SGK Đại Số 10 - Bài 3. Số trung bình cộng, số trung vị, mốt

SỐ TRUNG BÌNH CỘNG. SỐ TRUNG VI. MỐT
Để thu được các thông tin quan trọng từ các số liệu thống kê, người ta sử dụng những số đặc trưng như số trung bình cộng, số trung vị, mốt, phương sai, độ lệch chuẩn. Các số đặc trưng này phản ánh những khía cạnh khác nhau của dấu hiệu điều tra.
I - SỐ TRUNG BÌNH CỘNG (HAY số TRUNG BÌNH)
Vídụl
Áp dụng công thức tính số trung bình cộng đã học ở lớp 7, ta tính được chiều cao trung bình X của 36 học sinh trong kết quả điều tra đửợc trình bày ở bảng 3 của §1 là X « 161cm.
Sử dụng bảng phân bố tần số và tần suất ghép lớp, ta tính gần đúng chiều cao trung bình X của 36 học sinh trong kết quả điều tra được trình bày ở bảng 4 của § 1 theo hai cách sau
Cách 1. Sử dụng bảng phân bô' tần sô' ghép lớp
Nhăn giá trị đại diện của mỗi lớp với tần số của lớp đó, cộng các kết quả lại rồi chia cho 36, ta được
» 162 (cm).
6 X 153 + 12 X 159 + 13 X 165 + 5 X 171
36
Kết quả này có nghĩa là chiều cao trung bình của 36 học sinh kể trên là X « 162 cm.
Ta cũng nói 162 cm là số trung bình cộng của bảng 4.
Cách 2. Sử dụng bảng phân bô' tần suất ghép lớp
Nhân giá trị đại diện của mỗi lớp với tần suất của lớp đó rồi cộng các kết quả lại ta cũng được
16,7
X 153+
33,3
X 159+
36,1
X 165 +
13,9
X 171 « 162 (cm).
Vậy ta có thể tính số trung bình cộng của các sô' liệu thống kê theo các công thức sau đây.
Trường hợp bảng phân bô' tần số, tần suất
X = -(/7.A-, + n2x2 + ... + n.xkỴ = fỵXỵ + /2%2 + - + fkxk n 
trong đó Uị, fị lần lượt là tần số, tần suất của giá trị Xj, n là sô' các sô'liệu thống kê (ỉĩỵ + n2 + ... + nk = n).
Trường hợp bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp
* = jtVl + n2c2 + - + nkc0 = fỉcỉ + Ác2 + - + fkck
Bảng 8
trong đó Cị, ìĩỊ,fị lần lượt là giá trị đại diện, tần số, tần suất của" lớp thứ i, n là sô'các sô'liệu thống kê («1 + «2 + ...+ nk - n).
bảng phân bô' tần số và tần suất ghép lớp sau
Nhiệt độ trung bình của tháng 2 tại thành phô' Vinh
từ 1961 đến hết 1990 (30 năm).
Lớp nhiệt độ (°C)
Tần sô'
Tần suất (%)
[12; 14)
1
3,33
[14; 16)
3
10,00
[16; 18)
12
40,00
[18; 20)
9
30,00
[20 ; 22]
5
16,67
Cộng
30
100%
Hãy tính sô' trung bình cộng của bảng 6 và bảng 8.
Từ kết quả đã tính được ở câu a), có nhận xét gì vể nhiệt độ ỏ thành phô' Vinh trong tháng 2 và tháng 12 (của 30 năm được khảo sát).
II - SỐ TRUNG VỊ
Ví dụ 2. Điểm thi Toán cuối năm của một nhóm 9 học sinh lớp 6 là 1 ; 1 ; 3 ; 6 ; 7 ; 8 ; 8 ; 9 ; 10. •
Điểm trung bình của cả nhóm là X « 5,9.
Ta thấy hầu hết học sinh (6 em) trong nhóm có số điểm vượt điểm trung bình và có những điểm vượt rất xa. Như vậy, điểm trung bình X không đại diện được cho trình độ học lực của các em trong nhóm.
Khi các số liệu thống kê có sự chênh lệch lớn thì số trung bình cộng không đại diện được cho các số liệu đó. Khi đó ta chọn số đặc trưng khác đại diện thích hợp hơn, đó là sô' trung vị.
