Giải bài tập Toán 12 Bài 3. Phương trình đường thẳng

  • Bài 3. Phương trình đường thẳng trang 1
  • Bài 3. Phương trình đường thẳng trang 2
  • Bài 3. Phương trình đường thẳng trang 3
  • Bài 3. Phương trình đường thẳng trang 4
  • Bài 3. Phương trình đường thẳng trang 5
  • Bài 3. Phương trình đường thẳng trang 6
  • Bài 3. Phương trình đường thẳng trang 7
  • Bài 3. Phương trình đường thẳng trang 8
Bài 3. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THANG
A. KIẾN THỨC CẦN NAM vững
1. Phương trình tham số của đường thẳng
Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d đi qua điểm Mo(xo; y0; z0) và có vectơ chỉ phương a = (a; b; c), phương trình tham số của đường thẳng d là phương trình có dạng:
X = x0 + at
•y = y0+bt (tcR)
z = zo + ct
Nếu a, b, c 0 thì phương trình của đường thẳng d được gọi là phương trình chính tắc và được viết dưới dạng:
x-x0_ỵ-ỵ0 z-z() a b c
Hai đường thẳng song song, cắt nhau, chéo nhau, trùng nhau
Cho hai đường thẳng Ai và A2 có vectơ chỉ phương lần lượt là a, và a2.
Hai đường thẳng Ai và A2 song song nhau khi và chỉ khi a,, a2 cùng phương và một điểm M bất kì thuộc Ai nhưng không thuộc A2.
Hai đường thẳng A1 và A2 trùng nhau khi và chỉ khi ơị , a2 cùng phương và một điểm M bất kì thuộc A1 và thuộc A2.
Hai đường thẳng A1 và A2 chéo nhau	32
khi và chỉ khi a,, a2 không cùng phương. ■'A, = A2
Hai đường thẳng A1 và A2 cắt nhau khi và chỉ khi hệ phương trình của Ai và A2 có đúng một nghiệm.
Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng
Cho điểm A G A, vectơ chỉ phương a của A và vectơ pháp tuyêh n của (P). Có các vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng như sau:
a)
A // (p) o
n.a = 0
Aể(P)
b) A c (p)
n.a = 0 A e (a)
c) A cắt (p) n.a 0
A 1 (P)
 n và a cùng phương
B. GIẢI BÀI TẬP
Bài 1. Viết phương trình tham số của đường thẳng d trong mỗi trường hợp sau:
d đi qua điểm M(5; 4; 1) và có vectơ chỉ phương a = (2; -3; 1).
d đi qua điểm A(2; -1; 2) và vuông góc với mặt phẳng (a) có phương trình x + y- z + 5 = 0.
d đi qua điểm B(2; 0; -3) và song song với đường thẳng:
X = 1 + 2t
A :< y = -l + 3t
z = 4t
d đi qua hai điểm P(l; 2; 3), Q(5; 4; 4).
Giải
X = 5 + 2t
Ta có: y = 4-3t
z = l + t
b) Đường thẳng d vuông góc với mp(a) nên ta có: x+y-z+5=0
Suy ra đường thẳng d có vectơ chỉ phương n = (1; 1; -1)
Vậy phương trình tham số của đường thẳng d là:
X = 2 + t y = -l + t z = 3-t
Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là a = (2; 3; 4) (vì d // A).
Vậy phương trình tham số của đường thẳng d là:
X = 2 + 2t y = 3t
z = -3 + 4t
Vectơ chỉ phương của d là a = PQ = (4; 2; 1) (vì d đi 'qua hai điểm P(l; 2; 3), Q(5; 4; 4)).
[x = l + 4t
Vậy phương trình tham số của đường thẳng d là: 1 y = 2 + 2t z = 3 + t
vuông góc của đường thẳng d:
Bài 2. Viết phương trình tham số của đường thẳng là hình chiếu X = 2 + t
y = -3 + 2t lần lượt trên các mặt phẳng:
z = 1 + 3t
a) Oxy
Oyz
Giải
Từ phương trình đường thẳng d ta suy ra M(2; -3; 1) và N(3; -1; 4) thuộc d.
Gọi M’ và N’ theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M và N trên mp(Oxy).
Ta có M’(2; -3; 0) và N’(3; -1; 0), M’N' = (1; 2; o).
