SGK Đại Số 10 - Bài 1. Đại cương về phương trình

unưưnc TRÌ nu.
Chương 111 TiỄ PƯ Ươn G TRÌ nu
1^
dUI/dl □ UŨHHd ill HUI/dl 3unndd
Chương này bổ sung các kiến thức về phương trình ; ôn tập và hệ thống hoá cách giải phương trình bậc nhất, bậc hai một ẩn ; phương trình và hệ phương trình bậc nhất hai ần ; đồng thời cung cấp cách giải hệ phương trình bậc nhất ba ần thông qua ví dụ.
ĐẠI CƯƠNG VÉ PHƯƠNG TRÌNH
I - KHÁI NIỆM PHƯƠNG TRÌNH
Ã;	
# ^Nêu ví dụ về phương trình một ẩn, phương trình hai ẩn.
Phương trình một ẩn
Phương trình ẩn X là mệnh đề chứa biến có dạng
/(%) = g(x)
(1)
trong đó /(x) và g(x) là những biểu thức của X. Ta gọi /(x) là vế trái, g(x) là vế phải của phương trình (1).
Nếu có số thực x0 sao cho /(xq) = g(x0) là mệnh đề đúng thì x0 được gọi là một nghiêm của phương trình (1).
Giải phương trình (1) /ừ tìm tất cả các nghiêm của nó (nghĩa là tìm tập nghiệm).
Nếu phương trình không có nghiệm nào cả thì ta nói phương trình vô nghiêm (hoặc nói tập nghiệm của nó là rỗng).
CHÚ Ý
Có trường hợp, khi giải phương trình ta không viết được chính xác nghiệm của chúng dưới dạng số thập phân mà chỉ viết gần
đúng. Chẳng hạn, X =
2x -	. Giá trị 0,866 «
là một nghiệm gần đúng của
là nghiệm của phương trình
phương trình.
Điều kiện của một phương trình
>	X 4-1	/	
Cho phương trình—4 = Va -1.
x-2
Khi x = 2 vế trái của phương trình đã cho có nghĩa không ? vế phải có nghĩa khi nào ?
Khi giải phương trình (1), ta cần lưu ý tới điều kiện đối với ẩn số X àềf(x) và g(x) có nghĩa (tức là mọi phép toán đều thực hiện được). Ta cũng nói đó là điều kiện xác định của phương trình (hay gọi tắt là điều kiện của phương trình).
Khi các phép toán ở hai vế của một phương trình đều thực hiện được với mọi giá trị của X thì ta có thể không ghi điều kiện của phương trình.
3
Hãy tìm điều kiện của các phương trình
, -	2 X
3-x2 =
yJ2-x
—ỉ— = Vx + 3. x2-l
Phương trình nhiều ẩn
Ngoài các phương trình một ẩn, ta còn gặp những phương trình có nhiều ẩn số, chẳng hạn
3x + 2y = X2 - 2xy + 8,	(2)
4x2 - xy + 2z - 3z2 + 2xz + y2.	(3)
Phương trình (2) là phương trình hai ẩn (% và y), còn (3) là phương trình ba ẩn (%, y và z).
Khi X = 2, y = 1 thì hai vế của phương trình (2) có giá trị bằng nhau, ta nói cặp số (x ; y) = (2 ; 1) là một nghiệm của phương trình (2).
Tương tự, bộ ba số (x; y ; z) - (-1 ; 1 ; 2) là một nghiệm của phương trình (3).
Phương trình chứa tham số
Trong một phương trình (một hoặc nhiều ẩn), ngoài các chữ đóng vai trộ ẩn số còn có thể có các chữ khác được xem như những hằng số và được gọi là tham số.
Giải và biện luận phương trình chứa tham số nghĩa là xét xem với giá trị nào của tham số phương trình vô nghiệm, có nghiệm và tìm các nghiệm đó. Chẳng hạn	(m + l)x - 3 = 0,
2
X - 2x + m = 0
có thể được coi là các phương trình ẩn X chứa tham số m.
II - PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG VÀ PHƯƠNG TRÌNH HỆ QUẢ
Các phương trình sau có tập nghiệm bằng nhau hay không
a) x2 + x = 0 và -iu +x = 0?	b) x2-4 = 0 và 2 + x = 0 ?
x-3
Phương trình tương đương
Hai phương trình được gọi là tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm.
