Giải bài tập Toán 12 ÔN TẬP CHƯƠNG II

ÔN TẬP CHƯƠNG II
Sài 1. Cho ba điểm A, B, c cùng thuộc một mặt cầu sao cho ACB = 90". Trong các khẳng định sau, khẳng định nà.o là đúng?
Đường tròn qua ba điểm A, B, c nằm trên mặt cầu.
AB là một đường kính của mặt cầu đã cho.
AB không phải là đường kính của mặt cầu.
AB là đường kính của đường tròn giao tuyến tạo bởi mặt cầu và mặt phẳng (ABC).
Giải
a) Đúng.	b) Sai.
Sai.	d) Đúng.
Bài 2. Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC) và cạnh BD vuông góc với cạnh BC. Biết AB = AD = a. Tính diện tích xung quanh của hình nón và thể tích của khối nón được tạo thành khi quay đường gấp khúc BDA quanh cạnh AB.
Giải
Ta có AD 1 (ABC) suy ra AABD vuông ở A. khi đó ABD < 90°
Khi quay xung quanh cạnh AB, AABD tạo ra hình nón tròn xoay có đỉnh B, trục là đường thẳng AB, đáy là hình tròn tâm A, bán kính AD.
Vậy hình nón có: chiều cao h = BA = a, bán kính r = AD = a đường sinh 1 = BD = aự2.
Thể tích của khối nón là:
V = ^-7ĩr2h = 7-Tia2
3	3
Diện tích xung quanh của hình nón là: Sxq = 7ĩrí = ĩi.a.a= 7ia2 5/2
Bài 3. Một hình chóp có tất cả các cạnh bên bằng nhau. Chứng minh rằng hình chóp đó nội tiếp được trong một mặt cầu (các đỉnh của hình chóp nằm trên mặt cầu).
Giải
Cho hình chóp S.AiA2A3...An có các cạnh bên bằng nhau.
Giả sử I là hình chiếu vuông góc của s trên mặt đáy.
Ta có: SA1 = SA2 = SA3 = SAn
Suy ra ASIAi = ASIA2 = ASIA3 = ASIAn
Suy ra IAi = IA2 = IA3 = IAn
Đa giác AiA2A3...An là một đa giác nội tiếp được trong một đường tròn tâm I bán kính IA, trục SI.
Trong mp(SAI), đường trung trực của SA; cắt SI tại o, ta có:
OS = OAi	(1)
OA1 = OA2 = OA3 = OAn	(2)
Từ (1) và (2) suy ra OS = OA1 = OA2 = OA3 = OAn
Vậy hình chóp S.AiA2A3...An nội tiếp được trong một mặt cầu.
Bài 4, Hình chóp S.ABC có một mặt cầu tiếp xúc với các cạnh bên SA, SB, sc. Mặt cầu này còh tiếp xúc với ba cạnh AB, BC, CA tại trung điểm của mỗi cạnh. Chứng minh rằng hình chóp đó là hình chóp tam giác đều.
Giải
Gọi M, N, p lần lượt là trung điểm của AB, BC, CA; I, J, K là tiếp điểm của các cạnh bên SA, SB, sc với mặt cầu.
Ta có: AM = AI và BM = BJ
mà AM = BM nên AI = BJ
Mặc khác SI - SJ
Nên SI + AI = SJ + BJ
Vậy SA = SB	(1)
Tương tự, ta có SB = sc (2) Từ (1) và (2) => SA = SB = sc (3)
Mặc khác BM = BN và CN^ CP
Suy ra AB = 2BM = 2BN = BC = 2CN = 2CP = CA
Khi đó ABC là tam giác đều (4)
Từ (3) và (4) suy ra S.ABC là hình chóp tam giác đều.
Bài 5. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi H là hình chiếu vuông góc của đỉnh A xucmg mặt phẳng (BCD).
Chứng minh H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. Tính độ dài đoạn AH.
Tính diện tích xung quanh của hình trụ và thể tích của khôi trụ có đường tròn đáy ngoại tiếp tam giác BCD và chiều cao AH.
Giải
Suy ra HB = HC = HD
a) * Từ A vẽ AH 1 (BCD) Theo giả thiết AB = AC = AD Nên AABH = AACH = AADH
Vậy H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều BCD.
2	2
Với BH = -.BN = -
3	3
* Ta có: AH = VaB2-BH2
ATT /„2 3a? _ aVó Vậy AH = Ja - —— = —T—
V 9	3
b) Ta có:
h = AH = ~,r = BH = '^ệ-
3	3
s„, = 27rrh = 271.—4 xq	3
Thể tích của khối trụ là:
V = 7ir2 h = 71
46 _ 7ia3 4o
ĩ~~ 9
Diện tích xung quanh của hình trụ là:
aVó _ 27ia2 V2
3	3
Bài 6. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tử tâm o của hình vuông dựng đường thẳng A vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Trên A lấy điểm s sao cho OS =	. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình
chóp S.ABCD. Tính diện tích mặt cầu và thể tích khôi cầu được tạo nên bởi mặt cầu đó.
Giải
Gọi o là tâm đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD. Qua 0 vẽ đường thẳng d vuông góc với (ABCD).
Khi đó d là trục đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD.
Gọi H là trung điểm của cạnh SA.
Trong mặt phẳng (SAO) đường trung trực của đoạn SA cắt đường thẳng SO tại I, ta có: ASAO CZ,ASIH
SA _ Sĩ _ gI SA.SH _ SA2
SO _ SH “ SO - 2SO
3a
4
Mà SA2 = so2 + OA2
aV|Ỵ
2
a43
~r
—
Khi đó SI = -^- = ^
| 4
2
Mặc khác:
IS = IA (vì I ở trên đường trung trực của SA) IA = IB = IC = ID (vìl e SO)
Suy ra IS = IA = IB = IC = ID = —
4
Vậy mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD có tâm là I và bán kính R = SI = ^.
3a V _ 97ia2
4 J _ 4 / 3a Ỵ _ 97ia3 k 4 J
4
Diện tích mặt cầu là: s = 47iR2 =471
7	s „ 4^3	4
Thê tích khối cầu là: V =— 7tR' = — 7ĩ
3	3
Bài 7. Cho hình trụ có bán kính r, trục 00’ = 2r và mặt cầu đường kính 00’.
Hãy. so sánh diện tích mặt cầu và diện tích xung quanh của hình trụ.
Hãy so sánh thể tích khối trụ và thể tích khối cầu được tạo nên bởi hình trụ và mặt cầu đã cho.
Giải
Diện tích của mặt cầu là: Sc = 4ĩir2
Diện tích xung quanh của mặt trụ là:
St = 27rrh = 47ir2.
Vậy Sc = st
Thể tích của khối trụ là:
vt = nr2h = 2nr2
Thể tích của khối cầu là:
3..
Vậy vt = |vc