SGK Đại Số 10 - Bài 1. Bất đẳng thức

.
y>2 X + 2y«19 y - 3x - 22
eflT QtìnG THỨC. Gill ITIIÍITIKÌ TRln-H
ĐhT ĐhnG THỨC ĐtìT PIIUĨTTÌG TRlnn
Hai nội dung co bản của chương là bất đẳng thức và bất phương trình. Các vấn đé này đã được học từ những lớp dưới.
Chương này sẽ củng cô' và hoàn thiện các kĩ năng chứng minh bất đẳng thức và giải bất phương trình. Ngoài các phép biến đổi tương đương, học sinh còn được học cách xét dấu nhị thúc bậc nhất và tam thức bậc hai làm cơ sở cho việc giải các bất phương trình và hệ bất phương trình.
- ÔN TẬP BẤT ĐẲNG THỨC
Khái niệm bất đẳng thức
iTrong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng
3,25 <4 ;
-5 > -4y ; '	4
-72 < 3 ?
I Chọn dấu thích hợp (=, ) để khi điền vào ô vuông ta được một mệnh đề đúng.
272 □ 3 ;
’D L
3 + 272 Q (1 + T2)2 ;
cử + 1 I I 0 với a là một số đã cho.
Các mệnh đề dạng "a b" được gọi là bất
đẳng thức.
Bất đẳng thức hệ quả và bất đẳng thức tương đương
Nếu mệnh đề "a c <. d" đúng thì ta nói bất đẳng thức c < d là bất đẳng thức hệ quả của bâ't đẳng thức a < b và cũng viết là a < b c < d.
Chẳng hạn, ta đã biết ứữ<c (tính chất bắc cầu).
a ứ + ú'</? + c (tính chất cộng hai vế bất đẳng thức với một số).
Nếu bất đẳng thức a c < d.
Chứng minh rằng a <b a - b <ữ.
Tính chất của bất đẳng thức
Như vậy để chứng minh bất đẳng thức a < b ta chỉ cần chứng minh a - b < 0. Tổng quát hơn, khi so sánh hai số, hai biểu thức hoặc chứng minh một bất đẳng thức, ta có thể sử dụng các tính chất của bất đẳng thức được tóm tắt trong bảng sau
Tính chất
Tên gọi
Điều kiện
Nội dung
'\
a a + c <b + c
Cộng hai vế của bất đẳng thức với một số
c > 0
a ac < bc
Nhân hai vế của bất đẳng thức với một số
c < 0
a bc
aa + c<b + d
Cộng hai bất đẳng thức cùng chiều
a > 0, c > 0
a ac < bd
Nhân hai bất đẳng thức cùng chiều
n e N*
a < b	a2n+ỉ < b2n+ỉ
Nâng hai vế của bất đẳng thức lên một luỹ thừa
ỉịí
n e N và a > 0
a<b^a2n < b2n
a > 0
a < b o yỉã < y/b
Khai căn hai vế của một bất đẳng thức
a <b o líã <yfb
Nêu ví dụ áp dụng một trong các tính chất trên.
CHƯ Y
Ta còn gặp các mệnh đề dạng a b. Các mệnh đề dạng này cũng được gọi là bất đẳng thức. Để phân biệt, ta gọi chúng là các bất đẳng thức không ngặt và gọi các bất đẳng thức dạng a b là các bất đẳng thức ngặt. Các tính chất nêu trong bảng trên cũng đúng cho bất đẳng thức không ngặt.
- BẤT ĐẲNG THỨC GIỮA TRUNG BÌNH CỘNG VÀ TRUNG BÌNH NHÂN (BAT đang thức CÔ-SI)
Bất đẳng thức Cô-si^)
ĐỊNH LÍ	
Trung bình nhân của hai sô'không âm nhỏ hơn hoặc bầng^
trung bình cộng của chúng.
ab <
a+—,	Va,b>0.	(1)
Đẳng thức dab =
xảy ra khi và chỉ khi a = b.
= -4(Ý < 0. 2 2 2
Chứng minh
Ta có s[ãb - Vậy yfab < a + b
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi (Vũ -Vố)2 =0, tức là khi và chỉ khi a-b.
Các hệ quả
HỆ QUẢ 1 Tổng của một số dương với nghịch đảo của nó lớn hơn hoặc bằng 2.
a + — > 2,	v 0.
