Giải toán 12 Ôn tập cuối năm

ÔN TẬP CUỐI NĂM
J. Cho lăng trụ lục giác đền ABCDEF.AB C D'EF', o và O' là tám dường tròn ngoại tiếp hai đáy, mặt phẩng <Pi đi qua trung điểm cúa 00' và cắt các cạnh bén của lăng trụ. Chứng minh ràng (P) chia lăng trụ đà cho thành hai da diện có thế tích bằng nhau.
Ốịlải
Gọi I là trung điểm của o và O'.
Giả sử mặt phẳng (P) chia lăng trụ đã cho thành hai đa diện (H) và (H’). khi đó phép đốì xứng qua tâm I biến (H) thành (H’), nên hai đa diện ấy bằng nhau và do đó chúng có thể tích bằng nhau.
Cho khối lập phương ABCD.A BCD’ cạnh bằng a. Gọi E và F lần lượt là trung điếm B c' và CD'. Mặt phđng (AEF) chia khối lập phương dó thành hai khối da diện (H) và <H'í trong dó (H) là khối da diện chứa dinh A ’. Tinh thế tích cua (H).
íjiẳi
Đường thẳng EF cắt A’B’ và A’D’ lần lượt tại M và N.
Gọi I là giao điểm của AN và DD’, J là giao điểm của AM và BB’.
Mặt phẳng (AEF) cắt hình lập phương theo thiết diện là ngũ giác AIFEJ.
•««"!-.. .TT" a
N
Do đó
ID’
ID
D'N
DA
= ỉ => ID’ = I. Tương tự: JB’ = I
Ta Có: Vj.B'ME = Vj.D’NF = I • I • Y • 3 = 72 ; Va-A’MN = 3 2
9a2
4
.a =
3a3
8
Từ đó suy ra: VH = V,
A.A’MN
=-V.
V,
I.D’NF =
3£
8
2.
a
72
fja*.
72
Ta có
Cho mặt cẩu (S) tâm o bán kính r. Hình nón có dường tròn đáy (C) và đinh I đều thuộc (S) dược gọi là hình nón nội tiếp mặt cầu (S). Gọi h là chiều cao cùa hình nón dó.
Tinh thể tích của hình nón theo r và h.
Xác định h dế thể tích cùa hinh nón là lớn nhất.
ỐỊlải
với a, b, c > 0 ta có:
Gọi A là điểm thuộc đường tròn đáy (C), H là tâm đường tròn (C), II’ là đường kính mặt cầu (S). Tam giác Air vuông tại A có đường cao AH nên:
AH2 = HI.HI’ = h(2r - h)
Thể tích hình nón là:
V = ị 7iAH2.h = ị n(2r - h)h2 3	3
(a + b + c)
3W
81
Áp dụng bất đẳng thức abc <
,r _ 71 oMkLx 71 f4r-2h + h + h V - 7-(4r - 2h)h.h < -7
6 6
Trong không gian Oxyz, cho hai điềm All: 2; -1); B(7; -2; 3) và đường thăng d có phương x = -l + 3t
trinh: • y = 2 - 2t z = 2 +2t.
Chứng minh ràng hai dường thẳng d và AB cùng nằm trong một mặt phảng.
Tìm điếm Ị trên d sao cho Aỉ + BI nhỏ nhất.
ốjiải
a) Ta có: AB = (6; -4; 4)
Vectơ chỉ phương của d là ảd = (3; -2; 2)
Ta có ÀB = 2ã(| và A Ể d nên AB // d.
Vậy AB và d cùng nàm trong một mặt phẵng.
b) Gọi A' là điểm đôi xứng của A qua d, ta có AI + BI AT + BI ngắn nhát A', I, B thẳng hàng.
Vậy điểm I cần tìm là giao điểm của A'B và d. Gọi M là trung điểm của AB, ta có M(4; 0; 1) và MỈ 1 ảd MỈ. ã.a = 0 Giả sử K-l + 3t, 2 - 2t, 2 + 2t)
MĨ = (-5 + 3t, 2 - 2t, 1 + 2t)
MĨ.ãd = 0 3(-5 + 3t) - 2(2 - 2t) + 2(1 + 2t) = 0 17t - 17 = 0 o t = 1
Vậy 1(2; 0; 4).
Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc vái mặt phẳng (ABC). Biết rằng AC = AD = 4 cm, AB - 3 cm, BC = 5 cm.
Tính thế tích tứ diện ABCD.