Ví dụ 1. Hai phương trình 2x - 5 = 0 và 3x - -y- = 0 tương đương với nhau
vì cùng có nghiệm duy nhất làx = Ư.
Phép biến đổi tương đương
Để giải một phương trình, thông thường ta biến đổi phương trình đó thành một phương trình tương đương đơn giản hơn. Các phép biến đổi như vậy được gọi là các phép biến đổi tương đương.
Định lí sau đây nêu lên một số phép biến đổi tương đương thường sử dụng. ĐỊNH LÍ
Nếu thực hiện các phép biến đổi sau đây trên một phương^ trình mà không làm thay đổi điều kiện của nó thì ta được một phương trình mới tương đương
Cộng hay trừ hai vế với cùng một số hoặc cùng một biểu thức ;
Nhân hoặc chia hai vế với cùng một số khác 0 hoặc với
. cùng một biểu thức luôn có giá trị khác 0.	.
CHU Y
Chuyển vế và đổi dấu một biểu thức thực chất là thực hiện phép cộng hay trừ hai vế với biểu thức đó.
Kí hiệu. Ta dùng kí hiệu "" để chỉ sự tương đương của các phương trình.
5
'Tìm sai lầm trong phép biến đổi sau
+ 1 X+——-
X -1 X -1 X -1	X -1
+ 1	— ox = 1.
Phương trình hệ quả
Nếu mọi nghiệm của phương trình f(x) = g(x) đều là nghiệm của phương trình fị(x) = gj(A) thì phương trình fỵ(x) = £i(a) được gọi là phương trình hệ quả của phương trình f(x) =g(x).
Ta viết
/(A-) = £(a) => /ì (x) = gỊ (a).
Phương trình hệ quả có thể có thêm nghiệm không phải là nghiệm của phương trình ban đầu. Ta gọi đó là nghiệm ngoại lai.
Khi giải phương trình, không phải lúc nào cũng áp dụng được phép biến đổi tương đương. Trong nhiều trường hợp ta phải thực hiện các phép biến đổi đưa tới phương trình hệ quả, chẳng hạn bình phương hai vế, nhân hai vế của phương trình với một đa thức. Lúc đó để loại nghiệm ngoại lai, ta phải thử lại các nghiệm tìm được.
Đối với phương trình nhiều ẩn, ta cũng có các khái niệm tương tự.
X + 3	3	2 - X
Ví dụ 2. Giải phương trình
(4)
	1“ — — 	
a(a - 1) X X - ỉ
Giải. Điều kiện của phương trình (4) là A 0 và X 1.
Nhân hai vế của phương trình (4) với a(a - 1) ta đưa tới phương trình hệ quả
(4) => A 4 3 + 3(a - 1) = a(2 - a). => A2 + 2a = 0
=> a(a + 2) = 0.
Phương trình cuối có hai nghiệm là X - 0 và X = -2.
Ta thấy X = 0 không thoả mãn điều kiện của phương trình (4), đó là nghiệm ngoại lai nên bị loại, còn X - -2 thoả mãn điều kiện và là một nghiệm của phương trình (4).
Vậy phương trình (4) có nghiệm duy nhất là X = -2.
1.
2.
3.
Bài tập
Cho hai phương trình
3x = 2 và 2x = 3.
Cộng các vế tương ứng của hai phương trình đã cho. Hỏi
Phương trình nhận được có tương đương với một trong hai phương trình đã cho hay không ?
Phương trình đó có phải là phương trình hệ quả của một trong hai phương trình đã cho hay không ?
Cho hai phương trình
4x - 5 và 3x = 4.
Nhân các vế tương ứng của hai phương trình đã cho. Hỏi
Phương trình nhận được có tương đương với một trong hai phương trình đã cho hay không ?
Phương trình đó có phải là phương trình hệ quả của một trong hai phương trình đã cho hay không ?
a) ự3 - X + X = \/3 - X + 1 X2	9
c) I	—	I	—	5
Vx-1 Vx-1
b) X + yj X — 2 - V2 - X + 2 ; d) X2 - ựl - X = yj X — 2 + 3.
Giải các phương trình
Giải các phương trình
a) X + 1 +
c)
X2 - 4x - 2
X + 5 x + 3 ’
,. _	.	3 3x
b) 2x H——— =	—- ;
X - 1 X - 1
d) - * 7-3 = 7^.
y/2x - 3