Giải toán 12 Bài 3. Phương trình đường thẳng trong không gian

§3. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THANG
TRONG KHÔNG GIAN
A. KIẾN THỨC CĂN BẢN
PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THANG
Phương trình tham số của đường thẳng
a) Định lí: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng A đi qua điểm M0(x0; yo; Zo) và nhận a = (a.j; a2; a3) làm vectơ chỉ phương. Điều kiện cần và đủ để điểm M(x; y; z) nằm trên A là có một số thực t
sao cho:
X = x0 + ta-i y = y0 + ta2 z = z0 + ta3
Định nghĩa: Phương trình tham số của đường thẳng A đi qua điểm M0(x0; yo! Zo) và có vectơ chỉ phương a = (a^ a2; a3) là phương trình
'x = x0+ta1
có dạng: y = y0 + ta2 , trong đó t là tham số. z = z0 + ta3
Phương trình chính tắc của đường thẳng
Nếu a1f a2, a3 đều khác 0 thì người ta còn có thể viết phương trình của đường thẳng A dưới dạng chính tắc như sau:
X — Xn
y-y0
2 — Zf
a1	a2 a3
I. ĐIỀU KIỆN ĐỂ HAI ĐƯỜNG THANG song song, cat nhau, chéo nhau
Cho hai đường thẳng d và d' lần lượt đi qua M0(x0; y0; z0), M’o(x’o; y’o; z’o) và có vectơ chỉ phương lần lượt là ã = (aư a2; a3); ã’ (a’i; a’2; a’3).
Gọi h = [ã, ã']
1) d//d’o
3) d cắt d’ 
h = ỏ Mo Ểd'
h * ỏ
n.MoM'o =0 5)dld’« ă.ă' = 0.
h = 0 Mo ed'
2) d = d’ 
4) d và d’ chéo nhau h.MoM'o * 0
III. ĐIỂU KIỆN ĐỂ MỘT ĐƯỜNG THANG song song, cắt hoặc VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHANG
Cho đường thẳng d đi qua điểm M0(x0; y0; z0) và có vectơ chỉ phương là ã = (a< a2; a3) và cho mặt phẳng (a) có phương trình: Ax + By + Cz + D = 0. Gọi n = (A; B; C) là vectơ pháp tuyến của (a). Ta có các điều kiện sau:
ã.n = õ Mo i (a) 3) d cắt (a) o ả.h * 0
IV. TÍNH KHOẢNG CÁCH
ãn = õ Mo 6 (a) 4) d 1 (a) n = k ã.
2)d c (a) 
Trong không gian Oxyz, để tính khoảng cách từ điểm M đến đường
thẳng A ta thực hiện các bước:
Viết phương trình mặt phẳng (a) chứa M và vuông góc với A;
Tìm giao điểm H của A với (a);
Khoảng cách từ M đến A chính
là khoảng cách giữa hai điểm M
và H: d(M, A) = MH.
Để tính khoảng cách giữa đường
thẳng 'A và mặt phẳng (a) song
song với A ta thực hiện các bước:
Lấy một điểm M0(x0; y0; z0) tùy
ý trên A;
Khoảng cách giữa A và (a)
chính là khoảng cách từ điểm
Mo
Mo đến mặt phắng
(a):d(A, (a)) = d(Mo, («)).
Để tính khoảng cách giữa hai
đường thẳng chéo nhau A và A’
ta thực hiện các bước:
Viết phương trình mặt phẳng
(a) chứa đường thẳng A và
song song với đường thẳng A’;
Lấy một điểm M’o(x’o; y’o; z’o) tùy ý trên A’;
Khoảng cách giữa A và A’ chính là khoảng cách từ điểm M’o đến
mặt phẳng (a): d(A, A’) = d(M'o, (a)).
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
1. Viết phương trinh tham số của dường thẳng d trong mỗi trường hạp sau:
d đi qua điểm M(5; 4; 1) và có vectơ chí phương ã = (2; -3; 1).
d đi qua điếm A(2; -ỉ; 3) và vuông góc với mặt phẵng (P) có phương trình x+y-z + 5 = 0.
x = l + 2t
d đi qua điểm B(2; 0; - 3) và song song với đường thăng á: ■ y = -3 + 3t
z = 4t
d đi qua hai điểm P( li 2; 3) và Q(5; 4; 4).
