Giải bài tập Toán 12 Bài 1. Khái niệm về mặt tròn xoay

  • Bài 1. Khái niệm về mặt tròn xoay trang 1
  • Bài 1. Khái niệm về mặt tròn xoay trang 2
  • Bài 1. Khái niệm về mặt tròn xoay trang 3
  • Bài 1. Khái niệm về mặt tròn xoay trang 4
  • Bài 1. Khái niệm về mặt tròn xoay trang 5
  • Bài 1. Khái niệm về mặt tròn xoay trang 6
  • Bài 1. Khái niệm về mặt tròn xoay trang 7
  • Bài 1. Khái niệm về mặt tròn xoay trang 8
  • Bài 1. Khái niệm về mặt tròn xoay trang 9
Chương II. MẶT NÓN, MẶT TRỤ, MẶT CẦU
Bài 1. KHÁI NIỆM VỀ MẶT TRÒN XOAY
A. KIẾN THỨC CẦN NAM vững
HÌNH NÓN VÀ KHỐI NÓN
Hình nón và khối nón tròn xoay
* Cho tam giác OSA vuông tại o quay xung quanh cạnh góc vuông so thì đường gấp khúc SAO tạo thành một hình được gọi là hình nón tròn xoay.
Đường thẳng so là trục, s là đỉnh, độ dài đoạn so là chiều cao, đoạn thảng OA là đường sinh của hình nón.
Hình tròn tâm o, bán kính R = OA là đáy của hình nón.
* Phần không gian giới hạn bởi hình nón (kể cả hình nón đó) gọi là khối nón tròn xoay.
Diện tích hình nón
Diện tích xung quanh: SXq = 7iRl
Diện tích toàn phần: Stp = SXq + Sđáy = ĩiRl +7iR2
Thể tích khối nón
Thể tích của khối nón: v= j7iR2h (trong đó h là chiều cao, R là bán kính và 1 là đường sinh của hình nón).
II. MẶT TRỤ, KHỐI TRỤ
Hình trụ tròn xoay và khối trụ tròn xoay
Khi quay hình chữ nhật 00’M’M xung quanh đường thẳng chứa một cạnh, chẳng hạn cạnh 00’, đường gấp khúc OMM’0’ tạo thành một hình được gọi là hình trụ tròn xoay.
Đường thẳng 00’ được gọi là trục, đoạn thẳng MM’ gọi là đường sinh, độ dài đoạn thẳng 00’ gọi là chiều cao của hình trụ.
Hình tròn tâm o, bán kính R = OM và hình tròn tâm 0’, bán kính R = O’M’ là hai đáy của hình trụ.
Phần không gian giới hạn bởi hình trụ tròn xoay (kể cả hình trụ đó) gọi là khối trụ tròn xoay.
Diện tích hình trụ
Diện tích xung quanh: SXq = 2ĩiRh
Diện tích toàn phần: Stp = SXq + 2Sđáy = 2ĩiRh +2nR2
Thể tích khôi trụ
Thể tích của khối trụ: V = 7iR2h (trong đó h là chiều cao và R là bán kính đáy của hình trụ).
B. GIẢI BÀI TẬP
Bài 1. Cho đường tròn tâm o bán kính r nằm trên mặt phẳng (P). Từ những điểm M nằm trên đường tròn này ta kẻ những đường thẳng vuông góc với (P). Chứng minh rằng những đường thẳng như vậy nằm trên một mặt trụ tròn xoay. Hãy xác định trục và bán kính của mặt trụ đó.
Giải
Gọi d là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (P) tại tâm o của đường tròn (T).
Từ điểm M trên đường tròn (T), vẽ đường thẳng A vuông góc với mặt phẳng (P).
Khi đó đường thẳng A song song với d và luôn cách d một khoảng bằng r.
Đường thẳng A thuộc mặt trụ tròn xoay có trục là đường thẳng d và bán kính r.
Bài 2. Trong mỗi trường hợp sau đây, hãy gọi tên các hình tròn xoay hoặc khối tròn xoay sinh ra bởi:
Ba cạnh của hình chữ nhật khi quay quanh đường thẳng chứa cạnh thứ tư.
Ba cạnh của một tam giác cân khi quay quanh trục đôì xứng của nó.
Một tam giác vuông kể cả các điểm trong của tam giác giác vuông đó khi quay quanh đường thẳng chứa một cạnh góc vuông.
Một hình chữ nhật kể cả các điểm trong của hình chữ nhật đó khi quay quanh đường thẳng chứa một cạnh.
Giải
a) Hình ti-ụ	b) Hình nón
o	1A
•O’	J A*
d) Khối trụ
Bài 3. Một hình nón có đường cao h = 20cm, bán kính đáy r = 25cm.
Tính diện tích xung quanh của hình nón đã cho.
Tính thể tích của khôi nón được tạo thành bởi hình nón đó.
Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón và khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng thiết diện là 12 cm. Tính diện tích thiết diện đó.
