Giải toán 12 Bài 1. Hệ tọa độ trong không gian

  • Bài 1. Hệ tọa độ trong không gian trang 1
  • Bài 1. Hệ tọa độ trong không gian trang 2
  • Bài 1. Hệ tọa độ trong không gian trang 3
  • Bài 1. Hệ tọa độ trong không gian trang 4
  • Bài 1. Hệ tọa độ trong không gian trang 5
§1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
A. KIẾN THỨC CĂN BẢN
TỌA Độ CỦA ĐIỂM VÀ CỦA VECTƠ
Hệ tọa độ trong không gian
Hệ trục tọa độ Để-các trong không gian gồm ba trục x’Ox, y’Oy, z’Oz vuông góc với nhau từng đôi một. Gọi i, j, k lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục x’Ox, y’Oy, z’Oz. Điểm o được gọi là gốc tọa độ. Các mặt phẳng (Oxy), (Oyz), (Ozx) đôi một vuông góc với nhau được gọi là các mặt phẳng tọa độ.
Không gian gắn với hệ tọa độ Oxyz còn được gọi là không gian Oxyz.
Tọa độ của một điểm
M(x;y;z) o 0M = X.Ĩ + y.j + z.k
Tọa độ của vectơ
a = (a^3 2 Ị a3) hoạc a(3j Ja 2 í a3)	3 = 3-1.14" 32 -J + a3,k
BIỂU THỨC TỌA Độ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ Trong không gian Oxyz cho hai vecto
ã = (a,; a2; a3) và b = (b,; b2; b3).
Tacó: a) a + b = (a.| + b1;a2 +b2;a3 +b3)
ã-b = (a1-b1;a2-b2;a3-b3)
kã = (ka1;ka2;ka3) với k là một số thực.
Hệ quả
Cho hai vecto ã = (a,; a2; a3) và b = (bi; b2; b3).
Ta có: a = b ■
ai =bi a2 ‘ b2 a3 = b3
Vecto õ có tọa độ là (0; 0; 0)
Với b * ỏ thì hai vecto ả và b cùng phương khi và chỉ khi có một số
k sao cho: a, = kbì, a2 = kb2, a3 = kb3.
Trong không gian Oxyz, nếu A(xA;yA;zA), B(xB;yB;zB) thì + AB = ÕB-ÕÃ = (xB-xA;yB-yA;zB-ZA)
+ Tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB là:
ivif XA + XB .Ya +yẹ ,ZA +ZB 'ì
l 2	2	2 J
TÍCH VÔ HƯỚNG
Biểu thức tọa độ của tích vô hướng
a.b - a-jb-j + a2b2 + a3b3
Trong không gian Oxyz, tích vô hướng của hai vectơ ã = (a,; a2; a3) và b = (b-1; b2; b3) được xác định bởi công thức
Độ dài của một vectơ:
Cho vectơ ã = (an a2; a3), ta có |a| = VcTa = ya2 -i-a| + a3
Khoảng cách giữa hai điểm A(xA;yA;zA) và B(xB;yB;zB) là
|Ãb| = ự(xB-XA)2+(yB - yA)2 + (zB - ZA )2
Gọi tp là góc giữa hai vectơ
ă = (a,; a2; a3) và b = (bn b2; b3) với ã và b khác ỏ.
Ta có: cosọ = cos(ã.b) = iệĩ = atbi+a2b2 + a3bs	
Ịa||b| ựa?+a^+a|.ựb?+b^+b|
ã 1 b aíb, + a2b2 + a3b3 = 0.
PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
Trong không gian Oxyz, mặt cầu tâm l(a; b; c) bán kính r có phương trình là (x-a)2 + (ý-b)2 + (z-c)2 = r2.
Hoặc X2 + y2 + z2 - 2ax - 2by - 2cz + a2 + b2 + c2 = r2.
Ngược lại, phương trình X2 + y2 + z2 + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0.
với điều kiện A2 + B2 + c2 - D > 0 là phương trình của mặt cầu tâm
l(-A; - B; - C) có bán kính r = Va2 +B2 +c2 -D .
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
1. Cho ba vecta a=(2;-5;3), b = (0;2;-l), c = (l;7;2)
a) Tính tọa độ của vectơ
d = 4a - 4 b + 3c 3
b) Tính tọa độ của vecta e = a - 4b - 2c
Ốịlải
Tacó:4á = (8;-20; 12); -j b = [o;-|; I
3 V 3 3
3c = (3; 21; 6)
Do đó d = 4ã - ị b + 3c = fll; ỉ; ẼẼÌ 3	l 3	3 )
ẽ = ã - 4 b - 2c = (0; -27; 3).
