SGK Toán 9 - Bài 2. Hình nón - Hình nón cụt - Diện tích xung quanh và thể tích của hình nón, hình nón cụt

Cái quạt	Hoa tai
§2. Hình nón - Hình nón cụt - Diện tích xung quanh
và thể tích của hình nón, hình nón cụt
Hình nón
Khi quay tam giác vuông AOC một vòng quanh cạnh góc vuông OA cố định thì được một hình nón (h. 87). Khi đó
Cạnh oc quét nên đáy của hình nón, là một hình tròn tâm o.
Cạnh AC quét nên mặt xung quanh của hình nón, mỗi vị trí của AC được gọi là một đường sinh. Chẳng hạn AD là một đường sinh.
A gọi là đỉnh và AO gọi là đường cao của hình nón.
UI Chiếc nón (h. 88) có dạng mặt xung quanh của một hình nón. Quan sát hình và cho biết, đâu là đường tròn đáy, đâu là mặt xung quanh, đâu là đường sinh của hình nón.
Hình 88
2.
Diện tích xung quanh hình nón
Cắt mặt xung quanh của một hình nón dọc theo một đường sinh của nó rồi trải phẳng ra, ta được hình khai triển là một hình quạt tròn có tâm là đỉnh hình nón, bán kính bằng độ dài đường sinh và độ dài cung bằng độ dài đường tròn đáy của hình nón. Diện tích xung quanh của hình nón bằng diện tích của hình quạt tròn khai triển (h. 89).
Gọi bán kính đáy của hình nón là r, đường sinh là l.
Theo công thức tính độ dài cung, ta có :
Độ dàĩ của cung hình quạt trốn là
ĩd n
s
Hình 89
w
Độ dài đường tròn đáy của hình nón là 2nr.
7t/n
Từ đó ta có
Suy ra
180
= 2ĩtr.
/n 360 '
Diện tích xung quanh của hình nón bằng diện tích hình quạt tròn khai triển nên
Sxci 360
2
Kl n , /n = Ri 360
Từ các kết quả trên ta có :
• Diện tích xung quanh của hình nón là
sxq = ĩirl.
• Diện tích toàn phần của hình nón (tổng diện tích xung quanh và diện tích đáy) là
stp- 7tr/ + 7tr .
Ví dụ. Tính diện tích xung quanh của một hình nón có chiều cao h = 16 cm và bán kính đường tròn đáy r = 12 cm.
Giải
Độ dài đường sinh của hình nón :
/ = Vh2 + r2 = 7400 = 20 (cm).
Diện tích xung quanh của hình nón :
Sxq = 7ir/ = 7t. 12.20 - 240k (cm2).
Đáp số : 240ĩt cm .
3. Thể tích hình nón
Có hai dụng cụ, một hình trụ và một hình nón có đáy là hai hình tròn bằng nhau. Chiều cao của hình nón bằng chiều cao của hình trụ (h. 90).
Nếu ta dùng dụng cụ có dạng như hình nón nói
trên, múc đầy nước rồi đổ hết vào dụng cụ hình trụ thì thấy chiều cao của cột nước này chỉ bằng y chiều cao của hình trụ.
Qua thực nghiệm, ta thấy Vnón = I ,vtrụ.
Ta có thể tích hình nón là V = — ĩtr2h.
4.
Hình nón cụt
Hình 91. Đèn treo ở trần nhà khi bật sáng sẽ tạo nén một "cột sáng" có dạng một hình nón cụt
Khi Cắt hình nón bởi một mặt phang song song với đáy thì phần mặt phẳng nằm trong hình nón là một hình tròn. Phần hình nón nằm giữa mặt phẳng nói trên và mặt đáy được gọi là một hình nón cụt (h. 92).
5.
Diện tích xung quanh và thể tích hình nón cụt
Cho hình nón cụt có Tj, r2 là các bán kính đáy, l là độ dài đường sinh, h là chiều cao (h. 92).
Kí hiệu sxq là diện tích xung quanh và V là thể tích hình nón cụt.
Quan sát hình 92, ta nhận thấy SXq là hiệu
diện tích xung quanh của hình nón lớn và hình nón nhỏ, V cũng là hiệu thể tích của hình nón lớn và hình nón nhỏ.
Hình 92
Ta có các công thức sau :
sxq = K(rl + r2)Z.
