SGK Toán 9 - Bài 3. Góc nội tiếp
§3. Góc nội tiếp số đo của góc BAC có quan hệ gì với số đo của cung BC ? 1. Định nghĩa Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn đó. Cung nằm bên trong góc được gọi là cung bị chắn. ơ hình 13a) cung bị chắn là cung nhỏ BC ; ỏ' hình 13b) cung bị chắn là cung lớn BC. Hình 13. BAC là góc nội tiếp. 03 Vì sao các góc ở hình 14 và hình 15 không phải là góc nội tiếp ? Hình 14 Hình 15 2 Bằng dụng cụ, hãy so sánh số đo của góc nội tiếp BAC với sô' đo của cung bị chắn BC trong mỗi hình 16, 17, 18 dưới đáy. Định lí Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa sô' đo của cung bị chắn. Chứng minh. Ta phân biệt ba trường hợp : Tâm đường tròn nằm trên một cạnh của góc. Tâm đường tròn nằm bên trong góc. Tâm đường tròn nằm bên ngoài góc. Tâm o nằm trên một cạnh của góc BAC (h. 16). Áp dụng định lí về góc ngoài của tam giác vào tam giác cân OAC, ta có BAC = I BOC, nhưng góc ở tâm BOC chắn cung nhỏ BC. Vậy BAC = ị sđic. 2 Tâm o nằm hên trong góc BAC (h. 17). Ta vẽ đường kính AD và đưa về trường hợp a). Vì o nằm bên trong góc BAC nên tia AO nằm giữa hai tia AB và AC, điểm D nằm trên cung BC, ta có các hệ thức BAD + DAC = BAC, sđBD + sđDC = sđBC. Theo trường hợp a) và căn cứ vào hai hệ thức trên, ta được BAD = ịsđBD 2 DAC = ịsđDC 2 BAC = ịsđBC. 2 Tâm o nằm bên ngoài góc BAC (h. 18). Học sinh tự chứng minh, xem như bài tập. Hệ quả Trong một đường tròn : a) Các góc nội tiếp hằng nhau chắn các cung bảng nhau. Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau. Góc nội tiếp (nhỏ hơn hoặc bằng 90°l có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung. Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông. 1Ỉ3 Hãy vẽ hình minh hoạ các tính chất trên. Bời tộp Các khẳng định sau đây đúng hay sai ? Trong một đường tròn, các góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau. Trong một đường tròn, các góc nội tiếp bằng nhau thì cùng chắn một cung. Xem hình 19 (hai đường tròn có tâm là B, c và điểm B nằm trên đường tròn tám C). Biết MÃN = 30°, tính PCQ. Nếu PCQ = 136° thì MAN có số đo là bao nhiêu ? Muốn xác định tâm của một đường tròn mà chỉ dùng êke thỉ phải làm như thế nào ? Một huấn luyện viên cho cầu thủ tập sút bóng vào cầu môn PQ. Bóng được đặt ở các vị trí A, B, c trên một cung tròn như hình 20. Hãy so sánh các góc PAQ, PBQ, PCQ . Luyện tập Cho đường tròn tâm o, đường kính AB và s là một điểm nằm bên ngoài đường tròn. SA và SB lần lượt cắt đường tròn tại M, N. Gọi H là giao điểm của BM và AN. Chứng minh rằng SH vuông góc với AB. Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B. Vẽ các đường kính AC và AD của hai đường tròn. Chứng minh rằng ba điểm c, B, D thẳng hàng. Cho hai đường tròn bằng nhau (O) và (O') cắt nhau tại A và B. Vẽ đường thẳng qua A cắt (O) tại M và cắt (O') tại N (A nằm giữa M và N). Hỏi MBN là tam giác gì ? Tại sao ? Trên đường tròn (O) đường kính AB, lấy điểm M (khác A và B). Vẽ tiếp tuyến của (O) tại A. Đường thẳng BM cắt tiếp tuyến đó tại c. Chứng minh rằng ta luôn có : MA2 = MB . MC. Cho đường tròn (O) và một điểm M cố định không nằm trẽn đường tròn. Qua M kẻ hai đường thẳng. Đường thẳng thứ nhất cắt (O) tại A và B. Đường thẳng thứ hai cắt (O) tại c và D. Chứng minh MA.MB - MC.MD. Hướng dẫn. Xét cả hai trường hợp điểm M nầm bên trong và bên ngoài đường tròn. Trong mỗi trường hợp, xét hai tam giác đồng dạng. Một chiếc cầu được thiết kế như hình 21 có độ dài AB = 40 m, chiều cao MK = 3 m. Hãy tính bán kính của đường tròn chứa cung AMB. Dựng một tam giác vuông, biết cạnh huyền dài 4 cm và một cạnh góc vuông dài 2,5 cm. Cho AB, BC, CA là ba dây của đường tròn (O). Từ điểm chính giữa M của cung AB vẽ dây MN song song với dây BC. Gọi giao điểm của MN và AC là s. Chứng minh SM = sc và SN = SA.