SGK Đại Số 10 - Bài 5. Dấu của tam thức bậc hai

DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI
I - ĐỊNH LÍ VỀ DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI
Tam thức bậc hai
Tam thức bậc hai đối với X là biếu thức có dạng fix) =ax + bx + c, trong đó a, b, c là những hệ số, ữ/0.
Quan sát các đồ thị trong hình 32 và rút ra mối liên hệ về dấu của giá trị /(%) = ax2 + bx + c ứhg với X tuỳ theo dấu của biệt thức A = b2 - 4ữc.
y =/(x) = X - 5x + 4
b)
y = x2 -4x +4 Hình 32
c)
y = X2 - 4x + 5
Dâu của tam thức bậc hai
Người ta đã chứng minh được định lí về dấu tam thức bậc hai sau đây ĐỊNH Ú
Cho fix) = ax2 + bx + c (a*ơ), A= b2 - 4ac.
Nếu A < 0 thì fix) luôn cùng dấu với hệ số a, với mọi X e R . Nếu A = 0 thì fix) luôn cùng dấu với hệ sốa, trừ khi X =
2a
Nếu A > 0 thì fix) cùng dấu với hệ số a khi x x2, trái
dấu với hệ số a khi Xị < x < x2 trong đó Xỵ, x2 (%! < xfi là hai nghiệm của fix).
CHÚ Ý
Trong định lí trên, có thể thay biệt thức A = z?2 - 4ac bằng biệt thức thu gọn A' = (Z/)2 - <zc.
Minh hoạ hình học
Áp dụng
Ví dụ 1
Xét dấu tam thức /(x) = -X2 + 3x - 5.
Lập bảng xét dấu tam thức /(x) = 2x2 - 5x + 2.
Giải
à)f(x) có A = -11 < 0, hệ số a = -1 < 0 nên/(x) < 0, với mọi X.
2	-	_	XI-	.	1
/(%) - 2x - 5x + 2 có hai nghiệm phân biệt Xj =x2 = 2, hệ số a — 2 > 0.
Ta có bảng xét dấu/(x) như Sau
X
— QO
1
2
2
+ 00
f(x)
+
0
-
0
+
^Xét dấu các tam thức
a) f(x) - 3x2 + 2x - 5
b) g(x) = 9x2 - 24X + 16.
Tương tự như tích, thương của những nhị thức bậc nhất, ta có thể xét dấu tích, thương của các tam thức bậc hai.
Ví dụ 2. Xét dấu biểu thức
Giải. Xét dấu các tam thức 2x2 - X - 1 và X2 - 4 rồi lập bảng xét dấu/(x) ta được	,
X
—00 -
2
1
2
• 1
2
+OO
2x~ - X - 1
+
+
0
- 0
+
+
X2 - 4
+ 0 -
-
- 0
+
/(*)
+
-
0
+ 0
-
+
II - BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT Ẩn
Bất phương trình bậc hai
Bất phương trình bậc hai ẩn X là bất phương trình dạng
2	’ w	2	,	> n	2	,
ax + bx + c 0, 2 ~ ,
ax +bx + c> 0), trong đó a, b, c là những sô thực đã cho, a/0.
Giải bât phương trình bậc hai
Giải bất phương trình bậc hai ax + bx + c < 0 thực chất là tìm các
khoảng mà trong đó /(x) = Í7X2 + bx + c cùng dấu với hệ số a (trường hợp a 0).
A’ ckhoẻnonào
Trong các khoang nào
f(x) = -2x2 + 3x + 5 trái dấù với hệ số của X2 ?
g(x) = -3x2 + 1x - 4 cùng dấu với hệ sô' của X2 ?
Ví dụ 3. Giải các bất phương trình sau
3x2 + 2x + 5 > 0 ;	b) -2x2 + 3x + 5 > 0 ;
-3x2 + 7x - 4 0.
Giải
Tam thức/(x) = 3x2 + 2x + 5 có Á' = 1 - 3 . 5 0 nên /(x) luôn dương (cùng dấu với a).
Do đó tập nghiệm của bất phương trình 3x + 2x + 5 > 0 là (-00 ; +oo).
2	„	5
Tam thức /(x) = -2x + 3x + 5 có hai nghiệm làXj = -1 ; x2 = 2 ’ hệ số (3 = -2 < 0, nên/(x) luôn dương với mọi X thuộc khoảng ^-1;	.
Vậy bất phương trình -2x + 3x + 5 > 0 có tập nghiệm là khoảng -1;
, X .. .	2	_ A A A ■	1 I' 1	4 , X X'
Tam thức fix) - -3x + 7x - 4 có hai nghiệm làxj = 1; x^ = —, hệ sô
a = -3 < 0, nẽn/(x) luôn âm với mọi X thuộc khoảng (-00 ; 1) hoặc I Ỷ ; + co I.
7	X	7
Vậy tập nghiệm của bất phương trình -3x + 7x - 4 < 0 là
(-co; 1) u| - ; + co |.
Tam thức /(x) = 9x2 - 24x + 16 có hệ số a = 9, A' = 122 - 9.16 = 0,
4 X XX X XX X. .	4	4
/(x) có nghiệm kép X = — nên /(x) > 0 với mọi X — và/(x) = 0 với X = —.
TTaIa'1	X 1	2 XX X
Vậy bất phương trình 9x — 24x + 16 > 0 nghiệm đúng với mọi X.
Ví dụ 4. Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau có hai nghiệm trái dấu
2x2 - (zn2 - m + l)x + 2m~ - 3m - 5 = 0.
Giải. Phương trình bậc hai sẽ có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi các hệ số a và c trái dấu, tức là m phải thoả mãn điều kiện
2(2/772 - 3/77 - 5) 2/T72 - 3/77 - 5 < 0.
Vì tam thức f(j7Ì) = 2.171 -2)171 - 5 cố hai nghiệm là /77j = -1, /?72 = và hệ
số của /77“ dương nên
... 2	„	-	„	.	5
2/77 -	3/77	- 5	 -1	< /77 < —•
Kết luận. Phương trình đã chọ có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi , _	5
-1 < /77 < —•
Bài tập
Xét dấu các tam thức bậc hai
a) 5x2 - 3% + 1 ;	b) -2x2 + 3x + 5 ;
X2 + 12x + 36 ;	d) (2x - 3)(x + 5).
Lập bảng xét dấu các biểu thức sau
/(x) = (3x2 - lOx + 3)(4x - 5) ;
/(x) = (3x2 - 4x)(2x2 - X - 1) ;
/(x) = (4x2 - l)(-8x2 + X - 3)(2x + 9) ;
Ax'F(3x2-xXl-?),
4xz + X - 3
Giải các bất phương trình sau
a) 4x2 - X + 1 0 ;
1 ■- <	3	- ;	d) X2 - X - 6 < 0.
. X - 4 3x + X - 4
Tìm các giá trị của tham số /77 để các phương trình sau vô nghiệm
(/77 - 2)x2 + 2(2/77 - 3)x + 5/77 - 6 = 0;
(3 - /77)x2 - 2(/77 + 3)x + /77 + 2 = 0.