SGK Đại Số 10 - Bài 1. Cung và góc lượng giác
• ♦ VH Gúc LƯỢnG GlHC. CÙnG THỨC LƯỢGG GlHC Trong chương này, học sinh được cung cấp các khái niệm về đường tròn định hướng, cung và góc lượng giác (mở rộng khái niệm cung và góc hình học) chuẩn bị cho việc xây dựng khái niệm các hàm số lượng giác ở lớp 11. Cũng trong chương này, học sinh được học các công thức lượng CD giác cơ bản nhất và biết vận dụng các công thức này để ^5 thực hiện các biến đổi lượng giác. CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC • I - KHÁI NIỆM CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC Cắt một hình tròn bằng bìa cứng, đánh dấu tâm 0 và đường kính AA'. Đính một sợi dây vào hình tròn tại A. Xem dây như một trục số ft, gốc tại A, đơn vị trên trục bằng bán kính OA. Như vậy hình tròn này có bán'kính R = 1. Cuốn dây áp sát đường tròn, điểm 1 trên trục ft chuyển thành điểm Mị trên đường tròn, điểm 2 chuyển thành điểm A/2, ... ; điểm -1 thành điểm Nỵ,... (h.39). Như vậy mỗi điểm trên trục số được đặt tương ứng với một điểm xác định trên đường tròn. Nhận xét a) Với cách đặt tương ứng này hai điểm khác nhau trên trục số có thể ứng với cùng một điểm trên đường tròn. Chẳng hạn điểm 1 trên trục số ứng với điểm Mỵ, nhưng khi cuốn quanh đường tròn một vòng nữa thì có một điểm khác trên trục số cũng ứng với điểm Mỵ. t+ -1 í’ Hình 39 Đường tròn định hướng và cung lượng giác b) Nếu ta cuốn tia At theo đường tròn như trên hình 39 thì mỗi số thực dương t ứng với ntột điểm M trên đường tròn. Khi t tăng dần thì điểm M chuyển động trên đường tròn theo chiều ngược chiều quay của kim đồng hồ. Tương tự, nếu cuốn tia At' theo đường tròn thì mỗi số thực âm t ứng với một điểm M trên đường tròn và khi t giảm dần thì điểm M chuyển động trên đường tròn theo chiều quay của kim đồng hồ. Ta đi tới khái niệm đường tròn định hướng sau đây Đường tròn định hướng là một đường tròn trên đó ta đã chọn một chiều chuyển động gọi là chiều dương, chiều ngược lại là chiều âm. Ta quy ước chọn chiều ngược với chiều quay của kim đồng hồ làm chiều dương (h.40). Trên đường tròn định hướng cho hai điểm A và B. Một điểm M di động trên .đường tròn luôn theo một chiều (âm hoặc dương) từ A đến B tạo nên một cung lượng giác có điểm đầu A điểm cuối B. Hình 41 Hình 41 cho ta hình ảnh của bốn cung lượng giác khác nhau có cùng điểm đầu A, điểm cuối B. Ta có thể hình dung một điểm M di động trên đường tròn từ A đến B theo chiều ngược với chiều quay của kim đồng hồ, nó lần lượt tạo nên các cung tô đậm trên hình 41. Nếu dừng lại ngay khi gặp B lần đầu, nó tạo nên cung tô đậm trên hình 4la), nếu nó dừng lại sau khi quay một vòng rồi đi tiếp gặp B lần thứ hai nó tạo nên cung tô đậm trên hình 41b),... Khi M di động theo chiều ngược lại, nó tạo nên cung tô đậm trên hình 41d) nếu nó dừng lại khi gặp B lần đầu,... Mỗi lần điểm M di động trên đường tròn định hướng luôn theo một chiều (âm hoặc dương) từ điểm A và dừng lại ở điểm B, ta được một cung lượng giác điểm đầu A điểm cuối