SGK Đại Số 10 - Bài 1. Hàm số
Chương 4ÍÍT Htìrn sú BẠC rmtìT VẾ BẠC BBI Trong chương trình môn Toán Trung học co sở, học sinh đã nắm được các khái niệm hàm số, hàm số bậc nhất, hàm số bậc hai, hàm số đồng biến, hàm sô' nghịch biến. Chương này ôn tập và bổ sung các khái niệm cơ bản về hàm sổ, tập xác định, đổ thị của hàm số, khái niệm hàm số chẵn, hàm sô' lẻ, xét chiều biến thiên và vẽ đổ thị các hàm số đã học. Hàm số. Tập xác định của hàm số Giả sử có hai đại lượng biến thiên X và y, trong đó X nhận giá trị thuộc tập số D. Nếu với mỗi giá trị của X thuộc tập D có một và chỉ một giá tri tương ứng của y thuộc tập số thực R thì ta có một hàm số. Ta gọi X là biến số và y là hàm số của X. Tập hợp D được gọi là tập xác định của hàm số. Vídụl Bảng dưới đây trích từ trang web của Hiệp hội liên doanh Việt Nam - Thái Lan ngày 26 - 10 - 2005 về thu nhập bình quân đầu người (TNBQĐN) của nước ta từ năm 1995 đến năm 2004. Năm 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2004 TNBQĐN (tính theo USD) 200 282 295 311 339 363 375 394 564 Bảng này thể hiện sự phụ thuộc giữa thu nhập bình quân đầu người (kí hiệu là y) và thời gian X (tính bằng năm). Với mỗi giá trị X e D = {1995, 1996, 1997, 1998, 1999, 2000, 2001, 2002, 2004} có một giá trị duy nhất y. Vậy ta có một hàm số. Tập hợp D là tập xác định của hàm số này. Các giá trị y = 200 ; 282 ; 295 ; ... được gọi là các giá trị của hàm số, tương ứng, tại X = 1995 ; 1996 ; 1997 ; ... Hãy nêu một ví dụ thực tế về hàm số. Cách cho hàm sô Một hàm số có thể được cho bằng các cách sau. Hàm số cho bằng bảng Hàm số trong ví dụ trên là một hàm số được cho bằng bảng. 2 Hãy chỉ ra các giá trị của hàm số trên tại X = 2001 ; 2004 ; 1999. Hàm sô cho bằng biểu đồ Ví dụ 2. Biểu đồ dưới (h. 13) (trích từ báo Khoa học và Đời sống số 47 ngày 8- 11-2002) mô tả số công trình khoa học kĩ thuật đăng kí dự giải thưởng Sáng tạo Khoa học Công nghệ Việt Nam và số công trình đoạt giải hàng năm từ 1995 đến 2001. Biểu đồ này xác định hai hàm số trên cùng tập xác định D = {1995,1996,1997, 1998, 1999, 2000, 2001}. 3 Hãy chỉ ra các giá trị của mỗi hàm số trên tại các giá trị X s D. Hình 13 Hàm số cho bằng công thức Hãy kể các hàm sô' đã học ỏ Trung học cơ sở. Các hàm số y = ax + b, y = —, y = ax là những hàm số được cho bởi công thức. ' Khi cho hàm số bằng công thức mà không chỉ rõ tập xác định của nó thì ta có quy ước sau Tập xác định của hàm sô' y = f(x) là tập hợp tất cả các số thực X sao cho biểu thức /(x) có nghĩa. Ví dụ 3. Tìm tập xác định của hàm sồ/(x) = yjx -3 . Giải. Biểu thức Vx - 3 có nghĩa khi X - 3 > 0, tức là khi X > 3. Vậy tập xác định của hàm số đã cho là D = [3 ; +oo). Tìm tập xác định của các hàm số sau 3 S(x) = -—T ; x + 2 h(x) = yjx + ỉ + y/ỉ—x . CHÚ Ý Một hàm sô' có thể được cho bởi hai, ba,... công thức. Chẳng hạn, cho hàm số nghĩa là vói X > 0 hàm số được xác định bởi biểu thức/(x) - 2x + 1, với X < 0 hàm số được xác định bởi biểu thức g(x) - -X2. 2x + 1 với X > 0 .2 -X với X < 0 Tính giá trị của hàm Đồ thị của hàm số Đồ thị của hàm sốy =/(x) xác định trên tập D là tập hợp tất cả các điểm M(x ;/(x)) trên mặt phẳng toạ độ với mọi X thuộc D. Ví dụ 4. Trong Sách giáo khoa Toán 9, ta đã biết đồ thị của hàm số bậc nhất y = ax + b là một đường thăng, đô thị của hàm sô bậc hai y - ax là một đường parabol. ' ™Dựa vào đồ thị của hai hàm sô' đã cho trong hình 14 ? . y =/(*) = X + 1 và y = g(x)= 2 x hãy TínhX-2),/(-l),/(0),/(2), g(-l), g(-2), g(0); Tìm X, sao eho/(x) = 2 ; Tìm X, sao cho g(x) = 2. Ta thường gặp trường hợp đồ thị của hàm số y =flx) là một đường (đường thẳng, đường