SGK Đại Số 10 - Bài 3. Hàm số bậc hai

I - 
Hàm số bậc hai được cho bởi công thức 2
y = ax + bx + c (ữ*0).
Tập xác định của hàm số này là D = R.
2
Hàm số y = ax (ứ 0) đã học ở lớp 9 là một trường hợp riêng của hàm số này.
I - ĐỒ THỊ CỦA HÀM số BẬC HAI
1
Nhắc lại các kết quả đã biết về đổ thị của hàm số y =
Nhận xét
Điểm ơ(0 ; 0) là đỉnh của parabol y -ax2. Đó là điểm thấp nhất của đồ thị trong trường hợp a > 0 (y > 0 với mọi x), và là điểm cao nhất của đồ thị trong trường hợp ứ < 0 (y < 0 với mọi x) (h.20).
Thực hiện phép biến đổi đã biết ở lớp 9, ta có thể viết
2 I	í b ý2	—A	x 2	.
y = ax + bx + c = a\x + -z—\ + —,vớiA=ồ - 4ưc.
I 2a) 4ư
Từ đó ta có nhận xét sau
Nếu X = -ỉ- thì y = ~. Vậy điểm I\ -Ạ-; —— I thuộc đồ thị của hàm số 2a	4ứ	< 2a 4ớ)
2
y = ax + bx + c (a *0).
Nếu a > 0 thì y > —với mọi X, do đó I là điểm thấp nhất của đồ thị.
4ứ
Nếu a < 0 thì y < —với mọi X, do đó I là điểm cao nhất của đồ thị.
4a
Như vậy, điểm /í ~1 đối với đồ thị của hàm số y = ax2 + bx + c(a*ơ) V 2a 4ứ)
đóng vai trò như đỉnh ớ(0 ; 0) của parabol y = ax .
2. Đồ thị
Dưới đây (xem bài đọc thêm) ta sẽ thấy đồ thị của hàm số y = ax2 + bx + c
chính là đường parabol y = ÍZX2 sau một số phép "dịch chuyển" trên mặt phẳng toạ độ.
Đồ thị của hàm số y = ax~ + bx + c (a 0) là một đường
parabol có đỉnh là điểm l\	, có trục đối xứng là
V 2a 4u /
đường thẳng x =	. Parabol này quay bề lõm lên trên nếu
la
a>0, xuống dưới nếu a < 0 (h.21).
Hình.21
Cách vẽ
Để vẽ đường parabol y - ax2 + bx + c (ữ 0), ta thực hiện các bước
Xác định toạ độ của đỉnh I\ --T-; —— |.
Vẽ trục đối xứngx =	-■
2a
Xác định toạ độ các giao điểm của parabol với trục tung (điểm (0 ; c)) và trục hoành (nếu có).
Xác định thêm một số điểm thuộc đồ thị, chẳng hạn điểm đối xứng với điểm (0 ; c) qua trục đối xứng của parabol, để vẽ đồ thị chính xác hơn.
Vẽparabol.
Khi vẽ parabol cần chú ý đến dấu của hệ số a (a > 0 bề lõm quay lên trên, a < 0 bề lõm quay xuống dưới).
Ví dụ. Vẽ parabola = 3%2 - 2x - 1. Ta có
Đỉnh4^)
Trục đối xứng là đường thẳng X -
Giao điểm với Oy là Â(0 ; -1) ;
II - CHIỀU BIẾN THIÊN CỦA HÀM số BẬC HAI
Dựa vào đồ thị của hàm số V = ax + bx + c (a 0), ta có bảng biến thiên
< 0 như saụ
của nó trong hai trường hợp a > 0 và
Từ đó ta có định lí dưới đây
ĐỊNH LÍ
(Nếu a > 0 thì hàm số y - ax2 + bx + c
2ứ
Đồng biến trên khoảng
4;+4
Nếu a < 0 thì hàm số y = CCC + bx + c -b
Đồng biến trên khoảng
Nghịch biến trên khoảng
—00
2a
-ồ
2ứ
BÀI ĐỌC THÊM
ĐƯỜNG PARABOL
Trong §3, ta đã khẳng định rằng đồ thị của hàm số bậc hai y = ax2 + bx + c (a 0) là một đường parabol. Dưới đây ta sẽ chứng tỏ điều đó và cho thấy đường parabol này được suy ra từ parabol y = ax2 như thê' nào.