Giải
Ta có: I2 = h2 + r2 = 202 + 252 = 1025
Suy ra 1 = V1025
Vậy sxq = 7trl = 71.25. V1025
= 1962,5 Vĩĩ (cm2)
Ta có: V = ịnr2h• = ịn.252.20 = 12-5— -(cm3
3	3	3 v
Hình nón có đỉnh s, tâm của đáy là o và một thiết diện qua
AB 1 OM
ABTSO
đỉnh là tam giác SAB (A, B thuộc đường tròn đáy).
Gọi M là trung điểm của dây cung AB, ta có:
Suy ra AB ± (sòm) => (SAB) ± (SOM) (theo giao tuyến SM)
Vẽ OK 1 SM, K e SM => OKI mp(SAB)
Trong tam giác vuông SOI, ta có:
1 1 1
OK2-_OM2 OS2
1
1	1 _ 1	1 _ 256 _ 162
OM2
OK2 OS2 122 202 57600 2402
OM2 =ẢÍ2Ỉ = 152 <^OM = 15(cm)
162	v 7
Trong tam giác vuông OAI ta có:
AM2 =OA2 - OM2 = 252 -152 AM = 20cm
Ta có sin OSM =	- = —7-
SM SO	OK
Vậy diện tích của thiết diện SAB là:
s = SM'AB = SM.AM = 25.20 = 500cm2 2
CẦ< _ OM.SO 15.20 ___
SM = ———- = —= 25cm
12
Bài 4. Trong không gian cho hai điểm A, B cố định và có độ dài AB = 20cm. Gọi d là một đường thẳng thay đổi luôn đi qua A và cách B
một khoảng bằng 10 cm. Chứng tỏ rằng đường thẳng d luôn nằm trên một mặt nón, hãy xác định mặt nón đó (trục và góc ở đỉnh).
Giải
Từ B vẽ đường thẳng vuông góc với d và cắt d tại Bp
Ta có BB1 = 10cm = d(B,d)
Đặt a = BAB,
Khi đó:
sin a =
BB, _ 10
AB - 20
Vậy đường thẳng d nằm trên mặt nón có đỉnh là A, trục là đường thẳng AB và góc ở đỉnh là 2a = 60°.
Bài 5. Một hình trụ có bán kính đáy r = 5cm và có khoảng cách giữa hai đáy bằng 7cm.
Tính diện tích xung quanh của hình trụ và thể tích của khối trụ tạo nên.
Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trục 3cm. Hãy tính diện tích của thiết diện được tạo nên.
Giải
a) Ta có: SXq = 2nrh = 71.10.7 = 70tt (cm2) V = 7tr2h - 71.25.7 = 175ti (cm3)
b) Mặt phẳng (AA1, BB1) song song với trục OO1 và cách trục
3cm.
* Gọi H là trung điểm của dây cung AB.
Ta có:
'OHTAB
' OH1AA,
OH1(AA,B,B)
=> OH = d(O, mp(AAiBiB))
Mà 001 // mp(AAiBiB) nên OH = d(OOi, mp(AAiBiB))
OH - 3cm (giả thiết)
* Ta lại có: AAIO vuông ở IH nên: AH2 = OA2 - OH2 = 52-32 = 16
Suy ra AH = 4cm. Khi đó AB = 2AH = 8cm.
Diện tích của thiết diện hình chữ nhật ABBiAi là:
s = AB.AA1 = 8.7 = 56cm2
Bài 6. Cắt một hình nón bằng một mặt phảng qua trục của nó ta được thiết diện là một tam giác đều cạnh 2a. Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình nón đó.
Giải
Tam giác đều SAB cạnh bằng 2a là thiết diện qua trục của hình nón.
Khi đó hình nón có bán kính R = a,
2aVJ /— đường sinh 1 = 2a, chiều cao h = ■■	= ay3
Vậy diện tích xung quanh của hình nón và thể tích của khối nón là:
3	3	3
SXq = 7tR1 = 7t.a.2a = 2ĩi a2
Bài 7. Một hình trụ có bán kính r và chiều cao h = r V3
Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ.
Tính thể tích khôi trụ tạo nên bởi hình trụ đã cho.
Cho hai điểm A và B lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa đường thẳng AB và trục của hình trụ bằng 30°. Tính khoảng cách giữa đường thẳng AB và trục của hình trụ.
Giải
Diện tích xung quanh và diện tích toàn A phần của hình trụ là:
Sxq = 2nrh = 2nr.rV3 = 2nr2 V3
stp = sxq +2Sđay = 2nr2 V3 + 27ir| L 271 (Vã 4- 1) r2
Thể tích khối trụ tạo nên bởi hình trụ đã cho là:
V = n r2h = 71 r2.r V3 ='n r3V3
Vẽ đường sinh AA’ (AA’ // 00’), ta có BAA' = 30°(góc hợp bởi AB và trục của hình trụ) và 00’ // mp(AA’B).
Gọi M là trung điểm của A’B.
