Giải bài tập Toán 12 Bài 2. Khối đa diện và khối đa diện đều

Bài 2. KHỐI ĐA DIỆN VÀ KHÔÌ ĐA DIỆN ĐỂU
A. KIẾN THỨC CẦN NAM vững
Khối đa diện lồi: Với hai điểm M và N thuộc khối đa diện thì mọi điểm của đoạn thẳng MN cũng thuộc khôi đa diện đó. Ta gọi đó là khối đa diện lồi.
Khối đa diện đểu: Khối đa diện có các mặt là các đa giác đều và có cùng số cạnh, đồng thời mỗi đỉnh là đỉnh chung của cùng một số cạnh được gọi là khối đa diện đều.
Có 5 loại khối đa diện đều được thể hiện trong bảng dưới đây.
Hình
Loại
Tên gọi
Số đỉnh
Số’ cạnh
Số’ mặt
1
(3;3|
Tứ diện đều
4
6
4
2
Í4;3}
Lập phương
8
12
6
3
Í3;41
Bát diện đều
6
12
8
4
{5;3}
Mười hai mặt đều
20
30
12
5
(3;5Ỉ
Hai mươi mặt đều
12
30
20
B. GIẢI BÀI TẬP
Bài 2. Cho hình lập phương (H). Gọi (H’) là hình bát diện đều có các đỉnh là tâm các mặt của (H). Tính tỉ số diện tích toàn phần của (H) và (H’).
Giải
Gọi a là cạnh của hình lập phương ABCD.AiBiCiDx; 01, 02 lần lượt là tâm của ABCD và ABB1A1.
7 Mbi
Q	— A|D	aV2
Suy ra O1O2 = 2	—
Di
Khi đó O1O2 là đường trung bình của tam giác AiBD.
A1
Từ đó ta có: Đoạn thảng nôi hai tâm của hai mặt có’ chung một cạnh của hình lập phương thì có độ dài bằng —.
Vậy sáu tâm của sáu mặt của hình lập phương tạo thành tám tam giác đêu cạnh ■ môi tâm là đỉnh chung của đúng bốn tam giác đều, và tám tam giác đêu này là tám mặt của hình tám mặt đều cạnh băng ——.
2
Diện tích toàn phần của hình lập phương là: S1 = 6a2.
Diện tích toàn phần của hình bát diện đều là:
s2
/	r-\2
Tương tự ta có:
G1G2 = G1G3 = G1G4 = G2G3 = G3G4 = G4G2 = —
3
Tâm của các mặt của tứ diện đều ABCD tạo thành tứ diện
G1G2G3G4 có sáu cạnh đều bằng -Ệ-. Vậy G1G2G3G4 là tứ diện đều.
Bài 4. Cho hình bát diện đều ABCDEF. Chứng minh rằng:
Các đoạn thẳng AF, BD và CE đôi một vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
ABED, AEFC và BCDE là những hình vuông.
Giải
Ta có: B, c, D, E cách đều A và F suy ra B, c, D, E cùng nằm
trên mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AF	(1)
Trong mp (BCDE), ta có BC = CD = DE = EB
Suy ra tứ giác BCDE là hình thoi hoặc hình vuông. (2)
Mặc khac AB = AC =AD = AE	(3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra BCDE là hình vuông.
Vậy BD và CE vuông góc nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
Chứng minh như trên ta suy ra .AF và BĐ, AF và CE vuông góc nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
Ta có: BCDE là hình vuông (chứng minh trên).
Tương tự, ABFD và AEFC cũng là những hình vuông.