Suy ra đường thẳng M’N’ là hình chiếu vuông góc của đường thẳng d trên mp(Oxy).
Vậy đường thẳng M’N’ có phương trình tham số là:
X = 2 + t y = -3 + 2t z = 0
Tương tự như trên, phương trình tham số của hình chiếu vuông [x = 0 .
góc của d lên mp(Oyz) là:
y = -3 + 2t. .
z = l + 3t
Bài 3. Xét vị trí tương đốì các cặp đường thẳng d và d’ cho bởi các phương trình sau:
X = 5 +1'
y = -2 + 3t
z = 6 + 4t
d': y = — 1 — 4t'
z = 20 + t'
X = -3 + 2t
X = 1 + 2t'
d': y = -l + 2t'
z = 3-t
z = 2 - 2t'
Giải
— 3 + 2t — 5 +1
a) Ta có hệ: ‘
-2 + 3t = -l-4t'
6 + 4t = 20 + t'
(2)
(3)
Giải hệ phương trình với hai phương trình (1) và (2), ta được t = 3, t’ = -2. Thay vào (3) ta thấy (3) đúng.
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (x; y; z) = (3; 7; 8)
Vậy d và d’ cắt nhau tại A(3; 7; 8)
b) Ta có: d có vectơ chỉ phương a = (1; 1; -1)
(4)
(5)
d’ có vectơ chỉ phương a' = (2; 2; -2)
Từ (4) và (5) suy ra a và a' cung phương
(6)
Ta lại có A(l; 2; 3) e d nhưng A Ể d’
(7)
Từ (6) và (7) suy ra d // d’.
Bài 4. Tìm a để hai đường thẳng sau đây cắt nhau:
X = 1 + at
x = l-t'
d:-
y = t	d': •
y = 2 + 2t'
•Z — —1 + 2t
z = 3-t'
Giải
Để hai đường thẳng d và d’ cắt nhau thì hệ phương trình: ì + at = l-t' (1)
■ t = 2 + 2t'	(2) phải có một nghiệm duy nhất.
-l + 2t = 3-t' (3)
Giải hệ gồm hai phương trình (2) và (3) ta được t = 2 và t’ = 0
Thay vào (1) ta được: 1 + 2a = 1 - 0 a = 0 Vậy d cắt d’ khi a = 0.
Bài 5. Xét vị trí tương đối của đường thẳng d với mặt phẳng (a) trong các trường hợp sau:
a) d: ■
x=12 + 4t
y = 9 + 3t	(a):3x + 5y-z-2 = 0
z = l + t
b) d:<
X = l + t
y = 2- t	(ơ): x + 3y+ z + l = 0
z = 1 + 2t
c) d:-
X = l + t
y = l + 2t	(a): X + y + z-4 - 0
z = 2-3t
Giải
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương a = (4;3;l)và mp(a) có vectơ pháp tuyến n = (3; 5; -1)
Vậy a.n = 12 + 15-l?í0, suy ra a và n không vuông góc nhau hay d cắt (a).
Đường thẳng d đi qua điểm M(l; 2; 1) và có vectơ chỉ phương a = (1; -1; 2), mp(cc) có vectơ pháp tuyến n = (1; 3; 1)
Ta có:
a.n = 1-3 + 2 = 0 =>d//(ơ.) hoặc dc(a)	(1)
Mặc khác: M G d nhưng M Ể (a)	(2)
Từ (1) và (2) suy ra d và (a) song song nhau.
Đường thẳng d .đi qua điểm M(l; 1; 2) và có vectơ chỉ phương a = (1; 2; -3), mặt phẳng (a) có vectơ pháp tuyến n = (1; 1; 1)
Ta có:	a.n = 1 + 2-3 = 0 =>d//(a) hoặc dcz(a) (3)
Mặc khác: M ed và Me (a)	(4)
Từ (3) và (4) suy ra d c'(a).
X = -3 + 2t
Bài 6. Tính khoảng cách giữa đường thẳng A : ■
y = -l + 3t
z = -l + 2t
và mặt phẳng (a): 2x - 2y + z + 3 = 0.
Giải
Đường thẳng A đi qua điểm A(-3; -1; -1) và có vecto’ chỉ phương a = (2; 3; 2) và mặt phẳng (a) có vectơ pháp tuyến n =(2; -2; 1).
