kiến thức cần nắm vững.
Trong mặt phẳng Oxy cho vectơ ã = (—3; 1) và b = (2; 2). Hãy tính tích vô hướng ã.b.
Giải
Ta có: ã.b = -3.2 + 1.2 =-4
Hãy nhắc lại định lí cosin trong tam giác. Từ các hệ thức này hãy tính cosA, cosB và cosC theo các cạnh của tam giác này.
Xem phần kiến thức cần nắm vững.
Từ hệ thức a2 = b2 + c2 - 2bccosA trong tam giác, hãy suy ra định lí Pitago.
Giải
Ta có: AABC vuông tại A a2 = b2 + c2 - 2bccos9()°
oa2 = b2+c2
Công thức của định lí Pitago.
Cho tam giác có độ dài các cạnh là a, b, c và bán kính đường tròn ngoại tiếp là R. Chứng minh rằng:
, A ,	. D ,	, „ (a2 + b2 + c2)R
abc
Giải
,	_ a 2
Ap dụng định lí cosin vào AABC, ta có: cos A =	
2bc
Áp dụng định lí hàm sô' sin, ta có:
—; a — = 2R => sin A = sin A	2R
. cosA b2 + c2-a2 2R 2R(b2 + c2-a2)
sin A 2bc	a	2bca
R(a2+c2-b2)	R(a2 + b2-c2)
Tương tự: cot B =	; cot c =	--	
abc	abc
=> cot A + cot B + cot c
=	+ c2 - a2 + c2 - b2 + a2 + b2 - c2)
abc'	'
(a2 + b2+c2)
=	ĩ	~
abc
Cho tam giác ABC vuông tại A, hai cạnh góc vuông là b và c. Lấy M thuộc BC sao cho BAM = ơ, ơ 0 và a 90°.
Chứng minh rằng: AM =
bc
bcosa + csina
(1)
AMB)
(3)
Giải
Xét hai tam giác AAMB và AAMC, ta có:
AM _ BM 	c	
sinB sin a sinẨMB
AM MC	 	 b
sinC _ sin(90° - a) - sin(180° -
Từ (l), ta có: BM =	
sin AMB
Từ (2) => MC = bCẸìL
sin AMB
Cộng (3) và (4) vế theo vế, ta có:
BM + MC = kcosa^ịina
sin AMB
=> a sin AMB = b cos a + c sin a
Từ (1) ta có: AM sin AMB = csinB (6)
Chia (6) cho (5) vế theo vế, ta có:
AM _ csinB a bcosa + csina
=> AM =
bcosa + csina
AABC vuông tại A => b = a sin B
„ ,.	. .,« bc
Do đó ta có: AM = 	——;	
bcosơ + csina
Cho tam giác ABC có A = 60°, BC = 6. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.
Cho tam giác ABC có a - 12, b = 16, c = 20. Tính diện tích s của tam giác, chiều cao ha, các bán kính R, r của các đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác và đường trung tuyến ma của tam giác.
(Bài tập 9, 10 các em dựa ưào các bài tập đã làm trong phần bài học đề thực hiện).
Trong tập hợp các tam giác có hai cạnh là a và b, tìm tam giác có diện tích lớn nhất.
Giải
a, b là hai cạnh của một tam giác, ta có:
s = -ịabsinC
2
Suy ra s lớn nhất sin c = 1 o c = 90"
Vậy tam giác phải tìm là tam giác vuông có a, b (không đổi) là hai cạnh góc vuông.
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
1. Trong các đẳng thức sau đây, đẳng thức nào là đúng?
sin 150" =	(B) cosl50° =;
2	2
(C) tan 150" = —7=	(D) cot 150° = Vã
V3
Giải
Chọn đáp án c. tan 150" = ——
V3
Cho a và p là hai góc khác nhau và bù nhau. Trong các đẳng thức sau đây, đẳng thức nào sai?
since = sinp;	(B) cosce = - cosp;
(C) tana = - tanP;	(D) cota = cotp.
Giải
Chọn đáp án D. cota = cotp
Cho a là góc tù. Điều khẳng định nào sau đây là đúng?
sinơ. 0;
(C) tanoe 0.
Giải
Vì a tù nên tana < 0.
Vậy chọn đáp ủn c.
Trong các khắng định sau đây, khẳng định nào là sai?
(A) cos45° = sin45°;
(B) cos45°= sin 135°;
(C) cos30°= sin 120°;
(D) sin60° = COSỈ200
Giải
Ta có sin60" = cos 120" = - Ậ.
2	2
Vậy chọn đáp án D.
Cho hai góc nhọn a và p trong đó a < p. Khắng định nào sau đây là sai?
cosa > cosp;
since < sinp;
cosoe = sinp ce + p = 90°;
tana + tanp > 0.
Giải
Ta có: OI = cosa.
OJ = cosp.
Mà OI > OJ nên cosce > cosp
Vậy chọn dáp án A.
Tam giác ABC vuông sau đây là sai?