Ta có: O’M ± A’B và O’M ± AA’ => O’M 1 mp(AA’B)
=> O’M = d(O’, mp(AA’B)) = d(OO’, mp(AA’B)) = d(OO’,AB) * Tam giác AA’B vuông Ở A’ và có AA’ = h = r V3, BAA' = 30° A’B = AA’.tan BAA' = rV3. tan 30° = r
Tam giác OA’B là tam giác đều cạnh bằng r (vì OA’ = OB = A’B = r)
Vậy O’M =
ĩs/3 ... —	
—7—=>d(AB,OO') = —7—
2	2
Bài 8. Một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn (0; r) và (O’; r).
Khoảng cách giữa hai đáy là 00’ = rVs . Một hình nón có đỉnh là O’ và có đáy là .hình tròn (O; r).
Gọi Si là diện tích xung quanh của hình trụ và s2 là diện tích
s,
xung quanh của hình nón, hãy tính tỉ số 77-.
S2
Mặt xung quanh của hình nón chia khối trụ thành hai phần, hãỹ tính tỉ số thể tích hai phần đó.
Giải
Ta có:
Hình trụ và hình nón có chiều cao h = r V3 , bán kính bằng r.
Hình nón có đường sinh:
M
1 = 7h2+r2 = V3r2 + r2 = 2r
Vậy diện tích xung quanh của hình trụ là:
Si = 2nrh = 2ot2\/3 và hình nón là: S2 = 7rrl = 2ĩt r2
s.
Suy ra -Ệ1- = V3 §2
Thể tích của khối trụ là: vkt = 7ir2h = 7tr3 V3
1	1	3
Thể tích của phần khối trụ nằm ngoài khối nón là:
Thể tích của khối nón là: Vkn = 7-nr h = 3~7tr V3
V - V, - V. v vkt K11
= 7tr3 V3-^-7ir3V3 = 71Ĩ3 y/3-^ệ- - 7ir3. ~7~
3 l 3J 3
Tỉ số thể tích của
mặt xung quanh của hình nón chia khối trụ
v.n 3™^	1
thành hai phần là: -77- = ———7=- = -7.
V , 2V3 2
711"	7—
3
Bài 9. Cắt hình nón đỉnh s bởi mặt phẳng đi qua trục ta được một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng aVĨ
a) Tính diện tích xung quanh, diện tích đáy và thể tích của khối
nón tương ứng.
b) Cho dây cung BC của đường tròn đáy hình rión sao cho mặt phảng (SBC) tạo với mặt phẳng chứa đáy hình nón góc 60°. Tính diện tích tam giác SBC.
Giải
a) Ta có thiết diện qua trục của hình nón là tam giác vuông cân SAB, cạnh huyền AB = a 5/2 .
Vậy đường cao, bán kính và đường sinh của hình nón là: h=so=^=vl
2	2
AB aV2
r = — = ——
2	2
r- J5
1 = SA = aV2.—-- = a
2
b) Gọi M là trung điểm của BC.
Ta có: BC ± OM và BC 1 SM
Khi đó góc giữa mp(SBC) và mặt phảng đáy hình nón SMO = 60°.
* Tam giác SMO vuông ở 0 nên:
aV2
SM - s° =—^_ = aJ|
sinSHO sin 60° V3
OM = SO.cosSHO =
^-.COSÓO0
2
* Tam giác OBM vuông ở M nên:
BM = 7oB2-OM2 = Vr2+OM =>BC = 2BM=Ặ
a2V2
3
V3
Vậy SiSBC=|sM.BC = |.a.
Bài 10. Cho hình trụ có bán kính r và có chiều cao cũng bằng r. Hình vuông ABCD có hai cạnh AB và CD lần lượt là các dây cung của hai đựờng tròn đáy, còn cạnh BC và AD không phải là đường sinh của hình trụ. Tính diện tích của hình vuông đó và côsin của góc giữa mặt phảng chứa hình vuông và mặt phẳng đáy.
Giải
Gọi CC1 và DD1 là hai đường sinh của khôi trụ.
(1)
(2)
Khi đó D1C1 // = DC
Đồng thời ABCD là hình vuông nên AB // = DC
D
B
(3)
Từ (1) và (2) suy ra AB // = DiCi
Vậy ABC1D1 là hình bình hành
Mặc khác ABC1D1 nội tiếp đường tròn (O) nên ABCịDi là hình chữ nhật.
Suy ra AC1 là đường kính của (0)
Nghĩa là AC1 = 2r
Tam giác ABC1 vuông ở B nên: BC12 = AC12 - AB2 = 4r2 - AB
Tam giác BCC1 vuông ở Ci nên:
(4)
5r2
2
5r2
2
BCj2 = BC2 - CC12 = AB2 - r2
Từ (3) và (4) suy ra 4r2 - AB2 = AB2 - r2 AB2
hình
Vậy diện tích của hình vuông ABCD là s = AB2
* Gọi a là góc hợp bởi mp(ABCD) và mặt phảng đáy của trụ, ta có:
5r2
s = SABCD =-^-,S = SABCịDi = AB.BCị
-AB5 Q(2r)2-ÍÀ = r
15
Mà ABCiDi là hình ci. ếu của ABCD trên mặt đáy hình trụ nên: 5r2
s = S.cosa cosa = — = —L
s 2