SGK Đại Số 10 - Bài 2. Giá trị lượng giác của một cung

V
GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG
I - GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CUNG a
1
'Nhắc lại khái niệm giá trị lượng giác của góc a, 0°< a< 180°.
Ta có thể mở rộng khái niệm giá trị lượng giác cho các cung và góc lượng giác.
1. Định nghĩa
Trên đường tròn lượng giác cho cung
Ấỹừ có sđẤĩừ (còn viết Ẫùl=a) (h.48).
Tung độ y = OK của điểm M gọi là sin của a và kí hiệu là sin a.
sin a = OK .
Hoành độ X = OH của điểm M gọi là côsin của a và kí hiệu là COS <2 .
cos a - OH.
Hình 48
sin ơ,
Nếu cos <2	0, tỉ số ——— gọi là tang của a và kí hiệu là tanơ (người ta
cos a
còn dùng kí hiệu tg a)
tan <2 =
sin <2
cos a
COS
Nếu sin a 0, tỉ số — gọi là côtang của a và kí hiệu là cot a (người ta sin a
còn dùng kí hiệu cotg a)
cot« =
cosa sin a
Các giá trị sintx, cosa, tan«, cotư được gọi là các giá trị lượng giác của cung a.
Ta cũng gọi trục tung là trục sin, còn trục hoành là trục côsin.
CHU Y
Các định nghĩa trên cũng áp dụng cho các góc lượng giác.
Nếu 0° < a < 180° thì các giá trị lượng giác của góc a chính là các giá trị lượng giác của góc đó đã nêu trong SGK Hình học 10.
25tC	n	n
Tính sin 4^-, COS(-240°), tan(-405°).
4
Hệ quả
sin a và COS a xác định với mọi a e R. Hơn nữa, ta có sin(a + kliì) = sin a, x/k e z ; cosCoth- k2n) - cosa, Vk e z .
Vì -1 < Ơ7C < 1 ; -1 < ơ// < 1 (h.48) nên ta có
-1 < sin a < 1 t -1 < cosa< 1.
Với mọi m e R mà -1 < m < ỉ đều tồn tại ÓZ và p sao cho sin« = m và COS /? - m.
tana xác định với mọi a Ỷ + kĩi (k e z).
Thật vậy, tan a không xác định khi và chỉ khi COS a = 0, tức là điểm cuối
M của cung Ẩừ trùng với B hoặc B' (h.48), hay a -	+ kn (k e Z).
5) cotor xác định với mọi a * kĩi (ke z). Lập luận tương tự 4).
6) Dấu của các giá trị lượng giác của
góc a phụ thuộc vào vị trí điểm cuối
B
của cung Ấĩừ = a trên đường tròn
II
\	I
lượng giác (h.49).
A 7
A
0
K
f I
1 /
1 /
III
	IV
B'
Hình 49
Bảng xác định dấu của các giá trị lượng giác
Góc phần tư
Giá trị lượng giac'"'"'\^
I
II
III
IV
cos a
+
-
-
+
sin a
+
+
-
-
tan a
+
-
+
-
cota
+
-
+
-
Giá trị lượng giác của các cung đặc biệt
a
0
1 s
71
4
71
I
71
2
sin or
0
1 ■
2
72
2
73
2
1
cos a
1
2
72
2
1
2
0
tana
0
1
73
1
73
Không xác định
✓
cot a
Không xác định
1
1
73
0
II - Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA TANG VÀ CÔTANG
Trừ định nghĩa của sin« và cosar, hãy phát biểu ý nghĩa hình học của chúng.
Ý nghĩa hình học của tan a
Từ A vẽ tiếp tuyến t'At với đường tròn lượng giác. Ta coi tiếp tuyến này là một trục số bằng cách chọn gốc tại A và vectơ đơn vị i = OB.
Hình 50
Cho cung lượng giác Ấ/ừ có số đo là a (ơ. + kn). Gọi T là giao điếm của
OM với trục tAt (h.50).
Giả sử T không trùng với A. Vì MH // AT,
A AT OA
ta có —— = —. Từ đó súy ra HM OH
ÃT _ÕÃ ~HM~ ÕH '
Vì HM - sin a, OH = COS a và OA = 1
nên từ (1) suy ra
sin a	HM	AT	—
tan a = —— = 4==- ==== = AT.
cos a	OH	OA
Khi T trùng A thì a - kĩi và tan a = 0. Vậy
tan a = AT.
tan a được biểu diễn bởi độ dài đại số' của vectơ AT trên trục tAt. Trục tAt được gọi là trục tang.
