SGK Đại Số 10 - Bài 4. Phương sai và độ lệch chuẩn

PHƯƠNG SAI VÀ ĐỘ LỆCH CHUẨN
I - PHƯƠNG SAI
Ví dụ 1. Cho biết giá trị thành phẩm quy ra tiền (nghìn đồng) trọng một tuần lao động của 7 công nhàn ở tổ 1 là
180, 190, 190, 200, 210, 210, 220,	(1)
còn của 7 công nhân ở tổ 2 là
150, 170, 170, 200, 230, 230, 250.	(2)
Ta thấy số trung bình cộng X của dãy (1) và số trung bình cộng y của dãy (2) bằng nhau
X = ỹ=200.
Tuy nhiên, khi so sánh dãy (1) và dãy (2) ta thấy các số liệu ở dãy (1) gần với số trung bình cộng hơn, nên chúng đồng đều hơn. Khi đó ta nói các số liệu thống kê ở dãy (1) ít phân tán hơn dãy (2).
Để tìm số đo độ phân tán (so với số trung bình cộng) của dãy (1) ta tính Các độ lệch của mỗi số liệu thống kê đối với số trung bình cộng
(180 - 200) ; (190 - 200) ; (190 - 200) ; (200 - 200) ; (210 - 200) ; (210 - 200); (220 - 200).
Bình phương các độ lệch và tính trung bình cộng của chúng, ta được
2 . (180 - 200)2 + 2(190 - 200)2 + (200 - 200)2 + 2(210 - 200)2 + (220 - 200)2 51	7
« 171,4.
Số S2 được gọi là phương sai của dãy (1).
Tương tự phương sai của dãy (2) là
2	(150 - 200)2 + 2(170 - 200)2 + (200 - 200)2 + 2(230 - 200)2 + (250 - 200)2
4-	7
« 1228,6. . .
Ta thấy phương sai của dãy (1) nhỏ hơn phương sai của dãy (2). Điều đó biểu thị độ phân tán của các số liệu thống kê ở dãy (1) ít hơn ở dãy (2).
Ví dụ 2. Tính phương sai 52 của các số liệu thống kê cho ở bảng 4, §1 (cũng gọi là phương sai của bảng 4).
Số trung bình cộng của bảng 4 là X = 162 cm.
Mỗi số liệu thống kê thuộc một lớp được thay thế bởi giá trị đại diện của lớp đó.
Phương sai 5 của bảng 4 (bảng phân bố tần sô và tần suất ghép lớp) được tính như sau
2 _ 6(153 - 162)2 + 12(159 - 162)2 + 13(165 - 162)2 + 5(171 - 162)2
Hệ thức (3) biểu thị cách tính gần đúng phương sai của bảng 4 theo tần số.
Từ (3) ta có
s2 = Ặ(153 - 162)2 + 11(159 - 162)2 + ịị(165 - 162)2 + Ậ(171 - 162)2 36	36	36	36
hay
? ~ ^(153 -162)2 + IU (159 -162)2 +1^(165 -162)2 +111(171 -162)2 100 100 100 100
«31.	(4)
Hệ thức (4) biểu thị cách tính gần đúng phương sai của bảng 4 theo tần suất.
CHÚ Ý
Khi hai dãy số liệu thống kê có cùng đơn vị đo và có số trung bình cộng bằng nhau hoặc xấp xỉ nhau, nếu phương sai càng nhỏ thì mức độ phân tán (so với số trung bình cộng) của các số liệu thống kê càng bé.
Có thể tính phương sai theo các công thức sau đây Trường hợp bảng phân bô' tần số, tần suất
s2 = —	- Ã7)2 + n2(x2 - T)2 + ... + nk(xk - T)2J
= /ịơị - XỶ + /2(x2 - %)2 + ■■■ + fk{xk - %)2.
trong đó Uị, fj lần lượt là tần số, tần suất của giá trị Xị ; n là số các số liệu thống kê (« = «! + n2 + ••• + ỉ X là số trung bình cộng của các số liệu đã cho.
Trường hợp bảng phân bô' tần số, tần suất ghép lớp
s2 = —[«i(<q - x)2 + «2(c2 - *)2 + ••• + nk(ck - *)2]
= /ị(Cị - *)2 + f2(c2 -xj2 +... + fk(ck~ T)2.
trong đó Cj, /7j, fị lần lượt là giá trị đại diện, tần số, tẩn suất của lớp thứ ỉ ; n là số các số liệu thống kê (n - nỵ + n2 + ... + nk) ; X là số trung bình cộng của các số liệu thống kê đã cho.
Ngoài ra, người ta còn chứng minh được công thức sau
trong đó A 2 là trung bình cộng của các bình phương số liệu thống kê, tức là
■U - — (n^A2 + «2*2 + ••• + nkxlí^ — flxỉ + ^2X2 + ■■■ + fkxlí
(đối với bảng phân bố tần số, tần suất),
= |(«lcl2 + «2C2 + - + v?) = Ăcl2 + Ac2 + - + fkcĩ
(đối với bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp).
