Giải toán 12 Bài 2. Mặt cầu

  • Bài 2. Mặt cầu trang 1
  • Bài 2. Mặt cầu trang 2
  • Bài 2. Mặt cầu trang 3
  • Bài 2. Mặt cầu trang 4
  • Bài 2. Mặt cầu trang 5
  • Bài 2. Mặt cầu trang 6
Mặt cầu
A. KIẾN THỨC CĂN BẢN
MẶT CẦU
Mặt cầu
Tập hợp những điểm M trong không gian cách điểm o cố định một khoảng không đổi bằng r (r > 0) được gọi là mặt cầu tâm o, bán kính r.
Điểm nằm trong và nằm ngoài mặt cầu. Khối cầu
Cho mặt cầu tâm o bán kính r và A là một điểm bất kì trong không gian.
Nếu OA = r thì ta nói điểm A nằm trên mặt cầu S(O; r).
Nếu OA < r thì ta nói điểm A nằm trong mặt cầu S(O; r).
Nếu OA > r thì ta nói điểm A nằm ngoài mặt cầu S(O; r).
Tập hợp các điểm thuộc mặt cầu S(O; r) cùng với các điểm nằm bên trong mặt cầu đó được gọi là khối cầu hoặc hình cầu tâm o, bán kính r.
GIAO CỦA MẶT CẦU VÀ MẶT PHANG
Cho mặt cầu S(O; r) và mặt phẳng (P). H là hình chiếu vuông góc của o lên mặt phẳng (P). Khi đó OH = h là khoảng cách từ tâm o của mặt cầu tới mặt phẳng (P). Ta có các trường hợp:
h > r: Mặt phẳng (P) không cắt mặt cầu
h = r: Mặt phẳng (P) tiếp xúc mặt cầu tại điểm H. Ta có OH 1 (P)
h < r: Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu theo đường tròn có bán kính r' = Vr2 -h2
Đặc biệt khi h = 0 mặt phẳng (P) cắt mặt cầu theo một đường tròn lớn có bán kính r' = r.
GIAO CỦA MẶT CẦU VỚI ĐƯỜNG THANG, TIẾP TUYẾN CỦA MẶT CẦU
Cho mặt cầu S(O; r) và đường thẳng A.
Trường hợp A đi qua tâm o của mặt cầu thì A cắt mặt cầu tại hai điểm A, B với AB = 2r.
Trường hợp A không đi qua tâm 0 của mặt cầu, ta gọi d là khoảng cách từ tâm o đến đường thẳng A, khi đó:
Nếu d < r: Đường thẳng A cắt mặt cầu tại hai điểm M, N;
Nếu d = r: Đường thẳng A tiếp xúc mặt cầu tại một điểm H; (H gọi là tiếp điểm và đường thẳng A được gọi là tiếp tuyến của mặt cầu);
Nếu d > r: Đường thẳng A không cắt mặt cầu.
DIỆN TÍCH MẶT CẨU VÀ THỂ TÍCH KHỐl CẦU
Mặt cầu bán kính r có diện tích là s = 4nr2.
4
Khối cầu bán kính r có thể tích là V = Ay 7tr3.
3
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Tỉm tập hợp tất cả các điểm M trong không gian luôn l dưới một góc vuông.
Ố/Ịiải
Gọi 0 là trung điểm của đoạn thẳng AB. Vì
___	AB
ÃMẺ = 90° nên ta suy ra OM = —- không 2
đổi. Vậy tập hợp cần tìm là mặt cầu tâm o AB
bán kính r = —— hay mặt cầu nhận AB 2
làm đường kính (trừ hai điểm A, B).
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cá các cạnh đều bằng a.' Hãy xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đó.
ijiat
S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên đáy là hình vuông cạnh a và so là đường cao hình chóp (0 là tâm hình vuông ABCD)
/;a
\	Xs
\a \
"D\
\	/ a
	 0
SO2 = SA2 - OA2 = a2 -
[— \ 2	9
aV2i a
= A- => SO = 2
ix/2
33 r
Trong A vuông SOA ta có:
OA = OB = oc 33 OD = OS =
và có bán kính r =
Vậy mặt cầu đi qua 5 điểm s, A, B, c, D có tâm o là tâm của hình vuông ABCD aVã T-'
Tìm tập hợp tâm các mặt cầu luôn luôn chứa một dường tròn cồ định cho trước.