B. Như vậy Với hai điểm A, B đã cho trên đường tròn định hướng ta có vô số cung lượng giác điểm đầu A, điểm cuối B. Mỗi cung như vậy đều được kí hiệu là Ẵìĩ. CHƯ Y Trên một đường tròn định hướng, lấy hai điểm A và B thì Kí hiệu/15 chỉ một cung hình học (cung lớn hoặc cung bé) hoàn toàn xác định. Kí hiệu Ấh chỉ một cung lượng giác điểm đầu A, điểm cuối B. Góc lượng giác Trên đường tròn định hướng cho một cung lượng giác <5b (h.42). Một điểm M chuyển động trên đường tròn từ c tới D tạo nên cung lượng giác Ób nói trên. Khi đó tia OM quay xung quanh gốc o từ vị trí oc tới vị trí OD. Ta nói tia OM tạo ra một góc lượng giác, có tia đầu là oc, tia cuối là OD. Kí hiệu góc lượng giác đó là (OC, ODỴ Đường tròn lượng giác Trong mặt phẳng toạ độ Oxy vẽ đường tròn định hướng tâm o bán kính R = 1 (h.43). Đường tròn này cắt hai trục toạ độ tại bốn điểm A(1 ; 0), Â'(-1 ; 0), 5(0 ; 1), 5'(0 ; -1). Ta lấy Â(1 ; 0) làm điểm gốc của đường tròn đó. Đường tròn xác định như trên được gọi là đường tròn lượng giác (gốc A). II - SỐ ĐO CỦA CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC Độ và rađian Đơn vị rađian Đơn vị độ đã được sử dụng để đo góc từ rất lâu đời. Trong Toán học và Vật lí người ta còn dùng một đơn vị nữa để đo góc và cung, đó là radian (đọc là ra-đi-an). Trên hình 39 ta thấy độ dài cung nhỏ AM ị bằng 1 đơn vị, tức là bằng độ dài bán kính. Ta nói số đo của cung AMỵ (hay số đo của góc ở tâm AOMỵ ) bằng 1 radian (viết tắt là 1 rad). Tổng quát Trên đường tròn tuỳ ý, cung có độ dài bằng bán kính được gọi là cung có sô đo í rad. Quan hệ giữa độ và rađian Ta biết độ dài cung nửa đường tròn là nR, nên trong hình 43 số đo của cung AA' (hay góc bẹt AO A A là TI rad (vì /? = 1). Vì góc bẹt có số đo độ là 180 nên ta viết 180° = TI rad. Suy ra —rad và 1 rad = 180 Với TI « 3,14 thì 1° « 0,01745 rad và 1 rad « 57°17’45". CHÚ Ý Khi viết số đo của một góc (hay cung) theo đơn vị radian, người ta thường không viết chữ rad sau số đo. Chẳng hạn cung được hiểu là cung rad. 2 2 Bảng chuyển đổi thông dụng Độ 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° Radian TI 6 TI 4 TI . 3 TI 2 2ĩi T 3 TI T 5ti ~ẽ TI Sử dụng máy tính bỏ túi để đổi từ độ sang radian và ngược lại. Nếu dùng máy tính CASIO fx-500MS ta làm như sau a) Đổi 35°47’25” sang radian Ấn ba lần phím I MODE 1 rồi ấn [~2~| để màn hình hiện chữỊ R |. Sau đó ấn liên tiếp [TJQO 0 E0 0 00 01SH|FTI 1 DRG ► 1 PHA cho kết quả 0,6247 (đã làm tròn đến bốn chữ số thập phân). Đổi 3 rad ra độ Ấn ba lần phím I MODE 1 rồi ấn [ 1 để màn hình hiện chữ[Õ]. Sau đó ấn liên tiếp 0[SHIFT[1 DRG ► I[1]0ISHIFTl 0 cho kết quả 171°53’ 14” (đã làm tròn đến giây). Độ dài của một cung tròn Trên đường tròn bán kính R, cung nửa đường tròn có số đo là 71 rad và có độ dài là TiR. Vậy Cung có số đo a rad của đường tròn bán kính R có độ dài ỉ = Ra. Số đo của một cung lượng giác Ví dụ. Xét cung lượng giác Ẫh trong hình 44a). Một điểm M di động trên đường tròn theo chiều dương. Khi M di động từ A đến