ữ
 Augustin Louis - Cauchy, 1789 - 1857.
HỆ QUÁ 2
Nếu X, y cùng dương và có tổng không đổi thì tích xy lớn nhất khi và chỉ khi x = y.
Chứng minh. Đặt s = X + y. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có
Vậy tích xy đạt giá trị lớn nhất bằng khi và chỉ khi x = y =
Ý NGHĨA HÌNH HỌC
Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình vuông có diện tích lớn nhất (h.26).
lew2
A	B
D	c
E	F
Hình 26
HỆ QUẢ 3
c	7	7	7 1
Nếu X, y cùng dương và có tích không đổi thì tổng x + y nhỏ nhất khi và chỉ khi x = y.;
Ý NGHĨA HÌNH HỌC
Trong tất cả các hình chữ nhật cố cùng diện tích, hình vuông có chu vỉ nhỏ nhất (h.27).
A	B
Hình 27
Ẫĩ,.
/ ® Hãy chứng minh hệ quả 3.
Ill	- BẤT ĐẲNG THỨC CHỨA DAU giá trị tuyệt Đối
I Nhắc lại định nghĩa giá trị tuyệt đối và tính giá trị tuyệt đối của các số sau
3
a) 0;	b) 1,25;	c)	d)-71.
Từ định nghĩa giá trị tuyệt đối, ta có các tính chất cho trong bảng sau
Điều kiện
Nội dung
u
> 0, UI > X, UI > —X
ứ > 0
|x
 -a < X < a
u
> a X a
\a
- \b\ < u + b\ < Id + \b\
Ví dụ. Cho X e [-2 ; 0]. Chứng minh rằng u + l| < 1. Giải
X e [-2 ; 0] => -2 < X < 0
=> -2 + 1 -l <%+ 1 < 1
u + ll < 1.
Bài tập
Tròng các khẳng định sau, khẳng định nào đúng với mọi giá trị của X ?
a) 8% > 4x ;	b) 4x > 8x ;
c) 8x2 > 4x2;	d) 8 + X > 4 + X.
Cho số X > 5, số nào trong các số sau đây là số nhỏ nhất ?
5	5	5	X
A=-;	£=—+ 1;	c=—-1 ;	£> = ặ.
XXX	5
Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác.
Chứng minh (Z? - c)2 < ữ2 ;
Từ đó suy ra ữ2 + b~ + c2 < 2 (ữh + bc + caỴ
Chứng minh rằng
%3 + y3 > X2 y + XV2, Vx > 0, Vy > 0.
Chứng minh rằng
X4 - yfx^ + X - \lx + 1 > 0, Vx > 0.
Hướng dẫn. Đặt yfx = t, xét hai trường hợp 0l.
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, trên các tia Ox và Oy lần lượt lấy các điểm A và B thay đổi sao cho đường thẳng AB luôn tiếp xúc với đường tròn tâm 0 bán kính 1. Xác định toạ độ của A và B để đoạn AB có độ dài nhỏ nhất.
Cô-si là nhà toán học Pháp, ông nghiên cứu nhiều lĩnh vực Toán học khác nhau, công bô' hơn 800 công trình về Sô' học, Lí thuyết số, Đại số, Giải tích toán học, Phương trình vi phân, Cơ học lí thuyết, Cơ học thiên thể, Vật lí toán.
Các công trình của Cô-si cho thấy rõ nhược điểm của việc dựa vào trực giác hình học để suy ra các kết quả tê' nhị của Giải tích. Ông định nghĩa một cách chính xác các khái niệm
A. CÔ-SI	giới hạn và liên tục của hàm số. ông xây dựng một cách chặt
(Augustin Louis Cauchy, chẽ Lí thuyết hội tụ của chuỗi, đưa ra khái niệm bán kính hội tụ. 1789 -1857)
ông định nghĩa tích phân là giới hạn của các tổng tích phân và chứng minh sự tồn tại tích phân của các hàm sô' liên tục. Ông phát triển cơ sở của Lí thuyết hàm số biến số phức, về Hình học, về Đại số, về Lí thuyết số, về Cơ học, về Quang học, về Thiên văn học, Cô-si đều có những cống hiến lớn lao.