SGK Toán 9 - Bài 4. Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung

§4. GÓC tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung
SỐ đo của góc BAx có quan hệ gì với số đo của cung AmB ?
Hình 22. BAx (hoặc BAy) là góc tạo bởi tia tiếp tuyêh và dây cung
- A
X
A
k.	A	J
Khái niệm góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung
Ở hình 22, xy là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A, tiếp điểm A là gốc chung của hai tia đối nhau. Mỗi tia đó là một tia tiếp tuyến. Góc BAx có đỉnh A nằm trên đường tròn, cạnh Ax là một tia tiếp tuyến còn cạnh kia chứa dây cung AB.
Ta gọi một góc như vậy là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung.
^3 a) Hãy vẽ góc BAx tạo bởi tia tiếp tuyên và dây cung trong ba trường hợp sau : BÃx = 30°, BAx = 90°, BÃÍ = 120°
b) Trong mỗi trường hợp ở câu a), hãy cho biết số đo của cung bị chắn.
Dây AB căng hai cung. Cung nằm bên trong góc là cung bị chắn. Ớ hình 22, góc BAx có cung bị chắn là cung nhỏ AB, góc BAy có cung bị chắn là cung lớn AB.
Định lí
Sô' đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo của cung bị chắn.
Chứng minh
Để chứng minh định lí này ta xét ba trường hợp :
Tâm dường tròn nằm trên cạnh chứa dây cung.
Tâm đường tròn nằm bên ngoài góc.
Tàm đường tròn nằm bên trong góc.
a)
b)
Hình 27
c)
Tâm o nằm trên cạnh chứa dây cung AB (h. 27a).
Ta có :	BAx = 90°,
sđẤB = 180°
Vậy BAx = y sđAB.
Tâm o nằm bên ngoài BAx (h. 27b).
Vẽ đường cao OH của tam giác cân OAB, ta có :
BAx = Oi (hai góc này cùng phụ với OAB).
Nhưng Oi = y AOB (OH là tia phân giác của AOB), suy ra BAx = y AOB . Mặt khác AOB = sđ AmB, vậy BAx = y sđAmB.
Tâm o nằm bên trong BAx (h. 27c).
Học sinh tự chứng minh, coi như bài tập.
3.
Hãy so sánh số đo của BAx , ACB với số đo của cung AmB (h. 28).
Hệ quả
Trong một đường tròn, góc tạo hởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì hằng nhau.
Bài tập
Cho đường tròn tâm o, đường kính AB. Lấy điểm p khác A và B trên đường tròn. Gọi T là giao điểm của AP với tiếp tuyến tại B của đường tròn. Chứng minh
APO = PBT.
28.
29.
30.
Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B. Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O') cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai p. Tia PB cắt đường tròn (O') tại Q. Chứng minh đường thẳng AQ song song với tiếp tuyến tại p của đường tròn (O).
Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B. Tiếp tuyến kẻ từ A đối với đường tròn (O') cắt (O) tại c và đối với đường tròn (O) cắt (O') tại D.
Chứng minh CBA = DBA .
Chứng minh định lí đảo của định lí về góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung, cụ thể là :
Nếu góc BAx (với đỉnh A nằm trên đường tròn, một cạnh chứa dây cung AB), có số đo bằng nửa số đo của cung AB căng dây đó và cung này nằm bên trong góc đó thì cạnh Ax là một tia tiếp tuyến của đường tròn (h. 29).
Gợi ý. Có thể chứng minh trực tiếp hoặc chứng minh bằng phản chứng.
Luyện tập
Cho đường tròn (O ; R) và dây cung BC = R. Hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B, c cắt nhau ở A. Tính ABC, BAC.
Cho đường tròn tâm o đường kính AB. Một tiếp tuyến của đường tròn tại p cắt đường thẳng AB tại T (điểm,B nằm giữa o và T).
Chứng minh BTP + 2.TPB = 90°.
Cho A, B, c là ba điểm trên một đường tròn. At là tiếp tuyến của đường tròn tại A. Đường thẳng song song với At cắt AB tại M và cắt AC tại N. Chứng minh AB . AM = AC . AN.
Cho đường tròn (O) và điểm M nằm bên ngoài đường tròn đó. Qua điểm M kẻ tiếp tuyến MT và cát tuyến MAB.
Chứng minh MTc có đỉnh ở bên trong đường tròn
Trong hình 31, góc BEC có đỉnh E nằm bên trong đường tròn (O) được gọi là góc có đỉnh ở bèn trong đường tròn.
 Ta quy ước rằng mỗi góc có đỉnh ở bên trong đường tròn chắn hai cung, một cung nầm bên trong góc và cung kia nằm bên trong góc đối đỉnh của nó. Trên hình 31, hai cung bị chắn của góc BEC là BnC và AmD .
 = MA . MB.
Trên bờ biển có một ngọn hải đăng cao 40 m. Với khoảng cách bao nhiêu kilômét thì người quan sát trên tàu bắt đầu trông thấy ngọn đèn này, biết rằng mắt người quan sát ở độ cao 10 m so với mực nước biển và bán kính Trái Đất gần bằng 6 400 km (h. 30) ?
Hướng dẫn. Áp dụng kết quả của bài tập 34.