Giải bài tập Toán 12 Bài 2. Phương trình mặt phẳng

Bài 2. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHANG
A. KIẾN THỨC CẦN NAM vững
Tích có hướng của hai vectơ
Cho hai vectơ u = (a;b;c) và V = (a';b';c'). Tích có hướng của hai vectơ trên là một vectơ, kí hiệu UAV. Công thức xác định tọa độ vectơ tích:	u A V = (be- b'c; ca'-c'a; ab'-a'b)
Vectơ u A V vuông góc với cả hai vectơ u và V
Phương trình mặt phẳng
Trong không gian tọa độ Oxyz, phương trình của mặt phảng qua điểm Mo(xo; y0; z0) và có vectơ pháp tuyến n = (A; B; c)là:
A(x - Xo) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0
Trong không gian tọa độ Oxyz, phương trình tổng quát của mặt phảng là phương trình có dạng:
Ax + By + Cz + D = 0, trong đó A2 + B2 + c2 > 0.
Trong trường hợp mặt phẳng cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0) và C(0; 0; c) thì phương trình của mặt ,3 TV X y z . .
phang là: - +	— = 1 (với a, b, c * 0)
a b c
Vị trí tương dối của hai mặt phẳng
Cho mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = o
và mặt phẳng (Q): A’z + B’y + C’z + D’ = 0
Ta có:
(P) cắt (Q) khi A:B:C * A’:B’:C’
(P) // (Q) khi A = £ = £ = R (A', B', C', D' 0)
A B c D v
(P) trùng (Q) khi A = £ = £ = £ (A',B',C',D’ * 0)
A B c D	'
(P) vuông góc (Q) khi AA’ + BB’ + CC’ = 0
Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Trong không gian tọa độ Oxyz, khoảng cách từ điểm Mo(xoỉ yoỉ Zo) đến mp(a): Ax + By + Cz + D = 0 cho bởi công thức:
d = d(M0,(a)) =
|Ax0 + By0 +Cz0 +D|
Va2+B2+C2
B. GIẢI BÀI TẬP
Bài 1. Viết phương trình mặt phẳng:
Đi qua điểm M(l; -2; 4) và nhận ĩĩ = (2; 3; 5) làm vectơ pháp tuyến..
Đi qua điểm A(0; -1; 2) và song song với giá của hai vectơ:
ũ = (3; 2; 1) và v= (-3; 0; 1)
Đi qua ba điểm A(-3; 0; 0), B(0; -2; 0) và C(0; 0; -1).
Giải
2(x - 1) + 3(y + 2) + 5(z - 4) = 0 2x + 3y + 5z - 16 = 0
2(x - 0) - 6(y + 1) + 6(z - 2) = 0 X - 3y + 3z - 9 = 0
-4- + -^- + -^- = l2x + 3y + 6z + 6 = 0 -3 -2 -1
Bài 2. Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB với A(2; 3; 7), B(4; 1; 3).
Giải
Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB. Khi đó M(3; 2; 5).
Bài 3.
Lập phương trình của các mặt phẳng tọa độ Oxy, Oyz và Oxz.
Lập phương trình của các mặt phẳng đi qua điểm M(2; 6; -3) và lần lượt song song với các mặt phẳng tọa độ.
Giải
*	Oxy:	0(x -	0) + 0(y - 0)	+ l(z - 0)	= 0	z =	0
Oyz:	l(x -	0) + 0(y - 0)	+ 0(z - 0)	= 0	X =	0
Oxz:	0(x -	0) + l(y - 0)	+ 0(z - 0)	= 0	y =	0
Gọi (P),	(Q), (R) lần lượt là các mặt phẳng	đi qua điểm M(2; 6; -3)
và song song với các mặt phẳng tọa độ Oxy, Oyz và Ozx.
Ta có: Mp(P) // mp(Oxy) nên mp(P)l Oz
=> Mp(P) có vectơ pháp tuyến k = (0; 0; 1)
Vậy phương trình của mp(P) là:
0(x - 2) + 0(y - 6) + l(z + 3) = 0 z + 3 = 0
Tương tự, các mặt phảng (Q) và (R) có phương trình theo thứ tự là:
l(x - 2) + 0(y - 6) + 0(z + 3) = 0 « X - 2 = 0
0(x - 2) + l(y - 6) + 0(z + 3) = 0 y - 6 = 0
Bài 4. Lập phương trình mặt phẳng:
Chứa trục Ox và điểm P(4; -1; 2)
Chứa trục Oy và điểm Q(l; 4; -3)
Chứa trục Oz và điểm R(3; -4; 7)
Giải
Gọi (P) là mặt phẳng chứa điểm P(4; -1; 2) và trục Oz
Khi đó mp(P) có vectơ pháp tuyến n vuông góc với hai vectơ:
ĩ = (1; 0; 0) và ÕP=(4; -1; 2), n = ĩ A ÕP = (0, -2, -1)
Vậy phương trình của mp(P) là:
0(x - 0) - 2(y - 0) - l(z - 0) = 0 2y + z = 0
Gọi (Q) là mặt phẳng chứa điểm Q(l; 4; -3) và trục Oy
Khi đó mp(Q) có vectơ pháp tuyến n vuông góc với hai vectơ:
J = (0; 1; 0) và ÕQ = (1; 4; -3), n = J A ÕQ = (-3; 0; -1)
Vậy phương trình của mp(Q) là:
—3(x - 0) + 0(y — 0) - l(z - 0) = 0 3x + z = 0
Gọi (R) là mặt phẳng chứa điểm R(3; -4; 7) và trục Oz.