I
Ta có:	a.n = 4-6 + 2 = 0 suy ra A//(a) hoặc A cz (cc)
(1)
Mặc khác: A e A nhưng A Ể (a)
(2)
Từ (1) và (2) suy ra A // (a)
Vậy d(A,(a)) = d(A,(a))J2(	1 + 3I=|
Bài 7. Cho điểm A(l; 0; 0) và đường thẳng A : < y = 1 + 2t
Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm đường thẳng A.
Tìm tọa độ điểm A’ đốì xứng với A qua đường thẳng A.
Giải
a) Cho H(2 + t; 1 + 2t; t) e A. Ta có AH = (1 +1; 1 + 2t; t)
Đường thẳng A có vectơ chỉ phương a = (1; 2; 1)
A trên
Vì H là hình chiếu vuông góc của A trên A nên AH ± A «• AH.a = 0
 l + t + 2(l + 2t) + t = 0
6t + 3 = 0 t = --Ị-
2
b) Vì A’ là điểm đốì xứng của A qua A nên H là trung điếm của AA’.
xA.=2xH-xA =2
Khi đó ịyA. =2yH -yA =0
ZA. =2zH-yA =-l
Vậy A’(2; 0; -1).
Bài 8. Cho điểm M(l; 4; 2) và mặt phẳng (a): x+y+z-l=o
Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng (a).
Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với M qua mặt phảng (cc).
Tính khoảng cách từ M đến mp(cc).
Giải
Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên mp(a). Phương trình tham số của đường thẳng MH là:
X = 1 + t
■ y = 4 + t
z = 2 +1
Thay X, y, z trong phương trình tham số của đường thẳng MH vào phương trình của mp(a), ta có:
(1 + t) + (4 + t) + (2 + t) - 1 = 0 3t + 6 = 0 « t= -2 Vậy H(-l; 2; 0).
Vì M’ là điểm đối xứng của M qua mp(a) nên MM' = 2MH x = 2xH-xM = -3
y = 2yH-yM =0 z = 2zh -zm --2
Ta có H là trung điểm của MM’. Khi đó M’ ■
Vậy M’(-3; 0; 2)
fx = l-t
x = l + t
< y = 3 - 2t
z = 1
Ta có d = d(M, mp(a)) - V4 = 4 = 4 = 2 Vĩ
Bài 9. Cho hai đường thẳng d: 3 y = 2 + 2t và d’:
z = 3t
Chứng minh d và d’ chéo nhau.
Giải
Ta có vectơ chỉ phương của d là a = (-l; 2; 3) và vectơ chỉ phương của d’là a'= (1;-2; 0). .
Từ hai vectơ chỉ phương ta thấy a và a' không cùng phương
ì-t = l + t'
Đồng thời hệ phương trình
2 + 2t = 3 - 2t' vô nghiệm.
3t = 1
Vậy hai đường thẳng d và d’ chéo nhau.
Bài 10. Giải bài toán sau đây bằng phương pháp tọa độ. Cho hình
lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 1. Tính khoảng cách từ đỉnh A đến các mặt phẳng (A’BD) và (B’D’C).
Giải
Đặt hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ vào hệ trục Oxyz sao cho 0(0; 0; 0) = A; ĩ = ĂB; J = ÃD; k = ÃÃ?
Ta có tọa độ của các điểm như sau: A(0; 0; 0), B(l; 0; 0), C(l; 1; 0), D(0; 1; 0), A’(0; 0; 1), B’(l; 0; 1), D’(0; 1; 1)
* Phương trình của mp(A’BD) là:
X y z , ,
— + — + — = 1 hay x+y+z-l=o
111
	lo + o + o-ll	1 Vậy d(A, mp(A’BD)) = —.	1 = —=
V1+1+1 V3
* Mp(B’D’C) // mp(A’BD) vì (B’C // A’D và D’C // A’B) nên phương trình của mp(B’D’C) có dạng: x + y + z + D = 0(D^-l)
Mp(B’D’C) đi qua điểm C(l; 1; 0) D= —2
Suy ra phương trình của mp(B’D’C) là: X +-y + z - 2 = 0
lO + O + O—2ị 2
Vậy d(A, mp(B’D’O) = 1 . ..	1 = 4.. .
Vl + 1 + 1	V3