Hình 51
Ý nghĩa hình học của cota
Từ B vẽ tiếp tuyến s’Bs với đường tròn lượng giác và xác định trên tiếp tuyến này một trục có gốc tại B và vectơ đơn vị bằng OÁ.
Cho cung lượng giác ÁM có số đo là a (a^kĩì).
Gọi s là giao điểm của OM và trục s'Bs (h.51).
Lí luận tương tự mục trên, ta có
cot<z = BS.
cot« được biểu diễn bởi độ dài đại số của vectơ BS trên trục s'Bs. Trục s’Bs được gọi là trục côtang.
ưừý nghĩa hình học của tana và cota hãy suy ra với mọi số nguyên k, tan(ữ+ £7t) = tana, cot(a+ kù) - cota.
III - QUAN HỆ GIỮA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC
Công thức lượng giác cơ bản
Đối với các giá trị lượng giác, ta có các hằng đẳng thức sau
7X
a *	+ kit, k e z
2
a * kn, k 6 z
.2 2 sin a + cos a= 1
1 , 1 1 + tan a =
cos2 a
. __2 1
1 + cot a -
sin2 a
tan O'. cot O'= 1,
a? kE z, 2
i Từ định nghĩa của sin a, COS a hãy chứng minh hằng đẳng thức đầu tiên, từ đó suy ra các hằng đẳng thức còn lại.
Ví dụ áp dụng
Ví dụ 2. Cho tan a = --Z, với -2- < a < 2tt. Tính sin a và COS a.
Giải. Ta có
cos a-
cosa-
1 + tan a
±5
- 25 16 ■ 41 25
suy ra
3tc	9	9	'9
Vì -ệ- < a < 271 nên điểm cuối của cung a nằm ở cung phần tư thứ IV, do
741
Từ đó sin a = tan a. COS a =	5
đó cos a > 0. Vậy COS a -
5 Tĩĩ
Ví dụ 3. Cho a — + kn, k ẹ z.
2
COS <7 4- sin <7	T	9
Chứng minh rằng	= tan a + tan a + tan a + 1.
cos3 a
Giải. Vì a * ’ + kĩi nên cos a 0, do đó cả hai vế của đắng thức cần 2
chứng minh đều có nghĩa. Ta có
cosa + sina 1 cosa + sina
cos3 a
cos2 a
COS a
= (1 + tan à) (1 + tana)
3	2
= tan a + tan a + tan a + 1.
Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt
1) Cung đối nhau : a và -a.
Các điểm cuối của hai cung a= Ẩtií
và -a = A Ví' đối xứng nhau qua trục hoành (h.52), nên ta có
cos(-a) = cos a sin (-a) - -sin a tan (-a) = -tana cot (-a) = -cot a.
2) Cung bù nhau : a và 71 - a.
Các điểm cuối của hai cung a = và n - a = Ẩìvl' đối xứng nhau qua trục tung (h.53), nên ta có
sin(7ĩ - à) = sin <7 COS (71 - à) = - cos a tan(71 - a) - - tana cot(7ĩ - à) = - cot a.
3) Cung hơn kém 71: a và (a + 7t).
Các điểm cuối của hai cung a và (<z + 71) đối xứng nhau qua gốc toạ độ o (h.54), nên ta có
sin(a+ 71) = -sin a cos(a+ 7t) = -cos a tan(a+ 7ĩ) = tan a cot(a+ 71) = cota.
4) Cung phụ nhau : a và
Các điểm cuối của hai cung a và
TE	I z. x
-y - a \ đối xứng nhau qua phân giác d
6
Tính cos	tan~^“’ sin(—1380°).
Bài tập
1. Có cung a nào mà sina nhận các giá trị tương ứng sau đây không ?
75
a)-0,7;
b)|;
c) -72;
d)
Các đẳng thức sau có thể đồng thời xảy ra không ?
.	72 . __ 7| .
sin a - —— va COS a - —— ;
3	3
sin a = -— va COS a -	;
5	5
sin a = 0,7 và COS a = 0,3.
Cho 0 < a < -ị. Xác định dấu của các giá trị lượng giác
a) sin (a - 7t) ;
c) tan(a+ 7t);
, ,	371 _
cos —— - a
I 2
cot	.
Tính các giá trị lượng giác của góc «, nếu
4	71
a) cos a = — và 0 < ữ < ;
13	2
, 	 15 7Ĩ
tan a - —— và — < a < 71;
2
Tính a, biết a) cos a = 1 ; c) cos a = 0 ;
sin a = -1 ;
371
b) sina= -0,7 và 71 < a< —ị ;
3k -
cot a - -3 va —- < a < 2k.
2
b) cos« = -1 ;
sina= Ì ;
sin<2 = 0.