Sắp thứ tự các số liệu thống kê thành dãy không giảm (hoặc không tăng). Số trung vị (của các sô' liệu thống kê đã cho) kí hiệu Me là sô'đứng giữa dãy nếu sô'phần tử là lẻ và là trung bình cộng của hai sô'đứng giữa dãy nếu sô'phần tử là chẵn.
Trong ví dụ 2 ta có Me = 7.
Ví dụ 3. Điểm 'thi Toán của bốn học sinh lớp 6 được xếp thành dãy không
giảm là 1 ;
2,5; 8
9,5.
Trong dãy này có hai số đứng giữa là 2,5 và 8.
Khi đó, ta chọn số trung vị là trung bình cộng của hai số này
2
Trong bảng phân bố tần số, các số liệu thống kê đã được sắp thứ tự thành dãy không giảm theo các giá trị của chúng.
Hãy tìm số trung vị của các số liệu thống kê cho ở bảng 9.
Số áo bản được trong một quỷ ở một cửa hàng bán áo sơ mi nam
Cỡ áo
36
37
38
39
40
41
42
Cộng
Tần số
(số áo bán được)
13
45
126
110
126
40
5
465
Bảng 9
- MỐT
ở lớp 7 ta đã biết
Mốt của một bảng phân bô' tần số là giá trị có tần sô' lớn nhất và được kí hiệu là Mq.
Nếu trong bảng phân bố tần số có hai giá trị có tần số bằng nhau và lớn hơn tần số của các giá trị khác thì chọn mốt là giá trị nào ? Ta xét bảng 9 ở trên.
Trong bảng 9, có hai giá trị là 38 và 40 cùng có tần số lớn nhất là 126, trong trường hợp này ta coi rằng có hai mốt là
Mg) = 38, M(g) = 40.
Kết quả vừa thu được cho thấy rằng trong kinh doanh, cửa hàng nên ưu tiên nhập hai cỡ áo số 38 và số 40 nhiều hơn.
Bài tập
Tính số trung bình cộng của các bảng phân bố đã được lập ở bài tập số 1 và bài tập số 2 của § 1.
Trong một trường THPT, để tìm hiểu tình hình học môn Toán của hai lớp 10A và 10B, người ta cho hai lớp thi Toán theo cùng một đề thi và lập được hai bảng phân bố tần số ghép lớp sau đây
Điểm thi Toán của lớp ỉ OA
Lớp điểm thi
Tần số
[0; 2)
2
[2'; 4)
4
[4; 6)
12
[6; 8)
28
[8 ; 10]
4
Cộng
50
Điểm thi Toán của lớp 10B
Lớp điểm thi
Tần số
[0; 2)
4
[2; 4)
10
[4; 6)
18
[6; 8)
14
[8 ; 10]
5
Cộng
51
Tính các số trung bình cộng của hai bảng phân bố ở trên và nêu nhận xét về kết quả làm bài thi của hai lớp.
Điều tra tiền lương hàng tháng của 30 công nhân của một xưởng may, ta có bảng phân bố tần số sau
Tiền lương của 30 công nhân xưởng may
Tiền lương (nghìn đồng)
300
500
700
800
900
1000
Cộng
Tần số
3
5
6
5
6
5
30
Tìm mốt của bảng phân bố trên. Nêu ý nghĩa của kết quả đã tìm được.
Tiền lương hàng tháng của 7 nhân viên trong một công ti du lịch là : 650, 840, 690, 720, 2500, 670, 3000 (đơn vị: nghìn đồng).
Tìm số trung vị của các số liệu thống kê đã cho. Nêu ý nghĩa của kết quả đã tìm được.
5. Cho biết tình hình thu hoạch lúa vụ mùa năm 1980 của ba hợp tác xã ở địa phương V như sau
Hợp tác xã
Năng suất lúa (tạ/ha)
Diện tích trồng lúa (ha)
A
40
150
B
38
130
c
36
120
Hãy tính năng suất lúa trung bình của vụ mùa năm 1980 trong toàn bộ ba hợp tác xã kể trên.