Giải bài tập Toán 12 ÔN TẬP CHƯƠNG III

ÔN TẬP CHƯƠNG III
Bài 1. Cho bôn điểm A(l; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), Đ(-2; 1; -1)
Chứng minh A, B, c, D là bốn đỉnh của một tứ diện.
Tìm góc giữa hai đường thẳng AB và CD.
Tính độ dài đường cao của hình chóp A.BCD.
Giải
Ta có phương trình của mp(ABC) là:
X y z ■
-? + ■?-+.= 1 x + y + z- l = o
111
Suy ra XD + yD + ZD - 1 = -2 + 1 - 1 - 1 0 B
Hay D Ể mp(ABC)
Vậy A, B, c, D là bốn đỉnh của một tứ diện.
AB.CD jy	._n
Ta co: cos(AB,CD) = L——1 =	AB,CD =45°
v 7 AB.CD 2 V /
Mp(BCD) có vectơ pháp tuyến n vuông góc với hai vectơ BC = (0; -1; 1) và BD = (-2; 0; -1), n = BC A BD = (1;-2; -2)
Vậy phương trình của mp(BCD) là:
l(x - 0) - 2(y -T) - 2(z - 0) = 0 « x-2y-2z + 2 = 0
11-0-0 + 21
Vậy h = AH = d(A, mp(BCD)) =	■ ■' = 1
Vl + 4 + 4
Bài 2. Cho mặt cấu (S) có đường kính là AB biết rằng A(6; 2; -5), B(-4;); 7)
Tìm tọa độ tầm I và tính bán kính r của mặt cầu (S).
Lập phương trình của mặt cầu (S).
Lập phương trình của mặt phẳng (a) tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm A.
Giải
Tâm của mặt cầu (S) là trung điểm 1(1; 1; 1) của đoạn thẳng AB và bán kính của mặt cầu (S) là R = IA = Vó2
Mặt cầu (S) có phương trình là:
5(x - 6) + l(y - 2) - 6(z - 5) = 0
 5x + y - 6z - 62 = 0
Bài 3. Cho bốn điểm A(-2; 6; 3), B(l; 0; 6), C(0; 2; -1), D(l; 4; 0)
Viết phương trình mặt phẳng (BCD). Suy ra ABCD là một tứ diện.
Tính chiều cao AH của tứ diện ABCD.
Viết phương trình mặt phảng (a) chứa AB và song song với CD.
Giải
a) Mp(BCD) có vectơ pháp tuyến n vuông góc với hai vectơ BC = (-l;2;-7) và BD = (0; 4;-6) , chọn n = (ẼC aẽd) = (16;-6; -4) hay n = (8; -3; -2).
Vậy phương trình của mp(BCD) là:
8(x - 1) - 3(y - 0) - 2(z - 6) = 0 « 8x - 3y - 2z + 4 = 0 Ta có: 8xa - 3yA - 2za + 4 = 8(—2) - 3(6) - 2(3) + 4*0 Vậy A e mp(BCD), hay ABCD là một tứ diện.
Ta có: AH = d(A, (BCD)) =
<77
Gọi (a) là mặt phẳng chứa AB và song song với CD, (a) có vectơ pháp tuyến n vuông góc với hai vectơ AB = (3;-6;3) và CD = (1; 2; 1), d = ABaCD.
T.acó: n = (-12;0;12) hay n = (l;0;-l)
Vậy phương trình của mp(a) là:
l(x - 1) + 0(y - 0) - l(z - 6) = 0 X - z + 5 = 0
Bài 4. Lập phương trình tham số của đường thẳng:
Đi qua hai điểm A(l; 0; -3), B(3; -1; 0)
Đi quá điểm M(2; 3; -5) và song song với đường thẳng A có
X = -2 + 2t
phương trình
y = 3-4t
z = -5t
Giải
a) Vectơ chỉ phương của đường thẳng AB là AB = (2; -1; 3).
Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua hai điểm A và B là:
X = l + 2t
■ y = -t z = -3 + 3t
b) Đường thẳng d có vectơ chỉ phương a = (2;-4;-5), đường thẳng A đi qua M(2; 3; -5) và song song với d nên có vectơ chỉ phương là ã = (2;-4;-5).
