SGK Toán 9 - Bài 7. Phương trình qui về phương trình bậc hai

§7. Phương trình quy về phương trình bậc hai
Phương trình trùng phương
Phương trình trùng phương là phương trình có dạng ax4 + bx2 + c = 0 (a 0).
Nhận xét. Phương trình trên không phải là phương trình bậc hai, song có
thể đưa nó về phương trình bậc hai bằng cách đặt ẩn phụ. Chẳng hạn, nếu
2 v 2
đặt X = t thì ta được phương trình bậc hai at + bt + c = 0.
Ví dụ 1. Giải phương trình : X4 - 13x2 + 36 = 0.	(1)
Giải
Đặt X2 = t. Điều kiện là t > 0. Ta được một phương trình bậc hai đối với ẩn t
t2-13t + 36 = 0.	(2)
Giải phương trình (2) : A = 169 - 144 = 25, VÃ= 5, tị = 13	= 4 và
t2 =	- 9. Cả hai giá trị 4 và 9 đều thoả mãn điều kiện t > 0.
Với t = tị = 4, ta có X2 = 4. Suy ra X] = -2, x2 - 2.
Với t = t2 = 9, ta có X2 = 9. Suy ra x3 = -3, x4 = 3.
Vậy phương trình (1) có bốn nghiệm : Xj = -2, x2 = 2, x3 = -3, x4 - 3.
Giải các phương trình trùng phương :
a) 4x4 + X2 - 5 = 0 ;	b) 3x4 + 4x2 + 1 = 0.
Phương trình chứa ẩn ở mẫu thức
Ở lớp 8 ta đã biết, khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu thức, ta làm như sau : Bước 1. Tìm điều kiện xác định của phương trình ;
Bước 2. Quy đồng mẫu thức hai vế rồi khử mẫu thức ;
Bước 3. Giải phương trình vừa nhận được ;
Bước 4. Trong các giá trị tìm được của ẩn, loại các giá trị không thoả mãn điều kiện xác định, các giá trị thoả mãn điều kiện xác định là nghiệm của phương trình đã cho.
Giải phương trình	-— 3* + 6 _	■	(3)
X2 - 9 x - 3
hằng cách điền vào các chỗ trống (...) và trả lời các câu hỏi.
Điều kiện : X * ... .
Khử mẫu và biến đổi, ta được : X2 - 3x + 6 = ... X2 - 4x + 3 = 0.
- Nghiệm của phương trình X2 - 4x + 3 = 0 là : Xj - ... ; x2 = ... .
Hỏi Xị có thoả mãn điêu kiện nói trên không ? Tương tự. đối với x2 ?
Vậy nghiệm của phương trình đã cho ỉà : ... .
Phương trình tích
Ví dụ 2. Giải phương trình : (x + l)(x2 + 2x - 3) = 0.	(4)
Giải, (x + 1 )(x2 + 2x - 3) = 0 X + 1 = 0 hoặc X2 + 2x - 3 = 0.
Giải hai phương trình này, ta được các nghiệm của phương trình :
X, = -1, x2 = 1, x3 = -3.
1^0 Giai phương trình sau hằng cách đưa về phương trình tích X3 + 3x2 + 2x = 0.
Bời tập
Giải các phương trình trùng phương :
X4 - 5x2 + 4 = 0; b) 2x4 - 3x2 -2 = 0; c) 3x4 + 10x2 + 3 = 0.
Giải các phương trình :
(x + 3)(x - 3) o	X + 2	_	6
a)	+ 2 = x(l - x) ; b) —— + 3 = ——- ;
3	X - 5	2 - X
c) 4	- -X2 - X + 2
X + 1 (x + l)(x + 2)
Giải các phương trình :
a) (3x2 - 5x + 1)(x2-4) = 0;	b) (2x2 + X - 4)2 - (2x - l)2 = 0.
Luyện tập
Giải phương trình trùng phương.
a) 9x4 - 10x2 + 1 = 0 ;	b) 5x4 + 2x2 - 16 = 10 - X2 ;
c) 0,3x4 + l,8x2+ 1,5 = 0;	d) 2x2 + 1 = — - 4.
X2
Giải các phương trình :
(X - 3)2 + (X + 4)2 = 23 - 3x ;
X3 + 2x2 - (x - 3)2 = (x - l)(x2 - 2);
,,	1^3 , n c 2 z 2 , , c,	x(x-7)	X X-4
(x-l) + 0,5x =x(x +1,5); d)—-	l = y	— ;
14	Ị_ .	2x _ X2 - X + 8
e x2 _ 9	3 - X ’	) X + 1 (x + l)(x - 4)
Giải phương trình bằng cách đưa về phương trình tích.
(3x2 - 7x - 10)[2x2 + (1 -75)x +
X3 + 3x2 - 2x - 6 = 0 ;
d) (x2 + 2x - 5)2 = (x2 - X + 5)2.
40. Giải phương trình bằng cách đặt ẩn phụ.
a) 3(x2 + x)2 - 2(x2 + x) - 1 = 0 ;
X - Vx = 5a/x + 7 ;
75 - 3 ] = 0 ;
c) (x2 - l)(0,6x + 1) = 0,6x2 + X ;
- 4x - 4 = 0 ;
= 3.
b) (x2 - 4x + 2)2 + X2
-A--10.^1
X + 1	X
z	2	XI	2	1	r\ S~T 9 ‘
Hướng dân. a) Đặt t = X" + X, ta có phương trình 3t - 2t - l = 0. Giai phương trình này, ta tìm được hai giá trị của t. Thay mỗi giá trị của t vừa tìm được vào đẳng thức t = X2 + X, ta được một phương trình của ẩn X. Giải mỗi phương trình này sẽ tìm được giá trị của X.
,,	X + l . ,	_ X
Đặt ——— = t hoặc ——— = t.
X	' X + l