Tinh khoảng cách từ điểm A tới mặt phăng (BCD).
tfiải
- a) Ta có AC2 + AB2 = 32 + 42 = 52 = BC2 => AB 1 AC
Thể tích tứ diện ABCD => V = ỉ AB.AC.AD = 8 (cm3) 6
Chọn hệ trục sao cho các điểm A, B, c, D có tọa độ như sau:
A(0; 0; 0), B(3; 0; 0), C(0; 4; 0), D(0; 0; 4) Mặt phẳng (BCD) có phương trình theo đoạn chắn là:
Ta có: d(A, (BCD)) =	= 4=
716 + 979	734
Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S) có phương trinh X2 + y2 + z2 = 4cĩ (a > 0).
Tinh diện tích của mặt cầu (S) và thể tích của khối cầu tương ứng
Mặt cầu (S) cắt mặt phẩng (Oxy) theo một đường tròn (C). Xác định tám và bán kính của (C)
Tinh diện tích xung quanh của hỉnh trụ nhận (C) làm đáy và có chiều cao là a \Ỉ3 . Tinh thể tích của khối trụ tương ứng.
Ốjlảl
a) Mặt cầu (S) có bán kính r = 2a
Diện tích mặt cầu (S): s = 47tr2 = 16ĩta2
Thể tích của khôi cầu: V = — 7tr3 = ^7ta3 3	3
7.
b) Phương trình mặt phẳng Oxy là z = 0
M(x, y, z) e (C) »
Ịx2 + y2 +z2 = 4a2 ị	z = 0
íx2 + y2 = 4a2 ị z = 0
Vậy (C) có tâm 0(0; 0; 0) bán kính là r’ = r = 2a. c) Diện tích xung quanh khôi trụ: SXq = 2ĩirZ = 27t.2a.aT3 = 47ta2T3
Thể tích khối trụ: V = 7tr2Z = 47ta2.a 73 = 47ta3 73
Trong không gian cho hai dường thẳng di và dĩ có phương trình
dọ:
y=-l + t' z = t'
X = 2t'
Chứng minh rằng hai dường thẳng di và dọ chéo nhau
Viết phương trình của mặt phẵng (a) chứa di uà song song với dợ
Ốjiải
a) Đường thẳng d! đi qua Mid; 0; 0) vectơ chỉ phương là ăi = (-1; 1; -1) Đường thẳng d2 đi qua M2(0; -1; 0) vectơ chỉ phương là ã 2 - (2; 1; 1) Ta có n = [ãj, ã2] = (2;-1;-3)
M,M2 = (-1;-1; 0)
Suy ra M;M2 . n = -2 + 1 = -1 * 0 Vậy di và d2 chéo nhau.
b) Vectơ pháp tuyến mp(a) là: h = [ãj, ã2] - (2; -1; -3)
Phương trình mp(a) là: 2(x - 1) - y - 3z =0 hay 2x-y-3z-2 = 0
Trong không gian Oxyz cho các điểm A(l; 0; -1), B(3; 4; -2), C(4; -1; i), D(3; 0; 3)
Chứng minh rằng A, B, c, D không đồng phăng.
Viết phương trinh mặt phẳng (ABC) và tính khoảng cách từ'D đến mặt phẩng (ABC).
Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Tính thể tích tứ diện ABCD.
ốỳ.ải
Ta có:	AB = (2; 4; -1), Ãẽ = (3; -1; 2), ÃD = (2; 0; 4)
Ta có	n = [Ãẽ, AC] = (7; -7; -14)
=> n. AD = 2.7 + 4.Í-14) = -42 A 0 Vậy A, B, c, D không đồng phẳng.
Mp (ABC) đi qua A có vectơ pháp tuyến
n = (1; -1; -2) nên (ABC) có phương trình là
l(x - 1) - l(y - 0) - 2(z + 1) = 0 X - y - 2z - 3 = 0
Khoảng cách từ D đến mặt phẳng (ABC) là:
13-6-31	/-
d(D, (ABC)) = 7	1 = Tẽ
Tl + 1 + 4
Ta có ĂB = (2; 4; -1); ÃD = (2; 0; 4) => ÃB . ÃD = 0 => AB 1 AD (1)
41
2
CD = (-1; 1; 2), CB = (-1; 5; -3) => CD . CB = 0 => CB 1 CD (2) Từ (1) và (2) suy ra A và c thuộc mặt cầu đường kính BD. Tâm I mặt
cầu là trung điểm BD nên 1(3; 2; 7?) và bán kính R = IB = 2
Vậy phương trình mặt cầu là:
(X - 3)2 + (y - 2)2 + (z - ì) =
2	4
Ta có AB = (2; 4; -1)
ÃC = (3; -1; 2)
=> AB . AC = 0 => AB 1 AC Thể tích tứ diện ABCD là:
V = I SABC.d(D,(ABC)) = ỉ ỉ Tỗĩ. Tĩĩ. Tẽ 3	3 2
= 7.
