SGK Toán 9 - Bài 6. Hệ thức Vi - Ét và ứng dụng

§6. Hệ thức Vi-ét và ứng dụng
/	;	—X
Nghiệm và hệ số của phương trình có mối liên quan kì diệu
V	>
Hệ thức Vi-ét
Hãy tính Xj + x2, XjX2.
Trước hết chú ý rằng, nếu phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có nghiệm thì dù đó là hai nghiệm phân biệt hay nghiệm kép, ta đều có thể viết các nghiệm đó dưới dạng :
-
Như vậy, ta đã thấy được một mối liên hệ giữa các nghiệm với các hệ số của phương trình bậc hai mà Vi-ét, nhà toán học người Pháp đã phát hiện vào đầu thế kỉ thứ XVII và ngày nay nó được phát biểu thành một định lí mang tên ông.
ĐỊNH LÍ VI-ÉT
Nếu Xj, x2 /ừ hai nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a * 0) /77/ í	b
X, + x2 = - — a
<
c
xlx2 =f-
Áp dụng. Nhờ định lí Vi-ét, nếu đã biết một nghiệm của phương trình bậc hai thì có thể suy ra nghiệm kia. Ta xét riêng hai trường họp đặc biệt sau :
Cho phương trình 2x - 5x + 3 = 0.
Xác định các hệ số ã, b, c rồi tính a + b + c.
Chứng tỏ rằng X] = 1 /ừ một nghiệm của phương trình.
Dùng định lí Vi-ét để tìm Xọ.
Tổng quát
Nếu phương trình ax2 + bx + c - 0 (a 7^ 0) có a + b + c = 0 thì phương c
trỉ'«/z có một nghiệm là Xi = 1, còn nghiệm kia tóx2= — ã
Chơ phương trình 3x2 + 7x + 4 = 0.
a) Chỉ rõ các hệ số a, b, c của phương trình và tính a - b + c.
h) Chứng tỏ Xị = -1 là một nghiệm của phương trình.
Tìm nghiệm x2.
Tổng quát
Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a 0) có a - b + c - 0 thì phương £
trình có một nghiệm IỜXị = -1, còn nghiêm kia /ừ x2 = '- —•
■V+ Tính nhẩm nghiệm của các phương trình :
a) - 5x2 + 3x + 2 = 0 ;
2004x2 + 2005x + 1 =0.
Tìm hai sô biết tổng và tích của chúng
Giả sử hai số cẩn tìm có tổng bằng s và tích bằng p. Gọi một số là x thì số kia là s - X. Theo giả thiết ta có phương trình
(1)
x(S - x) = p hay X2 - Sx + p = 0.
Nếu A = s2-4p > 0 thì phương trình (1) có nghiệm. Các nghiệm này chính là hai số cần tìm.
Vậy :
Nếu hai số có tổng bằng s và tích bằng p thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình
X2 - Sx + p = 0.
Điểu kiện đế có hai sô đó là s - 4P > 0.
Áp dụng :
Ví dụ 1. Tìm hai số, biết tổng của chúng bằng 27, tích của chúng bằng 180. Giải. Hai số cần tìm là hai nghiệm của phương trình X2 - 27x + 180 = 0. Ta có : A = 272 - 4.1.180 = 729 -720 = 9; VÃ = 79 = 3 ;
Vậy hai số cần tìm là 15 và 12.
IQ Tìm hai số biết tổng của chủng bằng 1, tích của chúng bằng 5.
Ví dụ 2. Tính nhẩm nghiệm của phương trình X2 - 5x + 6 = 0.
Giải. Vì 2 + 3 = 5 ; 2.3 = 6 nên X| = 2, x2 = 3 lắ hai nghiệm của phương trình đã cho.
Bời tập
25. Đối với mỗi phương trình sau, kí hiệu Xj và x2 là hai nghiệm (nếu có). Không giải phương trình, hãy điền vào những chỗ trống (...) :
2x2 - 17x + 1 = 0,	A = ... ,	Xj + x2 = ... ,	XịX2 = ... ; .
5x2 - X - 35 = 0,	A = ... ,	Xj + x2 = ... ,	xtx2 = ... ;
2	1	ZA
8x - X + I = 0,	A = ... ,	X]+X2 = ... ,	x,x2 = ... ;
25x + lOx + l = 0, A = ... ,	X) + x2 = ... ,	XjX2 = ... .
I. Dùng điều kiện a + b + c = 0 hoặc a - b + c = 0 để tính nhẩm nghiệm của mỗi phương trình sau :
a) 35x2 - 37x + 2 = 0 ;	b)7x2 + 500x - 507 = 0 ;
X2 - 49x - 50 = 0 ;	d) 432lx2 + 2lx - 4300 = 0.
Dùng hệ thức Vi-ét để tính nhẩm các nghiệm của phương trình, a) X2 - 7x + 12 = 0;	b)	X2	+ 7x + 12 = 0.
I. Tìm hai số u và V trong mỗi trường họp sau :
a) u + V = 32, uv = 231 ;	b)	u	+ V = -8, uv = —105 ;
u + V = 2, uv = 9.
CÓ thể em ehưa biết ?
Phrăng-xoa Vi-ét (P.Viète) sinh năm 1540 tại Pháp, ông là một nhà toán học nổi tiếng. Chính ông là người đầu tiên dùng chữ để kí hiệu các ẩn và cả các hệ số của phương trình, đồng thời dùng chúng trong việc biến đổi và giải phương trình. Nhờ cách dùng chữ để kí hiệu mà Đại số đã phát triển mạnh mẽ.
F. Viète
Ông đã phát hiện mối liên hệ giữa các nghiệm và các hệ số của phương trình mà ta vừa học. ông còn nổi tiếng trong việc giải mật mã. Trong cuộc chiến tranh giữa Pháp và Tây Ban Nha hồi cuối thế kỉ XVI, vua Hen-ri IV đã mời ông giải những bản mật mã lấy được của quân Tây Ban Nha. Nhờ đó mà quân Pháp đã phá được nhiều âm mưu của đối phương. Vua Tây Ban Nha Phi-lip II đã tuyên án thiêu sống ông trên dàn lửa. Tuy nhiên, họ không bắt được ông.
Ngoài việc làm toán, Vi-ét còn là một luật sư và một chính trị gia nổi tiếng, ông mất năm 1603.
Luyện tập
Không giải phương trình, hãy tính tổng và tích các nghiệm (nếu có) của mỗi phương trình sau :
a) 4x2 + 2x - 5 = 0 ;	b) 9x2 - 12x + 4 = 0 ;
c) 5x2 + X + 2 = 0 ;	d) 159x2 - 2x - 1 = 0.
Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm, rồi tính tổng và tích các nghiệm theo m.
a) X2 - 2x + m = 0 ;	b) X2 + 2(m - l)x + m2 = 0.
Tính nhẩm nghiệm của các phương trình :
a) l,5x2 - l,6x + 0,1 = 0 ;	b) Vãx2 - (1 - 7ã)x -1 = 0;
(2-Vã)x2 +2ự3x-(2 + y3) = 0 ;
(m - l)x2 - (2m + 3)x + m + 4 = 0 với m 1.
Tim hai số u và V trong mỗi trường hợp sau :
a) u + V = 42, uv = 441 ;	b) u + V = -42, uv = -400 ;
c) u - V = 5, uv = 24.
Chứng tỏ rằng nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm là Xj và x2 thì tam thức ax + bx + c phân tích được thành nhân tử như sau :
ax~ + bx + c = a(x - X])(x - x2).
Ẳp dụng. Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) 2x2 - 5x + 3 ;	b) 3x2 + 8x + 2.