X = 2 + 2t
Vậy phương trình tham số của đường thẳng A là: y = 3 - 4t
z = -5 - 5t
Bài 5. Cho mặt cầu (S) có phương trình (x - 3)2 + (y + 2)2 + (z - l)2 = 100 và mặt phẳng (a) có phương trình 2x - 2y -z + 9 = 0. Mp(a) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn (C). Hãy xác định tọa độ tâm và tính bán kính của đường tròn (C).
70
Giải
Từ phương trình (x - 3)2 + (y + 2)2 + (z — l)2 = 100 ta suy ra mặt cầu (S) có tâm 1(3; -2; 1) và có bán kính R = 10.
Gọi H là tâm của đường tròn (C) - hình chiếu vuông góc của I trên mặt phẳng (cc).
Phương trình tham sô' của đường thẳng IH là:
X = 3 + 2t y = -2-2t z = 1-t
Thay X, y, z từ phương trình tham số của đường thẳng IH vào phương trình mp(a) ta được t = -2.
Suy ra đường thẳng IH cắt mp(a) tại H(-l; 2; 3), H là tâm của đường tròn (C).
Vậy bán kính của đường tròn (C) là: r = Vr2 -d2 = V100-36 = 8
Bài 6. Cho mặt phảng (a) có phương trình 3x + 5y - z - 2 = 0 và x-12 + 4t
đường thẳng d có phương trình < y = 9 + 3t . •
z = l + t
Tìm giao điểm M của đường thẳng d và mặt phảng (a).
Viết phương trình mặt phẳng (p) chứa điểm M và vuông góc với đường thẳng d.
Giải
Thay X, y, z từ phương trình tham số của đường thẳng d vào phương trình mp(a), ta có:
3(12 + 4t) + 5(9 + 3t) - (1 + t) - 2 = 0 t = -3
Vậy giao điểm của mp(a) và đường thẳng d là M(0; 0; -2).
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là a = (4; 3; 1), mp(p) vuông góc với đường thẳng d nên vectơ pháp tuyến của mp( p ) cũng là a.
Vậy phương trình của mp( p) là:
4(x - 0) + 3(y - 0) + l(z + 2) = 0
 4x + 3y + z + 2 = 0
x = l + 3t
Bài 7. Cho đường thẳng d có phương trình: • y = -l + 2t z = 3 — 5t
Cho điểm A (-1; 2; -3) và vectơ ã = (6;-2;-3)
Viết phương trình mặt phẳng (a) chứa điểm A và vuông góc với giá của a.
Tìm giaọ điểm của d và (a).
Viết phương trình đường thẳng A đi qua điểm A, vuông góc với a và cắt đường thẳng d.
Giải
a) Vì mp(a) qua điểm A(-l; 2; -3) và vuông góc với a = (6;-2;-3) nên nó có phương trình là:
6(x + 1) - 2(y - 2) - 3(z + 3) = 0 <» 6x - 2y - 3z + 1 = 0
Thay x, y, z từ phương trình tham số của đường thẳng d vào phương trình mp(a), ta có:
6(1 + 3t) - 2(-l + 2t) -3(3 - 5t) +1 = 0 t = 0
Vậy giao điểm của mp(a) và đường thẳng d là M(l; -1; 3).
Đường thẳng A qua A và vuông góc với a nên A c mp(a) Đồng thời A nằm trong mp(a) và A cắt đường thẳng d nên nó đi
qua M. Vậy theo đề bài, đường thẳng A chính là đường thẳng AM.
Vectơ chỉ phương của đường thẳng A là: AM = (2;-3; 6).
X = -l + 2t
Vậy phương trình tham số của đường thẳng A là: y - 2 = 3t
z = -3 + 6t
Bài 8. Viết phương trình mặt phẳng (a) tiếp xúc với mật cầu (S): X2 + y2 + z2 - lOx + 2y + 26z + 170 = 0 và song song với hai
và
x = -7 + 3t
y = -l-2t
z = 8
X = -5 + 2t
đường thẳng: d : ■ y = 1 - 3t
Z- -13 + 2t
Từ phương trình X2 + y2
Giải
+ z2 - lOx + 2y + 26z + 170 = 0 ta suy ra mặt cầu (S) có tâm 1(5; -1; -13) và bán kính R = ự25 +1 +169 -170 = 5
Mặt phẳng (a) song song với hai đường thẳng d và d’ nên có vectơ pháp tuyến n vuông góc với u và V.
n = (ũ A V) = (4; 6; 5).
