Giải bài tập Toán 12 Bài 1. Hệ tọa độ trong không gian

Chương III. PHƯƠNG PHÁP TẠO ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Bài 1. HỆ TỌA Độ TRONG KHÔNG GIAN
A. KIẾN THỨC CẦN NAM vững
Hệ trục tọa độ trong không gian
Hệ gồm ba trục Ox, Oy, Oz có các vectơ đơn vị lần lượt là i, i, k đôi một vuông góc nhau được gọi là hệ trục tọa độ vuông góc trong không gian, gọi tắt là hệ tọa độ Oxyz. Trong đó o gọi là gốc tọa độ, Ox là trục hoành, Oy là trục tung và Oz là trục cao.
Tọa độ của điểm
Với mỗi điểm M trong không gian tọa độ Oxyz, ta có:
OM = xi + yj + zk
Trong đó (x; y; z) gọi là tọa độ của điểm M, kí hiệu M = (x; y; z) hoặc M(x; y; z).
Tọa độ của vectơ
Trong không gian tọa độ Oxyz cho vectơ a = xi + yj + zk, (x; y; z) gọi là tọa độ của vectơ a, kí hiệu a = (x; y; z).
Tính chất:
Cho các vectơ u = (a;b;c), v = (a';b';c') và m 6 R, ta có:
u = V a = a', b = b', c = c'
u + v = (a + a'; b + b'; c + c')
u-v = (a-a'; b-b'; c-c')
mu = (ma; mb; mc)
U.V = a.a' + b.b' + c.c'
|ũ| = a/lF = Va2 +b2 + c2
.	a.a'+b.b'+c.c'	- -- -
cos u, V =	— .	với u 0, V * 0
- '	7 Va2+b2+c2.Va'2 + b'2+c’2
u 1V U.V = 0 a.a' + b.b' + c.c' = 0
Một số công thức
Trong không gian tọa độ Oxyz, cho A(xa; yA; ZA), B(xb; yB; ZB),
C(xc; yc; zc), ta có:
AB = (xB-xA;yB-yA;zB-zA)
b) AB = IAb| = 7(xb-xa)2 +(yB-yA)2 +(zB-zA)2
c) Tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB: ■
Y Xạ+XB
M" 2 y -2a+Yb
Ym 2
ZA + ZB
2
d) Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC: ■
X, + XR +xc = _Ạ	2B	C
G 3
v Ya+Yb+Yc
JG -
3
ZA +ZB +zc °	3
5. Phương trình mặt cầu
Phương trình mặt cầu tâm I (xo; yo; Zo), bán kính R là: (x - Xo)2 + (y - yo)2 + (z - z0)2 = R2
B. GIẢI BÀI TẬP
Bài 1. Cho ba vectơ ă = (2; -5; 3), b = (0; 2; -1), c = (1; 7; 2) a) Tính toạ độ của vectơ d = 4a-^b + 3c
b) Tính tọa độ vectơ e = a - 4b - 2c
Giải
a) Ta có: 4a = (8;-20; 12)
-• -ì
3’3)
-ịb = | 0; -
3 l 3c = (3;21;6)
-	- 1- - f
Vậy d = 4a--ệb + 3c = 11;-
3 V
b) Ta có: -4b = (0;-8;4)
-2c = (-2;-14; 4)
J,.55'
3’ 3 ,
e = a - 4b - 2c Vậy
= (0’-2T,3)
Bài 2. Cho ba điểm A(l; -1; 1), B(0; 1; 2), C(l; 0; 1). Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.
Giải
Áp dụng công thức tính tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC: „ XA+XB+XC zyA+yB+yc „ = za+zb+zc
3	'y““	3	'°	3
ta tính được: G _; 0; -7- u 3J
Bài 3. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ biết A(l; 0; 1), B(2; 1; 2),
D(l; -1; 1), C’(4; 5; -5). Tính tọa độ các đĩnh còn lại của hình hộp.
Giải
D
A’ B’
Ta có: ÃB = (1;1;1), ÃD = (0;-l;0)
Vì ABCD là hình bình hành nên:
ÃC = ÃB + ÃD = (1; 0; 1)
c(2; 0; 2)
XC-XA=1
Ta có: 5 yc “ yA - 0 • Vậy
zc ZA 1
Đồng thời AA'= BB'= CC'= DD'= (2; 5; -7)
Mà AA' = (2;5;-7) và A(l;0;l)
XA.-XA =2
Nên A’(3;5;-6)
ZA'-ZA = -7
Tương tự như trên ta tính được:
BẼT’ = (2; 5;-7) => B'(4;6;-5)
DD’ = (2; 5;-7) nên D'(3; 4;-6)
Bài 4. Tính:
ã.b với ã = (3;0;-6),b = (2;-4;0)
c.d với c = (l;-5;2),d = (4;3;-5)
Giải
Ta có: a.b = 3.2 + 0(-4) + (-6).0 = 6
Ta có: c.d = 1.4 + (-5).3 + 2.(-5) = -2
Bài 5. Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu sau đây:
X2 + y2 + z2 - 8x - 2y + 1 = 0
3x2 + 3y2 + 3z2 - 6x + 8y + 15z -3 = 0
Giải
Ta có: X2 + y2 + z2 - 8x - 2y + 1 = 0
 (x - 4)2 + (y - l)2 + (z - 0)2 - 16 - 1 + 1 = 0
 (x - 4)2 + (y - l)2 + (z - 0)2 = 16
Vậy mặt cầu có tâm 1(4; 1; 0) và bán kính r = 4.
Ta có:
3x2 + 3y2 + 3z2 - 6x + 8y +15z -3 = 0
 X2 +y2 + z2-2x + -^y + 5z-l = 0 3
(
. X 2 / _ X 2
„ , 4Y , f 5^1 . 16 25
y+4 + Z+- -1-_-1 = 0
3J V 2j 94
|2 361192
" 36 - 62
19
và bán kính R=-ý-
6
(	4	5
Vậy mặt cầu có tâm I 1;---;-—
13 2
Bài 6. Lập phương trình mặt cầu trong hai trường hợp sau đây:
Có đường kính AB với A(4; -3; 7), B(2; 1; 3)
Đi qua điểm A(5; -2; 1) và có tâm C(3, -3, 1)
Giải
Gọi I là tâm của mặt cầu.
Ta có I là trung điểm của đoạn AB. Vậy 1(3; -1; 5).
Mặc khác R =	= 4V4 + I6 + I6 = 3
2	/
Vậy phương trình mặt cầu là:
(x - 3)2 + (y + l)2 + (z - 5)2 = 9
Bán kính mặt cầu là:
R = |cÃ| = ự22 +12 = V5
Vậy phương trình mặt cầu là:
(x - 3)2 + (y + 3)2 + (z - l)2 = 5