Giải toán 12 Ôn tập chương II

ÔN TẬP CHƯƠNG H
Cho ba điểm A, B, c cùng thuộc một mặt cầu và cho biết ACB = 9ũP. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng ?
Đường tròn qua ba điểm A, B, c nằm trên mặt cầu;
AB là một đường kính của mặt cầu đã cho;
AB không phải là đường kính của mặt cầu;
AB là đường kính của đường tròn giao tuyến tạo bởi mặt cẩu và mặt phẳng (ABC).
Trả lời: a) và d) đúng.
Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẩng (ABC) và cạnh BD vuông góc với cạnh BC. Biêt AB = AD = a, tính diện tích xung quanh của hĩnh nón và thể tích khối nón được tạo thành khi quay đường gấp khúc BDA quanh cạnh AB.
Ốỹ.ải
Ta có AD 1 (ABC) nên AD 1 AB => ABD là góc nhọn.
Khi quay quanh cạnh AB đường gâp khúc BDA tạo nên một hình nón tròn xoay có đường sinh là BD, chiều cao AB - a và bán kính đáy AD = a.
Ta có BD = í AB2 + AD2 = Va2 + a2 = aựã Diện tích xung quanh của hình nón là
Sxq = 7trZ = xAD.BD = xa.aVỖ = 7ta2 V2 Thể tích khôi nón là:
v= -^7ir h = 7i.a .a = —r- •
3	3	3
Chừng minh rằng hình chóp có tất cả các cạnh bẽn bằng nhau nội tiếp được trong một mặt cầu.
Gọi s là đỉnh của hình chóp.
Giả sử SA = SB = sc = ... Gọi H là chân đường cao hạ từ đỉnh s xuống đáy, ta có SH 1 (ABC).
Vì SA = SB = sc = ... nên các hình chiếu HA = HB = HC = ...
Vậy hình chóp có đáy là đa giác nội tiếp trong một đường tròn tâm H bán kính HA. Gọi 0 là giao điểm mặt phẳng trung trực đoạn SA với SH thì 0 cách đều các đỉnh của hình chóp do đó hình chóp nội tiếp được trong một mặt cầu.
Hình chóp S.ABC có một mặt cầu tiếp xúc với các cạnh bên SA, SB, sc và tiếp xúc với ba cạnh AB, BC, CA tại trung điếm mỗi cạnh. Chứng minh rằng hình chóp dó là hỉnh chóp tam giác đều.
Ốịiảl
Gọi M, N, p là trung điểm của các cạnh AB, BC, CA và A', B', C' là tiếp điểm của các cạnh bên SA, SB, sc.
Ta có AM = AA' và BM = BB' mà AM = BM nên AA' = BB'.
Mặt khác SA' = SB' = SC' nên SA = SB.
Tương tự SB = sc nên chân đường cao kẻ từ s trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp AABC. AABC đều vì
AB = 2BM = 2BN = BC = 2CN = 2CP = CA.
Vậy S.ABC là hình chóp tam giác đều.
Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi H là hỉnh chiếu vuông góc của dinh A xuống mặt (BCD).
Chứng minh H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. Tinh độ dài doạn AH.
Tính diện tích xung quanh và thề tích của khối trụ có đường tròn đáy ngoại tiếp tam giác BCD và chiều cao AH.
ỐỊiảt
a) Ta có AH 1 (BCD) và ABCD ĩà tứ diện đều nên H là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác đều BCD (vì HB = HC = HD).
Ta có BH = |BN=
3	3	2	3
Do đó AH = VaB2 - BH2 = Ja2-ị =
V 3	3
D
Ta có: r =	, z = AH =
3
Vậy Sxq = 2n.
a 73 a Vẽ 2na2V2
và V = 7tr2h =
na
’Vẽ
3	3	3	9
6. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Từ tâm o của hình vuông dựng dường thẳng A vuông góc
với mặt phảng (ABCD). Trên J lấy điểm s sao cho OS = a~. Xác định tâm và bán kinh mặt
cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. Tinh diện tích của mặt cầu và thể tích của khối cầu dược tạo nên bởi mặt cẩu dó.
b) Diện tích xung quanh hình trụ là Sxq = 2nrl aVẽ
• Ta có o là tâm đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD; so 1 (ABCD).
=> SO là trục đường tròn ngoại tiếp ABCD.
Gọi M là trung điểm của cạnh SA. Trong mặt phẳng (SAO) đường trung trực d của đoạn SA cắt đường thẳng so tại I. Hai tam giác vuông SAO và SIM đồng dạng nên ta có:
SA SI	SA.SM
SO - SM - SO
aựs aVã
hay SI = s • 4 .
a
2
3a
4
• I 6 SO n d => I là tâm mặt cầu ngoại tiếp S.ABCD.
,	3a
Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD có tâm là I và có bán kính r = SI = -h 4
s = 4xr2 =
và V =
9xa3
16
Diộn tích mặt cầu và thể tích khôi cầu là:
7. Cho hình trụ có bán kính r, trục 00' = 2r và mặt cầu có đường kính 00'.
Hãy so sánh diện tích mặt cầu và diện tích xung quanh của hình trụ.
Hãy so sánh thể tích khối trụ và thể tích khối cầu được tạo nẽn bởi hình trụ và mặt cầu đã cho.
cỹiải
Ta có diện tích mặt cầu và diện tích xung quanh của hình trụ bằng nhau và đều bằng 4xr2.
Gọi Vc là thể tích khối cầu, ta có Vc = — Ttr3
3
Gọi Vt là thể tích khôi trụ ta có Vt = 7tr2.2r = 27tr3
VT 3	2
Do đó	. Vậy thể tích khối cầu bằng — thể tích khối trụ.