1. Đố thị cúa ham so y = ax +y0
Xét hai hàm sốf[x) = ax2 và g(x) = ax2 + >Q.
Tại cùng một điểm Xe R ta có
Y = fựỉ) = aX2 , g(X) = aX2 +yữ = Y + yữ.
Do đó, nếu điểm M(X; Y) thuộc đồ thị của hàm sô' y = ax2 thì điểm N(X ',Y + yữ) thuộc đồ thị của hàm sô' y = ax2 + yữ.
Ta thấy nếu dịch chuyển (tịnh tiến) điểm M(x; Y) song song với trục tung một đoạn bằng jy0| đơn vị (lên trên nếu y0 > 0, xuống dưới nếu y0 < 0) thì được điểm N(X;K + y0).
Nghịch biến trên khoảng -co;
Vậy
Đồ thị của hàm sô'y = ax' + >’o nhận được từ đồ thị của hàm sô' y = ax2 nhờ phép tịnh tiến song song với trục tung lyol đơn vị, lên trên nếu y0 > 0, xuống dưới nếuyữ < 0 (h.23).
Hình 23
Đồ thị của hàm sốy = a(x + x0)2
Xét hai hàm sô'
/(x) = ax~ và g(x) = a(x + x0)2.
Với xtuỳ ý, ta có
f(X) = aX2 , g(X-x0) = a[(X-x0) + x0]2 = aX2 .
Nghĩa là, giá trị của hàm số/(x) tại Xbằng giá trị của hàm sô' g(x) tại X- XQ. Vậy nếu điểm M(X; Y) thuộc đồ thị của hàm sốy = ax2 thì điểm NỰỈ-xq ; Y) thuộc đồ thị của hàm sốy = a(x + x0)2.
Ta thấy, nếu tịnh tiến điểm Mựỉ; y) song song với trục hoành |x0| đơn vị về bên trái nếu x0 > 0, về bên phải nếu x0 < 0 thì được điểm N(X-xữ ; y).
Vậy
Đồ thị của hàm sô y = í/(x + Xg) nhập được từ đồ thị của hàm sô y = ax nhờ phép tịnh tiến song song với trục hoành |x0| đơn vị, về bên trái nếu x0 > 0, về bên phải nếu x0 < 0 (h.24).
x0 > 0	'	-Vo < 0
Hình 24
3. Đồ thị của hàm sốy = ax2 + bx + c
Thực hiện phép biến đổi đã biết ở lớp 9, ta có thể viết
tịnh tiến song song với trục tung
-A
4ứ
đơn vị, lên trên nếu — > 0, 4ữ
Như vậy, đổ thị của hàm số bậc hai ỵ = ax2 + bx + c cũng là một đường parabol.
Trong đời sống hằng ngày chúng ta thường gặp những hình ảnh của đường parabol, như khi ta ngắm các đài phun nước, hoặc chiêm ngưỡng cảnh bắn pháo hoa muôn màu, muôn sắc. Nhiều công trình kiến trúc cũng được tạo dáng theo hình parabol, như cây cầu, vòm nhà, cổng ra vào,... Điều đó không chỉ bảo đảm tính bền vững mà còn tạo nên vẻ đẹp của công trình.
Bài tạp
Xác định toạ độ của đỉnh và các giao điểm với trục tung, trục hoành (nếu có) của mỗi parabol
y = X2 - 3x + 2 ;	b)	y	-	- 2x“ + 4x -	3 ;
c) y = X2 - 2x ;	d)	y	=	- X2 + 4.
Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số
y - 3x2 - 4x + 1 ;	b)	y	=	-3x2 + 2x -	1 ;
c) y = 4x2 - 4x + 1 ;	d)	y	=	-X'2 + 4x - 4	;
e) y - 2x2 + X + 1 ;	f)	y	=	-X2 + X - 1.
Xác định parabol y = ax + bx + 2, biết rằng parabol đó
Đi qua hai điểm M(ỉ ; 5) và 2V(- 2 ; 8) ;
3
Đi qua điểm A(3 ; - 4) và có trục đối xứng là X =	;
Có đỉnh là 1(2 ; -2) ;
Đi qua điểm B(-l ; 6) và tung độ của đỉnh là “.
Xác định a, b, c biết parabol y - ax2 + bx + c đi qua điểm Â(8 ; 0) và có đỉnh là /(6 ; -12).