(A) cos B = —ị= ;
V3
(C) cosC = 4 ;
2
Ta có: CDS B = cos3()" = -
Vậy chọn đáp án A.
Tam giác đều ABC có là đúng?
- o77.
(A) sinBAH = -7;
2
. 77. Vi
(C) sinABC = —7;
2
Giải
Ta có: ABC = 60" => sin ABC = si
ở A và có góc B = 30’. Khẳng định nào
(B) sin c = -7- ;
2
(D) sin B = —.
2
Giải
Ố
AH. Khắng định nào sau đây
(B) cos BAH = —ị=\
V3
(D) sinAHC = —.
Vậy chọn đáp án c.
Điều khẳng định nào sau đây là đúng?
(A) since = sin(180°- oe);	(13) cosa = cos(180° - ce)
(C) tana = tan( 180" ce);	(D) cotư = cot(180° - a).
Giải
Ta c-ó: a và 180°- a bù nhau nên since = sin(180° - oe).
Vậy chọn đáp án A.
'lìm khẳng định sai trong các khẳng định sau đây:
cos35" > coslO0;
sin60°< sin80°;
tan45° < tan60°;
cot45° = sin45°.
Giải
Ta có 01 = cos35°; 0J = coslO0 Mà 01 < 0J nên cos35° < coslO0.
Vậy chọn đáp án A.
và có góc B = 50". Hệ thức nào sau
Tam giác ABC vuông ở đây là sai?
(aB,Bc) = 130";
(bC,Ăc) = 40°;
(aB.Cb) = 50°;
ÍaC,CBÌ = 120°
Giải
Chọn đáp án D. AC,CB = 120"
Cho ã và b là hai vectơ cùng hướng và đều khác vectơ 0. Trong các kết quả sau đây, hãy chọn kết quả đúng.
ã.b =|ã|.|b|;	(B) ã.b = 0.
(C) a.b=-l;	(D) ã.|b| = -ã.|b
Giải
Ta có: ả.
Mà á A 0 và b 0 là hai vectơ cùng hướng nên (ã,b)=o =>cos(ã,b) = l
Khi đó ã.b = ã . b .
Vậy chọn đáp án A.
Cho tam giác ABC vuông cân tại A có AB = AC = 30cm. Hai đường trung tuyến BF và CE cắt nhau tại G. Diện tích tam giác GFC là:
(A) 50 cm2;	(B) 5oV2cm2;
(C) 75 cm2;	(D) 157105 em2.
Giải
Ta có: Srpr = —CF.GJ (*) url ọ
(J là hình chiếu của G lên AC)
Mà * CF = 4cA = 15(cm)
2
:|; GJ _ CG _ 2
AE - CE - 3
=>GJ=|.15 = 10(cm)
3
Từ (*) suy ra s = -y. 15.10 = 75(cm2
Vậy chọn đáp án c.
Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 5 cm, BC = 13 cm.
———	——■
Gọi ABC = a và ACB = p . Hãy chọn kết luận đúng khi so sánh a và p:
(A) p > a; (B) p < a; (C) p = a; (D) p < a.
Giải
Ta có: AC2 = BC2- AB2= 144 => AC = 12(cm)
Do AC > AB nên p < a.
Vậy chọn đáp án B.
Cho góc xOy = 3()°. Gọi A và B là hai điểm di động lần lượt
trên Ox và Oy sao cho AB = 1. Độ dài lớn nhất của đoạn OB bằng:
(A) 1,5;
(C) 2V2
Giải
(B) V3;
(D) 2.
Ta có:
OB
sin A
AB
sin 30°
=> OB = 2 sin A
Vậy OB lớn nhất bằng 2 khi sin A = 1. Chọn dủp án D.
15. Cho tam giác ABC có BC = a, CA - b, AB - c. Mệnh đề nào
sau đây là đúng?
(A) Nếu b2 + c2 — a2 >
0 thì góc A nhọn;
(B) Nếu b2 + c2 — a2 >
0thì góc A tù;
(C) Nếu b2 + c2 - a2 <
0 thì góc A nhọn;
(D) Nêu b' + c~ — a" <
: () thì góc A vuông.
Giải
rr. z	A b2+c2
Ta co: cos A = 	—
2
■	. Mà A nhọn khi cosA
2bc
Nghĩa là b2 + c2 — a2 > 0
Vậy chọn, đáp án A.
Đường tròn tâm o có bán kính R = 15 cm. Gọi p là một điểm cách tâm o một khoảng PO = 9cm. Dây cung đi qua p và vuông góc với PO có độ dài là:
(A) 22 cm; (B) 23 cm; (C) 24 cm; (D) 25 cm.
Giải
Dây cung có độ dài bằng 2-Ự152 -92 = 24 (em).
Vậy chọn dáp án c.
Cho tam giác ABC có CA = 18 cm, AB = 8 cm và có diện tích bằng 64 cm2. Giá trị của sinA là:
Vậy chọn đáp án D.