6jiải
Phần tliuận:
Gọi (tf) là đường tròn cố’ định cho trước. Trên (lí) ta lấy ba điểm A, B, c. Mặt cầu tâm o bán kính r qua (ít) khi và chỉ khi OA = OB = oc hay tâm o của mặt cầu nằm trên trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Trục này là đường thẳng A vuông góc với mặt phẳng chứa đường tròn (ít) tại tâm I của đường tròn đó.
Phần đảo
Ngược lại, nếu ta lấy một điểm 0' bâ't kì trên trục A thì với mọi điểm M bất kì trên đường tròn (tâm I bán kính r' cho trước, ta đều có độ dài của đoạn thẳng O'M = Vo’l2 + IM2 = Vo’12 + r2 không đổi.
Như vậy đường tròn (^) luôn luôn thuộc mặt cầu có tâm O' nằm trên trục A.
Kết luận
Tập hợp tâm các mặt cầu luôn luôn chứa một đường tròn cố định cho trước là một đường thẳng A vuông góc với mặt phẳng chứa đường tròn nói trên tại tâm của đường tròn đó.
Tim tập hợp tâm mặt cầu luôn cùng tiếp xúc vái ba cạnh của một tam giác cho trước.
Giả sử mặt cầu S(0; r) tiếp xúc với ba cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC lần lượt tại A', B', c. Gọi I là hình chiếu của tâm o trên mặt phẳng (ABC).
Vì BC 1 OA' nên BC 1 (OIA1) suy ra BC 1 IA'.
Tương tự IB' 1 CA, IC' 1 AB.
Vì OA' = OB' = OC' = r nên IA' = IB' = IC = r’ không đổi (vì r' = ựr2 - OI2 )
Ta suy ra I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Vậy tâm o của mặt cầu tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác luôn luôn thuộc trục A của đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Đường thẳng A này vuông góc với mặt phảng (ABC) tại
tâm I của đường tròn nội tiếp nói trên.	g
Ngược lại, lấy điểm 0 thuộc trục A của đường tròn nội tiếp tam giác ABC thì ta có IA’ = IB’ = IC. Từ đó ta suy ra OA' = OB' = OC' = r không đổi. Vậy mặt cầu S(0; r) tiếp xúc với ba cạnh của tam giác.
Vậy: Tập hợp tâm những mặt cầu cùng tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác cho trước là trục của đường tròn nội tiếp tam giác đã cho.
Từ một điềm M nằm ngoài mặt cầu S(0; r) ta kẻ hai đường tliẳng cắt mặt cầu lẩn lượt tại
A, B và c, D.
Chứng minh rằng MA-MB = MC.MD
Gọi OM = d. Tính MA.MB theo r và d.
Ốjlải
Hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại M nên xác định mặt phẳng (AB, CD). Mặt phẳng (AB,
CD) cắt mặt cầu S(0; r) theo giao tuyến là đường tròn đi qua bôn điểm A, B, c, D.
Trong mặt phẳng (AB, CD) ta có
MÃ MB = MC MD => MA.MB = MC.MD
Mặt phẳng (OAB) cắt mặt cầu theo đường tròn lớn tâm 0 bán kính r. Trong mặt phẳng (AOB) này nếu gọi MO = d, ta có MA.MB = d2 - r2, trong đó r là bán kính mặt cầu.
ổ. Cho mặt cầu S(O; r) tiếp xúc với mặt phăng (P) tại I. Gọi M là một điểm nằm trên mặt cầu nhưng không đối xứng với I qua o. Từ M ta ké hai tiếp tuyến của mặt cầu cắt (P) tại A và B. Chứng minh AMB = AIB .
Ốịiảí
Mặt phẳng (MAI) cắt mặt cầu cho trước theo một đường nhận AM và AI làm hai tiếp tuyến. Ta có: AM = AI.
Tương tự ta có: BM = BI.
Ta suy ra AAMB = AAIB (c.c.c).
Do đó ta có AMB = AIB .
7. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AA' = a, AB = b và AD = c.
Hãy xác định tâm và bán kình của mặt cẩu đi qua 8 dính của hình hộp dó
Tinh bán kính của đường tròn là giao tuyến của mặt phẳng (ABCD) với mặt cẩu trên.