ãy tính phương sai của bảng 6 (ở §2).
II - ĐỘ LỆCH CHUẨN
Trong ví dụ 2 ở trên, ta đã tính được phương sai của bảng 4 (ở §1) bằng
52 «31. Nếu để ý đến đơn vị đo thì ta thấy đơn vị đo của 5 2 là cm2 (bình phương đơn vị đo của dấu hiệu được nghiên cứu). Muốn tránh điều này, có thể dùng căn bậc hai của phương sai gọi là độ lệch chuẩn (của bảng 4) và kí hiệu là 5. Vậy
5 = V? « VŨ «5,6 (cm).
Phương sai s~ và độ lệch chuẩn s đều được dùng để đánh giá mức độ phân tán của các số liệu thống kê {so với số trung bình Công'). Nhưng khi cần chú ý đến đơn vị đo thì ta dùng s, vì s có cùng đơn vị đo với dấu hiệu được nghiên cứu.
Hãy tính độ lệch chuẩn của bảng 6 (ở §2).
BÀI ĐOC THÊM
sử DỤNG MÁY TÍNH Bỏ TÚI CASIO A - 500MS ĐỂ TÌM SỐ TRUNG BÌNH CỘNG VÀ ĐỘ LỆCH CHUẨN
V/ dụ. Cho bảng phân bô' tần số Khối lượng của 30 con thằn lằn
Khối lượng (gam)
140
150
160
170
180
190
Cộng
Tần sô'
2
3
5
9
8
3
30
Sử dụng máy tính bỏ túi CASIOÍX-5ỠỠMS, ta tìm số trung bình cộng X và độ lệch chuẩn í của bảng phân bô' đã cho như sau.
Chọn MODE cho phép tính thống kê : ấn I MODE IỊTỊ
Xoá những bài thống kê cũ
ấn lần lượt I SHIFT I I CLR I rn r=n •
Nhập dữ liệu
ấn liên tiếp 140 I SHIFT I m 2 I DT I 150 I SHIFT l m 3 I DT|
Tương tự đối với các cột 160, 170, 180, 190.
Gọi kết quả
a) Để tìm X , ấn SHIFT
IS-VAR I
I Ịj|= I
Kết quả là X = 169 (gam).
b) Để tìm s, ấn (SHIFT I
S-VAR l
L2JM
Kết quả cho giá trị .tens 13,5; đây chính là giá trị s cần tìm.
Chú ý
a) Không cần nhập đúng thứ tự của sô' liệu.
Để gọi dữ liệu (đã nhập), ấn I I hoặc I ▼ |.
Có thể hiệu chỉnh sô' liệu hoặc tần sô' như sau
Gọi sô' liệu (hay tần số) đó, rồi nhập giá trị mới và ấnp~|, giá trị mới sẽ thay thê' giá trị cũ.
Có thể xoá một dữ liệu bằng cách gọi nó lên, rồi ấn I SHIFT I 1 CL 1 (các dữ liệu còn lại sẽ tự động dồn sô' thứ tự lại).
b) Đối với bảng phân bô' tần sô' ghép lớp, ta sử dụng các giá trị đại diện của các lớp và làm tương tự.
Bài tạp
Tính phương sai và độ lệch chuẩn của bảng phân bố tần số đã được lập ở bài tập 1 và của bảng phân bố tần số ghép lớp cho ở bài tập 2 của § 1.
Hai lớp IOC, 1OD của một trường Trung học phổ thông đồng thời làm bài thi môn Ngữ văn theo cùng một đề thi. Kết quả thi được trình bày ở hai bảng phân bố tần số sau đây
Điểm thi Ngữ văn của lớp 10C
Điểm thi
5
6
7
8
9
lơ
Cộng
Tần số
3
7
12
14
3
1
40
Điểm thi Ngữ văn của lớp 10D
Điểm thi
6
7
8
9
Cộng
Tần số
8
18
10
4
40
Tính các số trung bình cộng, phương sai, độ lệch chuẩn của các bảng phân bố tần số đã cho.
Xét xem kết quả làm bài thi của môn Ngữ văn ở lớp nào là đồng đều hơn ? 3. Cho hai bảng phân bố tần số ghép lớp
Khối lượng của. nhóm cá mè thứ 1
Lớp khối lượng (kg)
[0,6; 0,8)
[0,8; 1,0)
[1,0; 1,2)
[1,2; 1,4]
Cộng
Tần số
4
6
6
4
20
Khối lượng của nhóm cá mè thứ 2
Lớp khối lượng (kg)
[0,5; 0,7)
[0,7; 0,9)
[0,9; 1,1)
[1,1; 1,3)
[1,3; 1,5]
Cộng
Tần số
3
4
6
4
3
20
Tính các số trung bình cộng của các bảng phân bố tần số ghép lớp đã cho.
Tính phương sai của các bảng phân bố tần số ghép lớp đã cho.
Xét xem nhóm cá nào có khối lượng đồng đều hơn ?