Cho hai góc nhọn a và 0 phụ nhau. Hệ thức nào sau đây là sai?
(A) sina = - cosP;	(B) cosa = sinp;
(C) tana = cotp;	(D) cota = tan[3.
Giải
Chọn đáp án A. since = - cosp.
Bất đắng thức nào dưới đây là đúng?
(A) sin 90° < sin 150";	(B) sin90(115'< sin90(,30';
(C) sin90"30'> sin 100";	(D) cos 150° > cos 120".
Giải
Ta có 90°30’ sin 100" . Vậy chọn đáp án c.
AC.CB < AC.BC;
AC.BC < BC.AB.
Cho tam giác ABC vuông tại A. Khẳng định nào sau đây sai?
(A) AB.AC < BA.BC;	(B)
(C) AB.BC<CA.CB;	(D)
Giải
*AC.BC có [AC,Bcjnhọn * BC.ÃB có (BC,AB jtìi
nên BC.AB 0 Vậy chọn đáp án D.
Cho tam giác ABC có AB = 4 cm
2	1
BC = 7 cm, CA - 9 cm. Giá trị cosA là:
(A) ậ;	(B)	(C)	(U) -.
3	3	2
Giải
A 16 + 87-49 2
Ta có: cos A =	——	= —.
2.4.9	3
Vậy chọn đáp án A.
Cho hai điếm A = (1; 2) và B = (3; 4). Giá trị của AB là:
(A) 4;	(B) 4^2;
(C) 6^2 ;	(D) 8.
Giải
Ta có: AB = (2;2) => AB2 = 8. Vậy chọn đáp án D.
Cho hai vectơ a = (4;3) và b = (1:7). Góc giữa hai vectơ
a và b là:
(A) 90°;
(B) 60°;
(C) 45°;
(D) 30°.
a.b = 25
Giải
Ta có:
Vậy (a,b) = 45". Vậy chọn dáp án c.
Cho hai điếm M = (1; -2) và N = (-3; 4). Khoảng cách giữa hai điểm M và N là:
(A) 4;	(B) 6;	(0 3^6	(D)2a/13.
Giải
Ta có: MN = (-4:6) MN2 = 52 => MN = 2V13 .
Vậy chọn dáp án D.
Tam giác ABC có A = (-1; 1); B = (1; 3) và c = (1; -1). Trong các phát biểu sau đây, hãy chọn phát biểu đúng:
ABC là tam giác có ba cạnh bằng nhau;
ABC tam giác có ba góc đều nhọn;
ABC là tam giác cân tại B (có BA = BC);
ABC là tam giác vuông cân tại A.
Giải
AB = (2;2)
Ta có: __
AC = (2;-2)
> => AB 1 AC và AB = AC. Nghĩa là ABC là
tam giác vuông cân tại A. Vậy chọn đáp án D.
Cho tam giác ABC có A = (10; 5), B - (3; 2), c = (6; -5). Khẳng định nào sau đây là đúng?
ABC là tam giác đều;
ABC là tam giác vuông cân tại B;
ABC là tam giác vuông cân tại A;
ABC là tam giác có góc tù tại A.
Giải
# rp B^ = (7;3)
■ la có: 	
BC = (3;-7)
=> BA.BC = 0 và BA = BC. Nghĩa là ABC là tam giác vuông cân tại B. Vậy chọn đáp án B.
Tam giác ABC vuông cân tại A và nội tiếp trong đường tròn tâm 0 bán kính R. Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác
r
ABC. Khi đó tỉ số — bằng:
Giải
Ta có: s = R2 = pr: p = R(1 + yJ2)
t
	R _ R _ , , /7
nên r =	 — - 1 + \ 2
+ V2 r
Vậy chọn đáp án A.
Tam giác ABC có AB - 9 cm, AC = 12 cm và BC - 15 cm. Khi đó đường trung tuyến AM của tam giác có độ dài là:
(A) 8 cm; (B) 10 cm; (C) 9 cm; (D) 7,5 cm.
Giải
Chọn đáp án B. 10 cm.
Tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c và có diện tích s. Nếu tăng cạnh BC lên 2 lần đồng thời tăng cạnh CA lên 3 lần và giữ nguyên độ lớn của góc c thì khi đó diện tích của tam giác mới được tạo nên bằng:
(A)2S;	(B)3S;	(C) 4S;	(D) 6S.
Giải
Ta có: s = -ịab.sinC ; S' = -ị(2a)(3b).sinC
2
Vậy S’ = 6S
Chọn đáp án ỉ).
Cho tam giác DEF có DE = DF = 10 cm và EF = 12 cm. Gọi I là trung điểm của cạnh EF. Đoạn thẳng DI có độ dài là:
(A) 6,5 cm; (B) 7 cm;	(C) 8 cm; (D) 4cm.
Giải
To nA. nỉ2_2(10- + l()?)-122
4
Suy ra DI = 8 cm. Vậy chọn dáp án c.