Ốịiảl
X = 5 + 2t
Phương trình tham sô' của d là ■ y = 4 - 3t
z = 1 + t
Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (a): x + y- z + 5 = 0 nên d có vectơ chỉ phương là ã = (1; 1; -1)
X = 2 + t
X = 1 + 2t y = -3 + 3t z = 4t
Vậy phương trình tham sô' của đường thẳng d là: -Ị y = -1 + t z = 3 - t
Đường thẳng d song song với đường thẳng A:
X = 2 + 2t y = 3t z = -3 + 4t
nên d có vectơ chỉ phương ã = (2; 3; 4)
Vậy phương trình tham sô' của đường thẳng d là:
Đường thẳng d đi qua hai điểm P(l; 2; 3) và Q(5; 4; 4) nên d có vectơ chỉ phương là PQ = (4; 2; 1).
X = 1 + 4t
Vậy phương trình tham sô' của đường thẳng d là: í y = 2 + 2t z = 3 +1
Viết phương trình tham số của dường thẳng là hình chiếu vuông góc của dường thẳng (d): x = 2 + t
■ y = -3 + 2t lăn lượt trẽn các mặt phăng sau: a) (Oxy)	b) (Oyz)
z = l + 3t
éịiải
a) Phương trình mp(Oxy) là z = 0
Gọi (a) là mặt phẳng chứa d và vuông góc với (Oxy)
Vectơ chỉ phương của d là ă = (1; 2; 3). ,
'Mp(cx) nhận cặp vectơ chỉ phương là ãvàk= (0; 0; 1), do đó vectơ pháp tuyến của (a) là íĩa = [ã, k] = (2; -1; 0).
Hình chiếu vuông góc d’ của d trên Oxy là giao tuyến của hai mặt phẳng (a) và (Oxy).
Ta có (a) đi qua M(2; -3; 1) và vectơ pháp tuyến na = (2; -1; 0) nên (a) có phương trình: 2(x - 2) - (y + 3) = 0.
„	 Í2x-y-7 = 0
Vậy M(x; y; z) e d’ o y n (*) z = 0
Vectơ chỉ phương của d’ vuông góc với íĩa và k nên d’ có vectơ c .11 phương là: ă<r = [no,k] = (-1; -2; 0).
X = 2 -1 y = -3 - 2t
Từ (*) cho X = 2 => y - -3, z = 0 do đó A(2; -3; 0) 6 d’.
Phương trình tham sô' của d’ là:
b) Phương trình mp(0yz) là X = 0.
Gọi (p) là mặt phẳng chứa d và vuông góc với mp(0yz).
Mp(P) nhận ã và ĩ = (1; 0; 0) làm cặp vectơ chỉ phương nên vectơ pháp tuyến của (P) là: np = [ã, ĩ] = (0; 3; -2).
(p) đi qua M(2; -3; 1) và vectơ pháp tuyến ủp nên (P) có phương trình:
3(y - 2) - 2(z - 1) = 0 3y - 2z - 4 = 0
Í3x-2z-4 = 0
Ta có M(x; y; z) e đ” o	(**)
X = 0
(d” là hình chiếu của d lên mp(Oyz)).
Vectơ chỉ phương của d” vuông góc với hp và i nên d” có vectơ chỉ
phương là: ãd’= [n„, ỉ] = (0;-2;-3).
Từ (**) cho z = 1 => y = 2, X = 0. Do đó, B(0; 2; 1) e d".
fx = o
• y = 2 - 2t
Phương trình tham số của d” là:
X = 1 - 3t
Xét vị trí tương dối của các cặp đường thăng d và d’ cho bởi các phương trình sau:
X — -3 + 2t y = -2 + 3t z = 6 + 4t
X = 5 + t' y = -l-4t' z = 20 + t'
b) d:
X = 1 + t y = 2 + t z = 3-t
và
X = 1 + 2t'
y = -1 + 2t' z = 2-2t'
Ốịiải
-3 + 2t = 5 + t'
(1)
-2 + 3t = -l-4t'
(2)
6 + 4t = 20+ t'
(3)
f2t -1 ’ = 8
ft = 3
a) Xét hệ phương trình:
t' = -2
[3t + 4t' = l
Các giá trị này của t và t’ thỏa mãn phương trình (3). Vậy hai đường thẳng d và d’ cắt nhau tại M(3; 7; 18).
b) Đường thẳng d đi qua điểm M(l; 2; 3) và có vectơ chỉ phương ă = (1;1;-1), đường thẳng d’ đi qua điểm M’(l; -1; 2) vắ có có vectơ chỉ phương là ă' = (2; 2; -2).
Ta có: ã' = 2 ả và M g d’. Suy ra d’ // d.