cong, ...). Khi đó, ta nói y - f(x) là phương trình của đường đó. Chẳng hạn y = ax + b là phương trình của một đường thẳng. y = ax (a * 0) là phương trình của một đường parabol. - Sự BIẾN THIÊN CỦA HÀM số Ôn tập Xét đổ thị hàm số y = f(x) = X2 (h.l5a). Ta thấy trên khoảng (-00 ; 0) đồ thị "đi xuống" từ trái sang phải (h.l5b) và với x2 e (-00 ; 0), X1 f(x2). Như vậy, khi giá trị của biến số tăng thì giá trị của hàm số giảm. Ta nói hàm số y - X nghịch biến trên khoảng (-00; 0). Trên khoảng (0 ; +00) đồ thị "đi lên" từ trái sang phải (h,15c) và với xb x2 e (0 ; +oo); Xj < x2 thì/Oq) </(x2). Như vậy, khi giá trị của biến số tăng thì giá trị của hàm số cũng tăng. Ta nói hàm sốy - X đồng biến trên khoảng (0 ; +oo). CHÚ Ý Khi X > 0 và nhận các giá trị lớn tuỳ ý thì ta nói X dần tới +00, Khi X < 0 và Ix| nhận các giá trị lớn tuỳ ý thì ta nói X dần tới -00. Ta thấy khi X dần tới +0O hay -00 thì X dần tới +00. Tổng quát Hàm sốy =/(x) gọi là đồng biến (tăng) trên khoảng (a ; b) nếu Vxb x2 e (a ; b) : X1 f(xỵ) <f(x2). Hàm sốy =f(x) gọi là nghịch biến (giảm) trên khoảng (a ; b) nếu Vxb x2 e (ữ ; ố): %! f(xi) >f(x2). Bảng biến thiên Xét chiểu biến thiên của một hàm sớ'là tìm các khoảng đồng biến và các khoảng nghịch biến của nó. Kết quả xét chiều biến thiên được tổng kết trong một bảng gọi là bảng biến thiên. 9 z 2 Ví dụ 5. Dưới đây là bảng biến thiên của hàm số y = X . 2 z Hàm số y = X xác định trên khoảng (hoặc trong khoảng) (-00 ; +oo) và khi X dần tới +CO hoặc dần tới -00 thì y đều dần tới +00. Tại X = 0 thì y = 0. Để diễn tả hàm số nghịch biến trên khoảng (-00 ; 0) ta vẽ mũi tên đi xuống (tỉ?+00 đến 0). Để diễn tả hàm số đồng biêh trên khoảng (0 ; +oo) ta vẽ mũi tên đi lên (từ 0 đêh +oo). Nhìn vào bảng biêh thiên, ta sơ bộ hình dung được đổ thị hàm sô'(đi lên trong khoảng nào, đi xuống trong khoảng nào). - TÍNH CHẴN LẺ CỦA HÀM số Hàm số chẵn, hàm số lẻ Xét đồ thị của hai hàm sô' y -f(x) =x2 và y = g(x) = X (h. 16). Hình 16 2 x , X ™ Đường parabol y = X có trục đối xứng là Oy. Tại hai giá trị đối nhau của biến số X, hàm số nhận cùng một giá trị /(-1) =/(l) = l,/(-2) =/(2) = 4,... Gốc toạ độ o là tâm đối xứng của đường thẳng y = X. Tại hai giá trị đối nhau của biến số X, hàm số nhận hai giá trị đối nhau g(-l) =-g(l)~g(-2) =-g(2),... Hàm số y = X2 là một ví dụ về hàm số chẵn. Hàm số y = X là một ví dụ về hàm sô'lẻ. Tổng quát Hàm sốy =f(x) với tập xác định D gọi là hàm sô' chẵn nếu .. . Vx 6 Z) thì —X e D và f{-x} =f(x). Hàm sốy =f(x) với tập xác định D gọi là hàm số lẻ nếu X/x eD thì —X 6 D vàf(-x) = -fự). ệr* II ^Xét tính chẵn lẻ của các hàm số a) y = 3x2 - 2 ; b) y = — ; c) y = yíx . X CHÚ Ý Một hàm số không nhất thiết phải là hàm số chẵn hoặc hàm số lẻ. Chẳng hạn, hàm số y = 2x + 1 không là hàm số chẵn, cũng không là hàm sô' lẻ vì giá trị của nó tại X = 1 và X = -1 tương ứng là 3 và -1. Hai giá trị này không bằng nhau và cũng không đối nhau. Đồ thị của hàm số chăn, hàm số lẻ i * x s , 2 z Nhận xét về đồ thị của hàm sô' y = X và y = X trong mục 1 cũng đúng cho trường hợp tổng quát. Ta có kết luận sau Đồ thị của một hàm sô' chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng. Đồ thị của một hàm sô'lẻ nhận gốc toạ độ làm tâm đối xứng. Bài tạp Tìm tập xác định của các hàm số a) y = 1^—I ; b) y = A ~1—- ; c) y =y/2x + 1 - 73 - X . Cho hàm sô' X + 1 với X > 2 X2 - 2 với X < 2. Tính giá trị của hàm sô' đó tại X = 3 ; X = -1 ; X = 2. Cho hàm so y = 3x - 2x + 1. Các điểm sau có thuộc đồ thị của hàm số đó không ? M(-l ; 6); Ml ; 1); P(0; 1). Xét tính chẵn lẻ của các hàm số y = M; j = (x + 2)2; y = X + X ; y - X2 + X + 1.