SGK Đại Số 10 - Bài 3. Dấu của nhị thức bậc nhất
DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT • • I - ĐỊNH LÍ VỀ DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHAT Nhị thức bậc nhất Nhị thức bậc nhất đối với X là biểu thức dạng f(x) - ax + b trong đó a, b là hai số đã cho, ứ/0. ^a) Giải bất phương trình -2x + 3 > 0 và biểu diễn trên trục sô' tập nghiệm của nó. b) Từ đó hãy chỉ ra các khoảng mà nếu X lấy giá trị trong đó thì nhị thức/(x) = -2x + 3 có giá trị Trái dấu với hệ sô' của X ; Cùng dấu với hệ sô' của X. Dâ'u của nhị thức bậc nhất ĐỊNH LÍ Nhị thức f(x) =ax +b có giá trị cùng dấu với hệ số a khi X lấy các giá trị trong khoảng^-—; +00^, trái dấu với hệ số a khi X lấy các giá trị trong khoảng \ -00; - — ). Các kết quả trên được thể hiện qua bảng sau ' < X — 00 b a + 00 f(x) = ax + b trái dấu với a 0 cùng dấu với a Ta gọi bảng này là bảng xét dấu nhị thức /(+) = ax + b. b b Khi X = nhị thức/(x) = ax + b có giá trị bằng 0, ta nói số xn = là a a nghiệm của nhị thức/(+•)■ Nghiệm Xq = - — của nhị thức chia trục số thành hai khoảng (h.28). b_ a f(x) cùng dấu với a f(x) trái dấu với a x Hình 28 dấu các nhị thức /(x) = 3x + 2, g(x) = -2x + 5. Ví dụ 1. Xét dấu nhị thức/(A") = mx - Ị với m là một tham số đã cho. Giải. Nếu m = 0 thì/ự) = -1 <0, với mọi X. Nếu m * 0 thì /(x) là một nhị thức bậc nhất có nghiệm A+ = —. m Ta có bảng xét dấu nhị thức /(x) trổng hai trường hợp m > 0, m < 0 như sau m > 0 X — 00 1 m + 00 f(x) — 0 + m < 0 X — 00 1 m + 00 fix) + 0 - - XÉT DẤU TÍCH, THƯƠNG CÁC NHỊ THỨC BẬC NHẤT Giả sử fix) là một tích của những nhị thức bậc nhất. Áp dụng định lí về dấu của nhị thức bậc nhất có thể xét dấu từng nhân tử. Lập bảng xét dấu chung cho tất cả các nhị thức bậc nhất có mặt trong fix) ta suy ra được dấu của fix). Trường hợp fix) là một thương cũng được xét tương tự. Ví dụ 2. Xét dấu biểu thức _ (4à'- l)(x + 2) -3x + 5 Giải nghiệm viết theo thứ tự tăng là -2 ; . Các nghiệm này chia khoảng fix) không xác định khi X = . Các nhị thức 4% - 1, X + 2, -3x + 5 có các 4 3 (-oo; + oo) thành bốn khoảng, trong mỗi khoảng các nhị thức đang xét có dấu hoàn toàn xác đinh. X — 00 -2 1 4 5 3 + 00 4x- 1 - - 0 + + X + 2 - 0 + + + -3x + 5 + + + 0 - fix) + 0 0 + - Từ bảng xét dấu ta thấy /(x) > 0 khi X 6 (-00 ; -2) hoặc X e /(x) < 0 khi X e f-2 ; I hoặc X e ; + 00^ ; /(x) = 0 khi X--2 hoặc x - 4 ■ f(x) không xác định khi X = I (trong bảng kí hiệu bởi II). 3 Xét dấu biểu thức/(x) = (2x - l)(-x + 3). - ÁP DỤNG VÀO GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH Giải bất phương trình/(x) > 0 thực chất là xét xem biểu thức /(%) nhận giá trị dương với những giá trị nào của X (do đó cũng biết/(x) nhận giá trị âm với những giá trị nào của x), làm như vậy ta nói đã xét dấu biểu thức/(x). Bất phương trình tích, bất phương trình chứa ẩn ở mẫu thức Ví dụ 3. Giải bất phương trình Giải. Ta biến đổi tương đương bất phương trình đã cho ——- > 1 & -1 > 0 —> 0. 1 - X 1 - X 1 - X Xét dấu biểu thức /(x) = ——— ta suy ra nghiệm của bất phương trình đã l- X cho là 0 < X < 1. 4 Giải bất phương trình X3 - 4x < 0. Bất phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối Một trong những cách giải bất phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối là sử dụng định nghĩa để khử dấu giá trị tuyệt đối. Ta thường phải xét bất phương trình trong nhiều khoảng (nửa khoảng, đoạn) khác nhau, trên đó các biểu thức nằm trong dấu giá trị tuyệt đối đều có dấu xác định. Ví dụ 4. Giải bất phương trình -2x + l| + X - 3 < 5. Giải. Theo định nghĩa giá trị tuyệt đối ta có - ,1 f-2x + 1 nếu -2x + 1 > 0 \-2x + 1| = <! hay ■ (-2x + 1) + X - 3 < 5 Hệ. này có nghiệm là -7 < % < 4-- 1 „-(-2x + 1) nếu -2x + 1 < 0. Do đó ta xét bất phương trình trong hai khoảng 1 hay < (2x -l) + x- 3<5 X < 3. Hệ này có nghiệm là < X < 3. Tổng hợp lại tập nghiệm của bất phương trình đã cho là hợp của hai khoảng và Kết luận. Bất phương trình đã cho có nghiệm là -7 < X < 3. Xét dấu các biểu thức a)/(x) = (2x - l)(x + 3) ; c)»= 7777“?“ ; Giải các bất phương trình a)—< hơn vế phải của nó, ta nói bộ ba số (x ; y ; z) = (-2 ; 1 ; 0) là một nghiệm của bất phương trình này. 1 < 2 ’ X + 1 (x - l)2x + y3 - z < 3 ; 3x + 2y < 1. Khi X = -2, y = 1, z = 0 thì vế trái bất phương trình thứ nhất có giá trị nhỏ xTa cũng gặp những bất phương trình nhiều ẩn'số, chẳng hạn -l 1 2 3 c) —I < — Ị X X + 4 X + 3 Giải các bất phương trình a) |5x - 4| > 6 ; d) b) 3x + 1 -5 < 1. 10 Bằng cách áp dụng tính chất của giá trị tuyệt đối (§1) ta có thể dễ dàng giải các bất phương trình dạng |/(x)| a với a > 0 đã cho. Ta có (a > 0) \f(x)\ < a o -a <f(x) < a |/(x)| > a f(x) a. Bài tạp b) fix) = (-3x - 3)(x + 2)(x + 3) ; d)/(x) = 4x - BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHAT hai Ẩn 2 - 1. b)