SGK Đại Số 10 - Bài 3. Công thức lượng giác

•CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
I - CÔNG THỨC CỘNG
Công thức cộng là những công thức biểu thị cos(<7 ± b), sin (ứ ± b), tan (ứ ± b), cot(a ± b) qua các giá trị lượng giác của các góc a và b. Ta có
tan(ữ - b) =
tan(ữ + b) =
cos(đ! - ồ) = cosứcosờ + sinasinố cos(ữ + ở) = cosưcosố - sinữsinồ sin(ữ - b) = sin<zcosZ? - cosưsinồ sin(đ + ử) = sinncosồ + cosữsinồ tan a - tan b
Ị + tan a tan b tan a + tan ồ 1 - tan a tan b
Với điều kiện là các biểu thức đều có nghĩa.
Ta thừa nhận công thức đầu. Từ công thức đó có thể chứng minh dễ dàng
các công thức còn lại. Chẳng hạn
cos(ứ + b) = COS [ứ - (-ố)] = cosacos(-Z?) + sinứsin(-ồ)
= cosữcosố - sintzsinZ?.
sin(íz - b) = COS
7T	z	1 \
í 71 ì l.
COS
■7 - (ứ - b)
= COS
77 - ữ + Zz
l_2	J
Ll2 ) J
= cos - a cosZz - sin - a I sin b
<2	) I2
= sin<2CosZ? - cosasinở.
\Hãy chứng minh công thức sin(ứ + b) = sinứcosò + cosữsinờ.
Ví dụ 1. Tính tan
13tc
ĨT‘
Giải. Ta có
1371
tan-- = tan 12
7Ĩ	.	71	(ti 71 a
+ 71 I = tan— = tan| — - — 1 =
71	,	71
tan — - tan —
3	4’_
1 + tan^tan —
3	4
12	<3
Vã-1 1 + 73’
Ví dụ 2. Chứng minh rằng
sin(ư + z?) ' tan a + tan b sin(ữ - z?) tan a - tan b
Giải. Ta có
sin(ữ + b) sin a COS b + COS a sin b
sin(<2 - h)	sin a COS b - COS a sin b
Chia cả tử và mẫu của vế phải cho cosữcos/?, ta được điều phải chứng minh.
II - CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI
Cho a = b trong các công thức cộng ta được các công thức nhân đôi sau.
sin2ữ = 2sinacos«
2	.2	2	cy •	2
cos2ứ - cos a - sin a - 2cos a - 1 = 1 - 2sin a
_ n	2 tan a
tan 2# =	—
1 - tan2 a
Từ các công thức nhân đôi suy ra các công thức
2 l + cos2a cos a =	—	
.2	1 - cos2ứ
sin a 	—	
2 _	1 - cos2ứ
tan a = -————
1 + cos 2a
Các công thức này gọi là các công thức hạ bậc.
Ví dụ 1. Biết sina + COSỠ = —, tính sin2ứ.
2
Giải. Ta có 1 - sin"ữ + cos“ữ = (sina + cosứ)2 - 2sinữC0Sữ
sin2ư.
Suy ra sin2ữ =	•
4
Ví dụ 2. Tính cos^-- 8
Giải. Ta có -77^- = cos— = 2COS2 77 - 1.
Ill
1.
- CÔNG THỨC BIẾN Đổi TÍCH THÀNH TổNG, TỔNG THÀNH TÍCH
Công thức biến đổi tích thành tổng
cos a cos b - ^-[cos(ữ - b) + cos(ữ + /?)] sin a sin b - -^-[cos(ữ - b) - cos(ữ + bj] sin a COS ồ - ^-[sin(a - b) + sin(ứ + ồ)].
Các công thức trên được gọi là các công thức biến đổi tích thành tổng.
^Từcác công thức cộng, hãy suy ra các công thức trên.
Ví dụ 1. Tính giá trị của các biểu thức
.71	3tx „	. 13ĩi . 5ti
A = sin—COS—; B = sin——sin—•
8	8	24	24
Giải. Ta có
. . 71	371^1	. I 71	371
sin — —-— + sin — + —
8	8 J ■	18	8
. 1
A = sin—cos— = — 8 8 2
• I 71 I ,	•71
sin -— + sin — 4j 2
r. . 13tc . 5tl 1 B - sin—-sin—- = —
24	24	2
if _71	_ 3ti
= — COS— - COS —
2<	3	4
•f 1371	571^1	___c 13tĩ _ 5k
cos —— - — - COS —— + —
I 24	24 J k 24	24
_ 1 +V?