ỐỊiải
a) Gọi 0 là trung điểm của AC' thì 0 là điểm cách đều 8 điểm hình hộp.
	I	2	
À	
B'
Ta có AC' = Vac2 + CC'2 = VaD2 +DC2 +CC'2 = Va2+b2+c2
OA = ị AC' = ị Vã2 2 2
+ b + c2
A'
D'
Bán kính mặt cầu qua 8 đỉnh là:	“	/R,	/ 0,
b) Giao tuyến của (ABCD) với mặt cầu trên là đường tròn ngoại tiếp
hình chữ nhật ABCD. Vậy đường tròn giao tuyến của (ABCD) với mặt cầu trên có tâm là trung điểm I của BD và có bán kính là:
r' = i Vb2 + c2 .
2
Chửng minh ràng nếu có một mặt cầu tiếp xúc với 6 cạnh của một hình tứ diện thì tổng độ dài của các cặp cạnh dối diện cua tứ diện bằng nhau.
ỐỊiải
Giả sử tứ diện ABCD có các cạnh AB,
AC, AD, CB, CD, BD lần lượt tiếp xúc với mặt cầu tại M. N, p, Q, R, s.
Khi đó ta có: AM = AN = AP = a và BM = BQ = BS = b.
CQ = CN = CR = c và DP = DR = DS = d.
Như vậy: AB + CD = a + b + c + d;
AC + BD = a + c + b + d;
AD + BC = a + d + b + d;
Do đó các cặp cạnh đôi diện của tứ diện thỏa mãn điều kiện của bài toán có tổng bằng nhau, nghĩa là:
AB + CD = AC + BD = AD + BC.
Cho một điểm A cố định và một đường thẳng a cố định không qua A. Gọi o là một điểm thay dổi trên a. Chứng minh ràng các mặt cầu tâm o bán kính r = OA luôn luôn đi qua một dường tròn cố địnli.
éỹiải
Gọi (a) là mặt phẳng qua A và vuông góc với đường thẳng a tại I. Khi đó mặt cầu tâm o bán kính OA cắt mặt phẳng (a) theo một đường tròn tâm I bán kính IA không đổi.
Vậy các mặt cầu tâm o bán kính r = OA luôn luôn đi qua đường tròn cố định tâm I bán kính r’ = IA không đổi.
Cho hình chóp S.ABC có bôn dính đều nằm trên một mặt cầu, SA = a, SB = b, sc = c và
ba cạnh SA, SB, sc dôi một vuông góc. Tính diện tích mặt cầu và thể tích của khối cầu được tạo nén bởi mặt cầu dó.
Ốjiải
Gọi I là trung điểm AB. Vì ASAB vuông tại s nên I là tâm đường tròn ngoại tiếp ASAB. Gọi A là đường thẳng vuông góc với mp(SAB) tại I thì mọi điểm trên A cách đều s, A, B. Gọi o là giao điểm của A với mặt phẳng trung trực đoạn sc thì OS = OA = OB = oc. Vậy mặt cầu đi qua bốn điểm s, A, B, c có tâm 0 và bán kính r = OA.
Ta có: r2 = OA2 = OI2 + AI2
Diện tích mặt cầu là
s = 47ir2 = 7t(a2 + b2 + c2)
Thể tích khôi cầu là
v =	j7ij(a2+b2 + c2)3
c. BÀI TẬP LÀM THÊM
Cho mặt cầu S(O; r) và điểm A biết OA = 2r. Qua A kẻ một tiếp tuyên với mặt cầu tại B và kẻ một cát tuyến cắt mặt cầu tại c và D. cho CD = r\Í3 .
Tính độ dài AB.
Tính khoảng cách từ o đến đường thằng CD.
Đáp số: a) AB = r Vã ; b) OH =	.
2
Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = SB = sc = a và có chiều cao bằng h. Xác dinh tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Tính diện tích mặt cầu đó:
2	a4
Đáp số: a) r = V—;	b) s = 71^-.
2h	h2
Cho hình cầu tâm o bán kính r. Lấy điểm A trên mặt cầu và gọi (à) là mặt pliẳng đi qua A sao cho góc giữa OA và (a) bằng 30°.
Tính diện tích của thiết diện tạo bởi (a) và mặt cầu.
Đường thẳng A đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (à) cắt mặt cầu tại B. Tính độ dài đoạn AB.
Đáp Số: a) s =	1	;	b) AB = r.