Tìm a dể hai dường thẳng sau đây cất nhau d:
X = 1 + at y = t
z = -1 + 2t
và d':
x = l-t' y = 2 + 2t' z = 3-t'
íỹiải
đối với t và t’ có nghiệm:
Từ hệ (2) và (3) ta suy ra
Hai đường thẳng d và d’ cắt nhau khi và chỉ khi hệ phương trình sau đây 1 + at = 1 -1'	(1)
t = 2 + 2t'	(2)
-l + 2t = 3-t’ (3)
[t^2
t' = 0
Thay các giá trị trên của t và t’ vào phương trình (1) ta được: 1 + 2a a = 0. Vậy hai đường thẳng d và d’ cắt nhau khi và chỉ khi a = 0.
Tìm số giao điểm của dường thẩng d với mặt phẳng (P) trong các trường hạp sau:
x = 12 +4t y = 9 + 3t z = 1 + t
và (a): 3x + 5y - z - 2 = 0 X = 1 + t
d: • y = 1 + 2t z = 2-3t
x = 1 + t y = 2 -t z = l + 2t
b)d:
và (a): X + 3y + 2 + 1 = 0
và (a): X + ỵ + z - 4 = 0.
éịiải
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là ă = (4; 3; 1) Mp(a) có vectơ pháp tuyến n= (3; 5; -1)
Ta có ă.n = 4.3 + 3.5 + l.(-l) = 26 * 0
Vậy d không song song với (a) nên d cắt (a) tại một điểm duy nhất.
d đi qua điểm M(l; 2; 1) và có vectơ chỉ phương ả = (1; -1; 2), mặt phẳng (a) có vectơ pháp tuyến n = (1; 3; 1).
Ta có: ã. h = 1 - 3 + 2 = 0 (1) và M Ễ (a) (2).
Từ (1) và (2) suy ra d // (a) hay đường thẳng d và mặt phẳng (oc) không có điểm chung.
d đi qua điểm N(l; 1; 2) và có vectơ chỉ phương ã = (1; 2; -3), mặt phẳng (a) có vectơ pháp tuyến h = (1; 1; 1).
Ta có: ã. n = 1 + 2 - 3 = 0 (1) và => Ne (a) (2).
Từ (1) và (2) suy ra đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (a) hay d và (a) có vô số điểm chung.
6. Tinh khoảng cách giữa dường thẳng J:
X — —3 4- 2t
y = -1 + 3t và mặt phdng (a): 2x-2y + z + 3 = 0 z = -1 + 2t
ốỊiải
Đường thẳng A đi qua điểm M(-3; -1; -1) và có vectơ chỉ phương ã = (2; 3; 2);
mặt phẳng (a) có vectơ pháp tuyến n = (2; -2; 1).
Ta có: ã. n = 4 - 6 + 2 = 0 (1) và M Ễ (a) (2).
Từ (1) và (2) suy ra A // (a)
	 „	|2(-3) - 2(-l) - 1 + 3|	2
Vậy d(A, (a)) = d(M, (a)) = -	7===	1 = ỉ‘
X = 2 + t y = 1 + 2t z = t
V4 + 4 + 1	3
7. Cho điểm A(l; 0; 0) và đường thẳng A'
Tìm toạ độ điểm H là hình chiếu vuông góc của diếm A trên đường thẳng J.
Tìm toạ độ điểm A’ đổi xứng của A qua dường thẳng A
a)
ốịlải
Đường thẳng A có vectơ chỉ phương ãÁ = (1; 2; 1)
Gọi (a) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với A
Khi đó (a) có vectơ pháp tuyến na = ãA = (1; 2; 1)
Phương trình mặt phẳng (a) là:
(x - 1) + 2.y + 1.Z = 0 X + 2y + z - 1 = 0	(1)
Hình chiếu vuông góc H của A trên đường thẳng A là giao điểm của A và (a).
Thay X = 2 + t, y = 1 + 2t, z = t vào (1) ta được
2 + t + 2 + 4t + t- l = 0ot = -ị 2
o	 _ 3	-	1
Suy ra X = ị; y = 0; z = - j
VặyH(|;0;-ỉ).
Cách khác: Gọi H(2 + t; 1 + 2t; t) là hình chiếu vuông góc của A trên A, ta có:	AH = (1 + t; 1 + 2t; t).
Đường thẳng A có vectơ chỉ phương ảA = (1; 2; 1).
Do ÀH . ảA = 0, ta suy ra t = - ỉ. Vậy ta được H = I 0; - “) ■
2	V 2	2/
b) Gọi A’ là điểm đổì xứng của A qua A ÃÃ' = 2 AH
1
s
yA.-0 = 2(0-0) o
1
ZA. - 0 = 2| -A
XA. =0
yA=°
ZA. = -1
Vậy ta được A’(2; 0; -1).