“ 2k2 + 2 J “	4
Công thức biến đổi tổng thành tích
^Bằng cách đặt u = a-b,v = a + b, hãy biến đổi COSM + cosv, sinM + sinv thành tích. Ta gọi các công thức sau đây là các công thức biến đổi tổng thành tích
_ u + V u — V COSM + cosv = 2 COS——COS—-— 2 2
. . u + V . u — V COS li - cosv = -2 sin—-—sin——— 2 2
- . u + V u - V sinz/ + sinv = 2 sin—-—COS—-—
2 2
„ M + V . u - V sin ỉ/ - sin ĩ' = 2 COS-	sin-2—-•
Ví dụ 2. Tính
7Ĩ 571	7 71
A = cos— + cos— + COS—-
Giải. Ta có
. -	71 , 	7ĩĩ ì , 5tc
A = cos— + cos—— + cos—-
9	9 J 9
»„ 4u _ Jt	c	5n
= 2cos —COS — - cos 71	-
3 I	9
47Ĩ	471
= COS—- - COS—— = 0.
9	9
Ví dụ 3. Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có
sin + sinB + sine = 4cos—COS—COS—• 2 2 2
Từ đó suy ra
Giải. Trong tam giác ABC ta có A + B + c = 71. A + B _ 71 c
~=2 ~ĩ'
. A + B c c 	A + B
Vì vậy, sin—-— = cos—, sin— = COS—-—•
2 2 2
Bây giờ ta có
’ .	Â + 5 ___ ^4 - 5	: C c
sin A + sin/í + sinC = 2sin—-—COS—	h 2sin — COS —
2 2 2 2
= 2 COS— cos——— + sin —
cf
5— c
2 I 2	2
_ A-B . A + B = 2 cos— cos—— + cos-—-— 2 y 2	2
a~A	B	c
- 4cos—COS—COS—■ 2	2	2
Bài tập
1. Tính
COS225°, sin240°, cot(-15°), tan75° ;
. ■ 7k ( 7C _ 1371
sin—r, COS —- , tan—
12 I 12>	12
2, Tính
X r	.	. ...	.	1	_.x	n	.	.	71
COS a	+	--	, biet	sin a	=	-4=	va 0 <	a<	—■
I 3?	73	2
, x _	(	tc7 ,. .	 1	'	71
tan \ a	-	—	, biet	COS a	=	--	va — <	a<n.
I 4j	3	2
cos(a + b), sin(a - ồ), biết
sin a = 4, 0° 90° 5	3
Rút gọn các biểu thức
sin(a + b) + sin^-^- - tfjsin(-ồ).
,. _ f 7t ,	n 3,1 -2 _
cos — + a cos — - a + —sin a
u ) u 7 2
cos^-|- - tf^sin^y - b] - s*n(a ~ b)-
Chứng minh các đẳng thức
. cos(a - ố) cot acot b + 1
	"Ý = — 	——
cos(a + ố) cot acot b - 1
sỉn(a + z?)sin(a - b) = sin a - sin b - COS b -
‘2	2	2
cos(a + ồ)cos(a - z?) - COS a - sin b - COS b
Tính sin2a, cos2a, tan2a, biết
sina — -0,6 và 71 < a <
< b < 180°.
cos2 a.
- sin2 a.
, X	 5	..X	71	,	_	.	_
cos a = và — < a < 71.
13	2
sina + cosa = — và —- < a < 71.
2	4
.	5 X 7Ĩ
Cho sin2a = —7- và -- <a < 7t.
9	2	-
Tính sina và cosa.
7. Biến đổi thành tích các biểu thức sau
a) 1 - sinx ;	b) 1 + sinx ;
c) 1 + 2cosx ;	d) 1 - 2sinx.
sinx + sin3x + sin5x
8. Rút gọn biểu thức A =
COSX + cos3x + cos5x