Trong không gian Oxyz cho bốn điềm A(2; 4; -1), B(l; 4; -1), C(2; 4; 3), D(2; 2; -1).
Chứng minh rằng các dường thẳng AB, AC, AD vuông góc với nhau từng đôi một. Tính thề tích tử diện ABCD.
Viết phương trình mặt cầu (S) di qua bốn điểm A, B, c, D.
Viết phương trinh mặt phăng (a) tiếp xúc với mặt cầu (S) và song song với mặt phăng (ABD).
ốỳ.ải
a) ÃB = (-1; 0; 0), AC = (0; 0; 4), ÃD = (0; -2; 0)
Tacó: ÃB.ÃC = ÃC.ÃD = ÃD.ÃB =0
Suy ra AB, AC, AD vuông góc với nhau từng đôi một Thể tích tứ diện ABCD là: VABCD = ị AB.AC.AD =
o
Gọi M là trung điểm BC ta có M(^; 4; 1) 2
Gọi I thỏa MI = ị AD 2
Vậy tâm mặt cầu (S) là I( ; 3; 1) bán kính R = IA =
Vậy phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD là: (X
|)2 + (y-3)2 + (z- 1)2= y.
c) Ta có ÃB = (-1; 0; 0) và AD = (0; -2; 0)
Suy ra (a) có vectơ pháp tuyến n = [ÃB, ÁD]= (0; 0; 2), ta chọn
n ’ = (0; 0; 1). Phương trình mặt phăng (a) có dạng (a) có dạng z + D = 0. (a) tiếp xúc với mặt cầu (S) => d(I, (a)l = r.
/21
2
/21
2
D = -l +
D =-1 -
vậy có hai mặt phẳng (a) thỏa mãn đề bài:
/21
(oti): z - 1 +
= 0 và (oc2)- z - 1 -
= 0.
2 2
10. Trong không gian Oxyz cho đường thảng <d):
x = l-2t
y = 2 + t và mặt phăng ta): 2x + y + z = 0 z = 3-t
al Tìm tọa dộ giao điểm A của (d) và (a).
b) Viết phương trinh mật phẳng (p) qua A và vuông góc với Id).
éỹiải
a) Tọa độ giao điểm A của d và (a) là nghiệm của hệ phương trình
X = 1 - 2t
(1)
y = 2 + t
(2)
z = 3 - t
(3)
2x + y + z -
0 (4)
Thay (1), (2), (3) vào (4) ta được:
2(l-2t) + 2 + t + 3- t = 0 -4t + 7 = 0 t = -7 4
Khi đó X = —-; y = —; z = —
4	4	4
10 15 5
Vậy
4	4	4
b) Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là: ã d = (-2; 1; -1).
Mp(P) qua A vuông góc với đường thẳng d thì (P) có vectơ pháp tụyến.
ri = ã(i = (-2; 1; -1).
Vậy mặt phẳng (P) có phương trình:
10
15
,(5
1|<
4,
 -2x + y
30
- 0 4x - 2y + 2z + 15 = 0
ỉ 1. Trong không gian Oxỵz cho các điếm A(-l; 2; 0), B(-3; 0; 2), C( 1; 2; 3). D(0; 3; -2)
Viết phương trinh mặt phăng (ABC) và phương trinh tham sô của đường tliẩng AD.
Viết phương trình mặt phăng (a) chửa AD và song song với BC.
Ố^íảl
a) Mặt phẳng (ABC) có AB = (-2; -2; 2) và AC = (2; 0; 3).
=> ỏ = [ẤB, Ác] = (-6; 10; 4)
Suy ra mặt phẳng (ABC) có vectơ pháp tuyến ri = (-6; 10; 4), ta có thể chọn ri ' = (3; -5; —2)
Vậy phương trình cùa (ABC) là:
3(x + 1) - 5(y - 2) - 2z = 0 3x - 5y - 2z + 13 = 0.