2. Cho ba điểm A = (1; -1; 1), B = CO; 1; 2), c = (1; 0; 1). Tìm tọa độ trọng tâm của tam giác ABC.
<N I co
Tọa độ trọng tâm G(xg; yG; z0) của AABC là:
XG = |(XA +XB+XC) =
•yG = |(yA +yB +yc) = ° _ 1, . „ , „ 4
ZG - 2 ZA + ZB + zc) ~ 2
VậyG = (|; 0; |).
3. Cho hình hộp ABCD.A’B'C'D' biết A = (1; 0; 1), B = (2; 1; 2), D = (1; -1; 1), C’= (4; 5; -5). Tính tọa độ các dính còn lại của hình hộp.
ỐỊiảl
Ta có: AB = (1; 1; 1)
ẦS = (0; -1; 0)
xc - 2 = 0
BC = AD •
yc
zc - 2 = 0
xc =2
•yc =°
zc = 2
Vậy c = (2; 0; 2)
Tương tự B’ = (4; 6; - 5), D’= (3; 4; -6).
4. Tinh:
ã .b với ã = (3; 0; -6), b = (2; -4; 0)
c . d với C = (1; -5; 2), ã= (4; 3; -5)
tfla’i
Áp dụng ã. b = a]bi + a2b2 + a3b3 với ả = (ai; a2; a3) và b = (bn b2; b3)
Ta có ã. b = 3.2 + 0.(—4) + (-6).o = 6
c . d = 1.4 + (-5).3 + 2(—5) = -21.
Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu có phương trỉnh sau dây:
X? + ỳ* + z2 - 8x - 2y + 1 = 0
3xr + Sy2 + 3z2 - 6x + 8y + 15z -3 = 0.
úịíẦl
Ta có: X2 + y2 + z2 - 8x - 2y + 1 = 0
 (x2 - 8x + 16) + (y2 - 2y + 1) + z2 = 16 + 1 - 1 (x - 4)2 + (y - l)2 + z2 = 16
Vậy mặt cầu có tọa độ tâm 1(4; 1; 0) và bán kính R = 4.
3x2 + 3y2 + 3z2 - 6x + 8y + 15z -3 = 0
8
 X2 + y2 + z2 - 2x + 7 y + 5z - 1 = 0 3
_ 1 f 4? í 5?	, _ 16	25 _' _ n
 (x - 1) + y + T- + Z + -7-	-1- „—:—1?0
ổ. Lập phương trình mặt cầu trong hai trường hạp sau dây:
Có đường kinh AB với A(4; -3; 7), B(2; 1; 3).
Đi qua điểm A(5; -2; 1) và có tâm C(3; -3; 1).
Ốịiải
Tâm I của mặt cầu đường kính AB là trung điểm I của đoạn thẳng AB,
tacóI[ 2; 2 ; 2 J=(3;"1;6’
Bán kính mặt cầu R = IA = ựl2 + (-2)2 + 22 = 3
Vậy phương trình mặt cầu là: (x - 3)2 + (y + l)2 + (z - 5)2 = 9.
Bán kính mặt cầu là R = AC = V22 +12 + o2 = 75 Phương trình mặt cầu là (x - 3)2 + (y + 3)2 + (z - l)2 = 5.
c. BÀI TẬP LÀM THÊM
Trong không gian cho ba điểm AC1; 0; -2), B(2; 1; -1), C(l; -2; 2)
Tìm độ dài các cạnh của tam giác ABC.
Tìm tọa độ trung điểm của các tam giác ABC.
c)G|l;-l; -1 3	3	3
Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.
Đáp số: a) AB = 73 ; BC = 7Ĩ9 ; CA = 2 75
b)íH-
34. lì (1; —1; 0) 2 2: 2 ’ : :
Giải BT Hình học 12 - 45
Trong không gian Oxyz, hãy tìm trên mặt phẳng (Oxz) một điểm M cách đều ba điểm A(l; 1; 1), B(-l; 1; 0), C(3; 1; -1).
Đáp số: m(|; 0;
Cho A(2; 0; 1), B(-l; 2; 3). Tìm cosin của các góc tạo bởi ba vectơ đơn vị
ĩ, j, k trên ba trục Ox, Oy, Oz và vectơ AB.
T*,*.	3	2	2
tìáp sô:	—!==',	-y==-
7ĨỸ 7ĨỸ VĨ7
Trong không gian Oxyz hãy lập phương trình mặt cầu trong các trường hợp sau:
Có tâm 1(5; -3; 7) và có bán kính r = 2;
Có tâm là điểm C(4; -4; 2) và đi qua gốc tọa độ;
Đi qua điểm M(2; -1; -3) và có tâm C(3; -2; 1).
Trong không gian Oxyz hãy xác định tâm và bán kính các mặt cầu có phương trình sau đây:
X2 + y2 + z2 - 6x + 2y - 16z - 26 = 0
2x? + 2y2 + 2z2 + 8x - 4y - 12z - 100 = 0.