B tạo nên cung -ị * đường tròn, ta nói cung này có số đo sau đó đi tiếp một vòng tròn nữa (thêm 2ti), ta được cung lượng giác Ẩầ có số đo là y + 271 = Tương tự, cung lượng giác Ấầ trong hình 44b) có số đo là 71. „ . „ -7- + 2ti + 271 = —- 2 2 9ti Cung lượng giác Ấồ trong hình 44c) lại có số đo là y. i\\ y. y, 1 ° 4V ° AỈ * \ \ ° Ã/ / X 1 cdy/j / A —- 271 - 2tc - 2ti = 7—• 4 4 a) c) b) Hình 44 Từ các ví dụ nêu trong hình 44 ta thấy Số đo của một cung lượng giác Áĩứ (Â íM) là một số thực, âm hay dương. Kí hiệu sô'đo của cung Ẫtiỉ là sđ ẤÈí. Cung lượng giác Ẵb (h.45) có sô' đo là bao nhiêu ? GHI NHỚ Số đo của các cung lượng giác có cùng điểm đầu và điểm cuối sai khác nhau một bội của 2tĩ. Ta viết y. X Hình 45 s< ,đ - a + k2ĩi, k e z trong đó a là số đo của một cung lượng giác tuỳ ý có điểm đầu là A và điểm cuối là M. Khi điểm cuối M trùng với điểm đầu A ta có sđ AA = k2n, k e z ; khi k = 0 thì sđẨX = 0. Người ta cũng viết số đo bằng độ. Cỡng thức tổng quát của số đo bằng độ của các cung lượng giác ÁÙI là sđẤ^r= a° + £360°, k E z trong đó a° là số đo của một cung lượng giác tuỳ ý có điểm đầu là A và điểm cuối là M. Số đo của một góc lượng giác Ta định nghĩa Sô' đo của góc lượng giác (OA, OC) là sô' đo của cung lượng giác ẤỠ tương ứng. 3 Tìm sô' đo của các góc lượng giác (OA, OE) và (OA, OP) trên hình 46 (điểm E là điểm chính giữa của cung A'B', AP = - AB). 3 Viết sô' đo này theo đơn vị rađian và theo đơn vị độ. Hình 46 CHÚ Ý Vì mỗi cung lượng giác ứng với một góc lượng giác và ngược lại, đồng thời số đo của các cung và góc lượng giác tương ứng là trùng nhau, nên từ nay về sau khi ta nói về cung thì điều đó cũng đúng cho góc và ngược lại. Biểu diễn cung lượng giác trên đường tròn lượng giác Chọn điểm gốc A(.l ; 0) làm điểm đầu của tất cả các cung lượng giác trên đường tròn lượng giác. Để biểu diễn cung lượng giác có sô' đo a trên đường tròn lượng giác ta cần chọn điểm cuối M của cung này. Điểm cuối M được xác định bởi hệ thức sđ Ắùỉ = a. Ví dụ. Biểu diễn trên đường tròn lượng giác các cung lượng giác có sô' đo lần lữợt là Bài tập Khi biểu diễn các cung lượng giác có số đo khác nhau trên đường tròn lượng giác, có thể xảy ra trường hợp các điểm cuối của chúng trùng nhau không ? Khi nào trường hợp này xảy ra ? Đổi số đo của các góc sau đây ra radian a) 18°; b)57°30'; -25°; d)-125°45'. Đổi số đo của các cung sau đây ra độ, phút, giây a)18- c)-2 ; b)- d) 7T ,,ĨTỈ 16 ’ 3 4' Một đường tròn có bán kính 20cm. Tìm độ dài của các cung trên đường tròn đó có số đo a) K 15' b) 1,5; c)37°. b)135°; d)-225°. a)- c)- Trên đường tròn lượng giác hãy biểu diễn các cung có số đo 5rc _ T; 1Ơ7T T; Trên đường tròn lượng giác gốc A, xác định các điểm M khác nhau, biết rằng cung ẤỀr có số đo tương ứng là (trong đó k là một số nguyên tuỳ ý) a) kĩi ; b) k^; c) k^-- Trên đường tròn lượng giác cho điểm M xác định bởi sđ Ấìfo = a (0 < a ). Gọi MpM2,M3 lần lượt là điểm đối xứng của M qua trục Ox, trục Oy và gốc toạ độ. Tìm số đo của các cung