Đường thẳng AD đi qua điểm A và có vectơ chỉ phương AD = (1; 1; -2)
X = -1 + t
Vậy phương trình tham số của đường thẳng AD là: ty = 2 + t
z = -2t
b) Mặt plìẳng (a) chứa AD và song song với BC với Ãĩ) = (1; 1; -2) và BC = (4; 2;. 1). Suy ra vectơ pháp tuyến của (a) là
ri = [ÃD, Be] = (5; -9; -2)
Phương trình mp(a) là:
5(x + 1) - 9(y - 2) - 2z = 0 » 5x - 9y - 2z + 23 = 0.
Trong không gian Oxyz cho bôn điếm A(3; -2; -2), B(3; 2; 0), C(0; 2; 1) và D(-l; 1; 2)
Viết phương trinh mặt phẩng (BCD). Suy ra ABCD là một tử diện.
Viết phương trình mặt cầu (S) tâm A và tiếp xúc vơi mặt phăng (BCD).
Tim tọa độ tiếp điểm cửa (S) và mặt phẳng (BCD).
tfiai
a) Ta có BC = (-3; 0; 1), BD = (-4; -1; 2)
vectơ pháp tuyến của (BCD) là: ũ = [bC, BD] = (1; 2; 3)
Phương trình mặt phẳng (BCD) là:
l(x - 3) + 2(y -2) + 3z = 0x + 2y + 3z-7 = 0
Thay tọa độ điểm A vào phương trình của (BCD) ta được
1(3) + 2(-2) + 3(-2) - 7 = -14 * 0, suy ra A í (BCD)
Vậy ABCD là một tứ diện.
Mặt cầu (S) có tâm A và tiếp xúc với (BCD) có bán kính
R = d(A, (BCD)) = , - l~14l	= 7Ĩ4 .
Vl2+22+32
Vậy phương trình của mặt cầu (S) là:
(x - 3)2 + (y + 2)2 + (z + 2)2 = 14
Gọi A là đường thẳng đi qua A và vuông góc với (BCD). Phựơng trình
X = 3 + t
tham sô' của A là:
y = -2 + 2t z = -2 + 3t
Thay X = 3 + t, y = -2 + 2t, z = -2 + 3t vào phương trình mp(BCD) ta được: 3 + t + 2(-2 + 2t) + 3(—2 + 3t) - 7 = 0 => t = 1
Khi đó X = 4; y = 0; z = 1
Vậy H(4; 0; 1) là tiếp điểm của (S) với mp(BCD).
13. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng:
X = -1 + 3t
d,:
y = 1 + 2t z = 3 - 2t
và d?:
x = t' y = 1 + t' z = -3 + 2t'
Chứng minh di và dỉ cùng thuộc một mặt phẳng.
Viết phương trình mặt phẩng dó.
éịiải
a) Giải hệ phương trình:
-l + 3t = t’
• 1 + 2t = 1 + t ’	
3 - 2t = -3 + 2t ’
Vậy hai đường thẳng di và d2 cắt nhau tại M(2; 3; 1) => di và d2 cùng thuộc một mặt phẳng.
b) di và d2 lần lượt có vectơ chỉ phương là ã 1 - (3; 2; -2), ã 2 = (1; 1; 2) n = [ă], ã2] = (6; -8; 1)
Mặt phẳng (a) đi qua M(2; 3; 1) và có vectơ pháp tuyến là n = (6; -8; 1) Vậy phương trình tổng quát của mặt phẳng (a) chứa di và d2 là:
6(x - 2) - 8(y - 3) + l(z - 1) = 0 6x - 8y + z + 11 = 0
14. Trong không gian cho ba điểm A, B, c.
Xác định điềm G sao cho GA + 2GB - 2GC = 0 .
Tim tập hợp các điểm M sao cho MA2 + 2MB2 - 2MC2 = k2, với k là hằng sô.
Ốịlải
Ta có: GÃ + 2GB - 2GC = ổ o GA + 2(GB - GC) = õ
o GÃ + 2CB = õ o ÃG = 2CB Vậy G là điểm xác định bởi hệ thức AG = 2CB .
Ta có: MA2 + 2MB2 - 2MC2 = k2
« (gá - mg)2 + 2(gỔ -
2( GC - GM )2 = k2
GA2 + 2GB2 - 2GC2 + GM2 - 2 GM(GA + 2 GB - 2 GC ) = k2 MG2 = k2 - (GA2 + 2GB2 - 2GC2)
Từ đó suy ra
Nếu k2 - (GA2 + 2GB2 - 2GC2) < 0 thì M không tồn tại.