V =|ĩĩh(r12 +r22 +rir2).
Bài tập
Một hình nón được đặt vào bên trong một hình lập phương như hình vẽ (cạnh của hình lập phương bằng 1) (h. 93). Hãy tính :
Bán kính đáy của hình nón.
Độ dài đường sinh.
Cắt mặt xung quanh của một hình nón theo một đường sinh và trải phẳng ra thành một hình quạt.
Biết bán kính hình quạt tròn bằng độ dài đường sinh và độ dài cung bằng chu vi đáy.
Hình 93
2 cm
Quan sát hình 94 và tính số đo cung của hình quạt tròn.
17.
18.
Hình 94
Khi quay tam giác vuông để tạo ra một hình nón như ở hình 87 thì góc CAO gọi là nửa góc ở đỉnh của hình nón. Biết nửa góc ở đỉnh của một hình nón là 30°, độ dài đường sinh là a. Tính số đo cung của hình quạt khi khai triển mặt xung quanh của hình nón.
Hình ABCD (h. 95) khi quay quanh BC thì tạo ra:
Một hình trụ ;
Một hình nón ;
Một hình nón cụt ;
Hai hình nón ;
Hai hình trụ.
Hãy chọn câu trả lời đúng.
Hình khai triển của mạt xung quanh của một hình nón là một hình quạt. Nếu bán kính hình quạt là 16 cm, số đo cung là 120° thì độ dài đường sinh của hình nón là:
(A) 16 cm ;	(B) 8 cm ;	(C) “^cm ỉ
(D) 4 cm ;	(E) ~ cm.
Hãy chọn kết quả đúng.
Hãy điền đủ vào các ô trống ở bảng sau (xem hình 96) :
21.
22.
(không kể riềm, mép, phần thừa).
Hình 98
(AO = OB).
Bán kính đáy r (cm)
Đường kính đáy d (cm)
Chiều cao h (cm)
Độ dài đường sinh I (cm)
Thể tích V (cm3)
10
10
10
10
10
1000
10
1000
10
1000
Hãy so sánh tổng các thổ tích của hai hình nón và thể tích của hình trụ.
Luyện tập
23.
24.
Viết công thức tính nửa góc ở đỉnh của một hình nón (góc a của tam giác vuông AOS - hình 99) sao cho diện tích mặt khai triển của mặt nón bằng một phần tư diện tích của hình tròn (bán kính SA).
Hình khai triển của mặt xung quanh của một hình nón là một hình quạt, bán kính hình quạt đó là 16 cm, số đo cung là 120°. Tang của nửa góc ở đỉnh của hình nón là :
(D) 272 .
<«#
<■’ ặ
(C) 72 ;
Hãy chọn kết quả đúng.
Hãy tính diện tích xung quanh của hình nón cụt biết hai bán kính đáy là a, b (a < b) và độ dài đường sinh là I (a, b, I có cùng đơn vị đo).
Hãy điền đủ vào các ồ trống cho ở bảng sau (đơn vị độ dài: cm):
25.
Hình 100
Hình
Bán kính đáy (r)
Đường kính đáy (d)
Chiều cao (h)
Độ dài
đường sinh (/)
Thể tích (V)
À
5
12
16
15
7
25
40
29
26.
27. Một dụng cụ gồm một phần có dạng hình trụ, phần còn lại có dạng hình nón. Các kích thước cho trên hình 100. Hãy tính :
Thể tích của dụng cụ này ;
Diện tích mặt ngoài của dụng cụ (không tính nắp đậy).
\ /
\ / \ /
V
Hình 101
Một cái xô bằng inốc có dạng hình nón cụt đựng hoá chất, có các kích thước cho ở hình 101 (đơn vị: cm).
Hãy tính diện tích xung quanh của xô.
Khi xô chứa đầy hoá chất thì dung tích của nó là bao nhiêu ?
Cối xay gió của Đôn-ki-hô-tê (từ tác phẩm của Xéc-van-téc ịCervantès))
Phần trên của cối xay gió có dạng một hình nón (h. 102). Chiều cao ọủa hình nón là 42 cm và thể tích của nó là 17 600 cm3.
Hình 102
Em hãy giúp chàng Đôn-ki-hô-tê tính bán kính đáy của hình nón (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).