Vậy phương trình của mp(a) có dạng:
4x + 6y + 5z + D = 0
Mp(a) tiếp xúc với mặt cầu (S) nên:
d(l,mp(a)) = R o
V16 + 36 + 25
|4(5) + 6(-l) + 5(-13) + D|
o |D - 5| = 5V77 <» D = 51 ± 5V77
Như vậy có hai mp(a) là:
4x + 6y + 5z + 51 + 5 V77 = 0
4x + 6y + 5z + 51 - 5V77 =0
Bài 9. Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M(l; -1; 2) trên mặt phẳng (a): 2x - y + 2z + 11 = 0.
Giải
X = l + 2t
Vectơ pháp tuyến của mp(a) là n = (2; -1; 2), H là hình chiếu vuông góc của M trên mp(a) nên MH ± mp(a), đường thẳng MH có vectơ pháp tuyến là n = (2; -1; 2).
Ta có phương trình tham số của đường thẳng MH là: < y = -1 -1
z — 2 + 2t
Thay X, y, z từ phương trình tham số của đường thẳng MH vào phương trình mp(a), ta có:
2(1 + 2t) - (-1 - t) + 2(2 + 2t) + 11 = 0 t = -2.
Vậy H(-3; 1; -2).
Bài 10. Cho điểm M(2; 1; 0) và mặt phẳng (a): X + 3y - z - 27 = 0. Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với M qua (a).
Giải
Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên mp(a), ta có MH ± mp(a).
Đường thẳng MH có vectơ chỉ phương là n = (l; 3; -1).
Suy ra phương trình tham số của đường thẳng MH là:
X = 2 + t
• y = l + 3t
z = -t
Thay X, y, z trong phương trình tham số của đường thẳng MH vào phương trình của mp(a), ta có:
(2 + t) + 3(1 + 3t) - (—t) -27 = 0 <» t = 2
Vậy H(4; 7; -2)
Vì M’ đối xứng với M qua mp(a) nên H là trung điểm của MM’.
x = 2xH-xM =6
Vậy M’
y = 2yH-yM =13
z = 2zH-zM =-4
Bài 11. Viết phương trình đường thẳng A vuông góc với mặt phẳng tọa độ Oxz và cắt hai đường thẳng:
íx = l-2t'
d H y - -4 +1 và
z = 3-t
Giải
Gọi A(t; -4 + t; 3 - t) và B(1 - 2t’; -3 + t’; 4 - 5t’) là giao điểm của A với hai đường thẳng d và d’.
Ta có: AB = 2t — t +1; t — t +h — 5t +1 +1)
Vì A ± mp(Oxz) nên AB ± mp(Oxz)
Suy ra AB và j = (0; 1; o) cùng phương.
-5t’+1 +1 = 0
3
1 = 3-
7
2 t =■=■
7
3 _25. 18'
7’ 7’7,
và có vectơ chỉ phương
A A í2. 25 18^ . .
Vậy đường thang A đi qua A —;——— \7	7 7/
là j = (0; 1; 0)
3
X = —
7
Phương trình tham số của A là:
27 . ,
5+t
18
z = —
7
Bài 12. Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với điểm A(l; -2; -5) qua
x = l + 2t
đường thẳng có phương trình •< y = — 1 — t z = 2t
Giải
Vectơ chỉ phương của đường thẳng A là ă = (2; -1; 2)
Ta có: M(1 + 2t; -1 - t; 2t) e A
M là hình chiếu vuông góc của A trên
A khi:
AM ± A AM.ă = 0
■ 2(2t) - l(-t + 1) + 2(2t + 5) = 0
 t = -1
Vậy M(-l; 0; -2)
Vì A’ đối xứng v0i~A qua A nên M là trung điểm của AA’
Vậy A’ ■