Nếu k2 - (GA2 + 2GB2 - 2GC2) = 0 thì M = G.
Nếu k2 - (GA2 + 2GB2 - 2GC2) > 0 thì tập hợp các điểm M là mặt cầu tâm G, bán kính bằng ựk2 - (GA2 + 2GB2 - 2GC2).
15. Cho hai dường thẳng chéo nhau: d:
X = 2 + 2t' y = t' z = 1 + t'
x = 2-t y = -1 + t và d': z = 1 — t
Viết phương trình các mặt phẩng ta) và (p) song song với nhau và lần lượt chứa d và d'.
Lấy hai điếm M(2; -1; 1) và Mt2; 0; 1) lần lượt trên d và d'. Tính khoảng cách từ M đến mặt phảng tp) và khoảng cách từ điểm M'đến mặt phắng (a). So sánh hai khoảng cách đó.
ố^làl
a) Hai mặt phẳng (a) và (P) cùng song song hoặc chứa giá của hai vectơ ả = (-1; 1; -1) và b = (2; 1; 1). Suy ra (a) và (p) có cùng vectơ pháp tuyến
h = [ã, b] = (2; -1; -3)
Lấy điểm A(2; -1; 1) trên d và điểm A’(2; 0; 1) trên d’.
Ta có phương trình của (a) là:
2(x - 2) - Ky + 1) - 3(z - 1) = 0 o 2x - y - 3z - 2 = 0 Tương tự phương trình của (p) là:
b) d(M, (P) =
2(x - 2) - Ky - 0) - 3(z - 1) = 0 o 2x - y - 3z - 1 = 0 |2(2)-(-!)-3(1)-l| _	1
74+1+9	~ 7Ĩ4
|2(2) - 0 - 3(1) - 2| _ 1 d(M , (ct)) = 1	,	-	'	1 = -7=
74 + 1 + 9	714
Vậy d(M', (p)) = d(M, (a)).
16. Trong không gian Oxyz cho mặt phảng (a) có phương trình 4x + y + 2z + 1 = 0 và mặt phúng (/)) có phương trình 2x - 2y + z + 3 = 0.
Chứng minh rằng 1 a) cát (p).
Viêt phương trinh tham sô của dường thẳng d là giao cùa ta) và (p).
Tim điểm M'là ảnh của M<4; 2; 1) qua phép dối xứng qua mặt phảng (a).
Tìm điểm N'là ánh cửa N(0; 2; 4) qua phép dối xứng qua dường thẳng d.
Ốịiải
Mp(a) có vectơ pháp tuyến ồa = (4; 1; 2)
Mp(P) có vectơ pháp tuyến rip = (2; -2; 1) ria, ri p không cùng phương nên (a) cắt (P).
Gọi d = a n p
Vectơ chỉ phương của d vuông góc với ỏa và ỏ'p Nên ảd = [riu, rip] = (5; 0; -10) = 5(1; 0; -2)
Tìm điểm M trên d. cho X = 0 ta tìm y, z từ hệ:
Jy + 2z + l = 0	í y = 1
[-2y + z + 3 = 0	[z =-1
X = t
■ y = 1 z = -1 - 2t
Vậy M(0; 1; -1) e d.
X = 4 + 4t •y = 2 + t
z = 1 + 2t
Phương trình tham số của d là:
Phương trình của đường thẳng A qua M và vuông góc với (a) là
Để tìm giao điểm Mo của A với (a) ta giải phương trình
4(4 + 4t) + 2 + t + 2(1 + 2t) + 1 = 0 «> 21t + 21 = 0 o t = -1
Suy ra X = 0; y = 1; z = -1. Vậy Mo(O; 1; -1).
Vì M’ là điểm đôi xứng của M qua (a) nên: MM' = 2MM,, suy ra M’(-4; 0; -3).
Mặt phẳng (y) qua N và vuông góc với d có phương trình:
X - 2(z - 4) = 0 X - 2z + 8 = 0.
Để tìm giao điểm No của d và (y) ta giải phương trình: t - 2(-l - 2t) + 8 = 0 5t + 10 = 0 t = -2
Khi đó X = -2; y = 1; X = 3.
Vậy No (-2; 1; 3).
Vì N’ là điểm đối xứng của N qua d nên NN' = 2NNg .
Suy ra N’(-4; 0; 2).