SGK Toán 9 - Bài 3. Phương trình bậc hai một ẩn số

§3. Phương trình bậc hai một ấn
1.
Hình 12
Bài toán mở đầu
Trên một thửa đất hình chữ nhật có chiều dài là 32 m, chiều rộng là 24 m, người ta định làm một vườn cây cảnh có con đường đi xung quanh (xem hình 12). Hỏi bề rộng của mặt đường là bao nhiêu để diện tích phần đất còn lại băng 560 m .
Để giải bài toán này, ta gọi bề rộng mặt đường là x(m), 0 < 2x < 24. Phần đất còn lại là hình chữ nhật có :
Chiều dài là 32 - 2x (m) ;
Chiều rộng là 24 - 2x (m) ;
Diện tích là (32 - 2x)(24 - 2x) (m2).
Theo đầu bài ta có phương trình (32 - 2x)(24 - 2x) = 560 hay	X2 - 28x + 52 = 0.
Phương trình X - 28x + 52 = 0 được gọi là một phương trình bậc hai một ẩn.
Định nghĩa
Phương trình bậc hai một ẩn (nói gọn là phương trình bậc hai) là phương trình có dạng
2 „
ax + bx + c = 0,
trong đó X là ẩn ; a, b, c là những số cho trước gọi là các hệ số và a 0. Ví dụ
X2 + 50x - 15 000 = 0 là một phương trình bậc hai với các hệ số a = 1, b = 50, c =-15 000.
- 2x2 + 5x = 0 là một phương trình bậc hai vói các hệ số a = -2, b = 5, c = 0.
2x -8 = 0 cũng là một phương trình bậc hai với các hệ số a = 2, b = 0, c =-8.
Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc hai ? Chỉ rỗ các hệ sô' ã., b, c của mỗi phương trình ấy :
X2 - 4 = 0 ;	b) X3 + 4x2 -2 = 0;	c) 2x° + 5x = 0 ;
4x - 5 = 0 ;	e) - 3x2 = 0.
«
3.
Một sô ví dụ về giải phương trình bậc hai
Ví dụ 1. Giải phương trình 3x2 - 6x = 0.
Giải. Ta có 3x2 - 6x = 0 3x(x - 2) - 0 X = 0 hoặc X - 2 = 0 X = 0 hoặc X = 2
Vậy phương trình có hai nghiệm : Xj = 0, Xọ = 2.
nn Giải phương trình 2x2 + 5x - 0 bằng cách đặt nhân tử chung để đưa nó về phương trình tích.
Ví dụ 2. Giải phương trình X2 - 3 = 0.
Giải. Chuyển vế -3 và đổi dấu của nó, ta được :
„2 _ ọ
X = 3,
tức là X = ± 73 .
Vậy phương trình có hai nghiệm :
Xị = 73 , x2 = -73.
Giải phương trình	3x2 -2 = 0.
I2Ị Giải phương trình (x - 2) - — bằng cách điền vào các chô trống (...) trong các đẳng thức :
7
(x - 2) = ý X - 2 = ... . X = ... .
Vậy phương trình có hai nghiêm là : Xỵ = ..., x2 =... ■
UjI Giải phương trình X2 — 4x + 4 = y •
Gữử' phương trình X2 - 4x = - Ậ •
Giải phương trình 2x2 - 8x = -1.
Dựa vào cách giải các phương trình trong 22’ 23, 2], ta có thể thực hiện đầy đủ phép giải phương trình trong ví dụ 3 dưới đây.
Ví dự 3. Giải phương trình 2x2 - 8x + 1 = 0.
Ta có thể giải như sau :
- Chuyến l sang vê phải : 2x - 8x = -l.
•	1	•	1	/-\	4.	2	1
Chia hai vê cho 2, ta được X - 4x = - Ỷ •
Tách 4x ở vế trái thành 2.X.2 và thêm vào hai vế cùng một số để vế trái thành một bình phương
-2.X.2 + Ọ = -í + ọ
Ạ	z Ạ
22 = 4
2 -	_	.	.	1 .	..?	7
Ta được phương trình X - 2. X.2 + 4 = 4 - ý hay (x - 2) = 2
Suy ra
X - 2 = a hạy X = 2 ±-^
4 + a/ĨĨ 4-VĨ4 Vậy phương trình có hai nghiệm : Xj = —--—, x2 = —	
Bời tập
Đưa các phương trình sau về dạng ax2 + bx + c = 0 và chỉ rõ các hệ số a, b, c :
5x2 + 2x = 4 - X ;	b) -| X2 + 2x - 7 = 3x +	;
2x2 + X - V3 = a/3x + 1 ;
2x + m = 2(m - l)x , m là một hằng số.
Giải các phương trình sau :
a) X2 - 8 = 0 ;	b) 5x2 - 20 = 0 ;	c) 0,4x2 +1=0;
2x2 + a/2x = 0 ;	e) -0,4x2 + l,2x = 0.
b) X2 + 2x = — •
Cho các phương trình : a) X2 + 8x = -2 ;
Hãy cộng vào hai vế của mỗi phương trình cùng một số thích hợp để được một phương trình mà vế trái thành một bình phương.
Hãy giải phương trình
2x2 + 5x + 2 = 0
theo các bước như ví dụ 3 trong bài học.