8. Cho điểm M (1; 4; 2) và mặt phẳng (a):x + y + z-l = o
Tìm toạ dộ điểm H là hình chiếu vuông góc của điếm M trên mặt phảng (a).
Tỉm toạ độ điếm M’ đối xứng cúa M qua mặt phẩng (a).
Tính khoăng cách từ M đến mặt phẩng (a).
Ố^iẳl
a) Gọi A là đường thẳng đi qua M và vuông góc với mặt phẳng (a), vectơ
pháp tuyến ha= ã4 = (1; 1; 1) là vectơ chỉ phương của A nên A có
X = 1 +1
y = 4 + t
z = 2 + t
phương trình tham số là:
M
X í
C/
Tọa độ H là nghiệm của hệ phương trình:
X = 1 + t	M
(1)
y = 4 + t
(2)
z = 2 + t
(3)
x+y+z-l=o
(4)
Thay (1), (2), (3) vào (4) ta được:
l + t + 4 + t + 2 + t- l = 0e>3t + 6 = 0»t =
Khi đó X = -1; y = -2; z = 0. Vậy H(-l; 2; 0). b) Gọi M’ là điểm đôi xứng của M qua (a)
Ta có MM' = 2 MH •
XM. -1 = -4
yM-
'M*
■ 4 = -4 
XM - 3
yM =0 .Vậy M’(—3; 0; -2). ZM. = -2
c) Khoảng cách từ M đến mặt phẳng (a)
d(M, (a)) = MH = V(-2)2 + (-2)2 + (-2)2 = 2 Tã
Cách khác: d(M, (cc)) =
1 + 4+ 2-1
7l2+l2+l2 Tã
= 4 =273.
9. Cho hai đường tháng: d:
x = l-t
ỵ = 2 + 2t và d’: 2 = 3t
b) d:
c) d:
X = t y = l + t z = 2-t
X = t
y - -3t z = —1 + 2t
và
và
d’:
d’:
X = 9 + 2t' y = 8 + 2t' z = 10 — 2í'
X = 0 y = 9 z = 5t
X = 1 + t'
y = 3 - 2t', chứng minh d và d’ chéo nhau. 2 = 7
ÚỊlảl
Đường thẳng d đi qua điểm M0(l; 2; 0) và có vectơ chỉ phương ả = (-1; 2; 3) Đường thẳng d’ đi qua điếm M’o(l; 3; 1) và có vectơ chỉ phương ã' = (1; -2; 0) Ta có h = [ả, ấ] = (6; 3; 0)
MOM'(I = (0; 1; 1) MOM'U. h =3*0 Vậy d và d’ chéo nhau.
10. Giãi bài toán sau dây bàng phương pháp toạ độ: Cho hình lập phương AiBCD.A’B’C'D' có cạnh bằng 1. Tính khoáng cách từ dinh A đến các mặt phẳng (ABD) và (B’D’C).
éjiải
Ta chọn hệ tọa độ Oxyz sao cho 0 = A, 1 =
Trong hệ tọa độ Oxyz ta có:
A’(0; 0; 1),B(1; 0; 0), D(0; 1; 0), B’(l; 0; 1),
D’(0; 1; 1), C(l; 1; 0).
Đặt (a) = (A’BEỊ) và (p) = (B’D’C), ta có phương trình của các mặt phẳng (a), (P) là:
(a):	— ++ - = 1 x + y + z-l = 0;
111
(p):	(x - 1) + (y - 1) + z = 0
ox + y + z- 2 = 0;
Vì A(0; 0; 0) nên: d(A, (a)) = -===== = —f=
7i2+i2 + i2
d(A, (p)) =	= A
Vi2 +12 +12 73
c. BÀI TẬP LÀM THÊM
1. Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng d và d’ cho bởi các phương trình sau:
d’- x~2 = y~2 = z~7 3	2	2
Tính khoảng cách từ A(l; 0; 1) đến đường thẳng A:
X = 1 + 2t y = 2t z-t
3. Cho M(2; -1; 1) và đường thẳng A:
X = 1 + 2t y = -l-t z = 2t
Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với M qua đường thẳng A
Tính khoảng cách từ M đến đường thẳng A
4. Cho hai đường thẳng: d:
X = 1-t
y = 2 + 2t và d’: z = 3t
X = 1 +1'
y = 3 - 2t' Z-1
Lập phương trình đường vuông góc chung của d và d’ và khoảng cách giữa d và d’.
5. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Bằng phương pháp tọa độ, hãy tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng CA’ và DD’.