Ta có phương trình của mp(R) là: 4x + 3y = 0
Bài 5. Cho tứ diện có các đỉnh là A(5; 1; 3), B(l; 6; 2), Ọ(5; 0; 4), D(4; 0; 6)
Hãy viết phương trình của các mặt phẳng (ACD) và (BCD)
Hãy viết phương trình mặt phảng (a) đi qua cạnh AB và song song với cạnh CD.
Giải
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ACD) vuông góc với hai vectơ Ãc = (0; -1; 1) và ÃD = (-1; -1; 3). Vậy n = AC A ÃD = (-2; -1; -1)
Vậy phương trình của mp(ACD) là:
-2(x - 5) - l(y - 1) - l(z - 3) = 0
 2x + y + z -14 = 0
Tương tự, phương trình của mp(BCD) là:
6x + 5y + 3z -42 = 0
Gọi (P) là mặt phẳng đi qua cạnh AB và song song với cạnh CD. Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến n vuông góc với hai vectơ ÃB = (-4; 5; -1) và CD= (-1; 0; 2), n = ÃB A CD = (10; 9; 5)
Vậy phương trình của (P) là:
10(x - 5) + 9(y - 1) + 5(z - 3) = 0
 lOx + 9y + 5z - 74 = 0
Bài 6. Hãy viết phương trình mặt phẳng (a) đi qua điểm M(2; -1; 2) và song song với mặt phẳng (p ): 2x - y + 3z + 4 = 0.
Giải
Vì mặt phẳng (a) song song với mặt phảng (p): 2x - y + 3z + 4 = 0 nên phương trình của mp(a) có dạng 2x-y + 3z + D = 0
Vì M(2; -1; 2) e mp(a) nên 4 + l + 6 + D = 0 D = -11
Vậy phương trình của mp(a) là: 2x - y + 3z - 11 = 0
Bài 7. Lập phương trình mặt phẳng (a) qua hai điểm A(l; 0; 1),
B(5; 2; 3) và vuông góc với mặt phảng (P): 2x - y+ z - 7 = 0
Giải
Vectơ pháp tuyến của mp( p) là np - (2; -1; 1)
Vì mặt phẳng (a) đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (p ) nên mặt phảng (a) có vectơ pháp tuyến n vuông góc với hai vectơ AB = (4; 2; 2) và np = (2; -1; 1), n .= AB A np = (1; 0; - 2)
Vậy phương trình của mp(a) là:
l(x - 1) -2(z — 1) = 0 X - 2z + 1 = 0
Bài 8. Xác định các giá trị của m và n để mỗi cặp mặt phẳng sau đây là một cặp mặt phẳng song song với nhau:
2x + my + 3z - 5 = 0 và nx - 8y - 6z + 2 = 0
3x - 5y + mz - 3 = 0 và 2x + ny - 3z + 1 = 0
Giải
Ta có:(a)// (p) «I =-2L =
n -8 -6	2
Vậy n = -4 và m = 4
Ta có (a)// (p)o| = — =
v ’	2 n -3	1
Vậy n = —— và m =-—
2
GBT Hình học 12 - CB	59
Bài 9. Tính khoảng cách từ điểm A(2; 4; -3) lần lượt đến các mặt phẳng sau:
2x - y + 2z - 9 = 0 (a)
12x- 5z + 5 = 0 (p)
X = 0 (y)
Giải
|2(2)-(4) + 2(-3)-9|
Ta có: di = (A; (a)) =	1 = 5
74+1 + 4
|12(2)-5(-3) + 5| 44
Ta CÓ: d2 = d(A; (p)) = 1 v v /	- = 77
7144 + 25	13
|2|
Ta CÓ: d, = d(A;(y)) = —, 1 '	=2
v v ” 71 + 0 + 0
Bài 10. Giải bài toán sau đây bằng phương pháp tọa độ:
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 1.
Chứng minh hai mặt phảng (AB’D’) và (BC’D) song song.
Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng nói trên.
Giải
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz có gốc o = A, OB = r, OD = J, OA = k. Ta có tọa độ các điểm lần lượt như sau: A(0; 0; 0), B(l; 0; 0), C(l; 1; 0), D(0; 1; 0), A’(0; 0; 1), B’(l; 0; 1), C’(l; 1; 1), D’(0; 1; 1).
Mp(AB’D’) có vectơ pháp tuyến n vuông góc với hai vectơ AB' = (1; 0; 1) và ĂD' = (0;l;l) nên h = AB’aAD’ = (1; 1;-1)
Vậy phương trình của mp(AB’D’) là:
l(x - 1) + l(y - 0) - l(z - 0) = 0
 X + y — z = 0
Tương tự ta tìm được phương trình của mp(BC’D) là:
x + y- z— 1 = 0
Ta có 7 = ■“ = ~7 * “7 suy ra mp(AB’D’) // mp(BC’D)
b) Ta có: mp(AB’D’) // mp(BC’D)
nên d((AB’D’), mp(BC’D)) = d(A, (BCD)) = 4=
73