Giải toán 12 Bài 2. Phương trình mặt phẳng
§2. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHANG A. KIẾN THỨC CĂN BẢN VECTƠ PHÁP TUYẾN CỦA MẶT PHANG Định nghĩa Cho mặt phẳng (a). Nếu vectơ h khác ố và có giá vuông góc với mặt phẳng (a) thì h được gọi là vectơ pháp tuyến của (a). PHƯƠNG TRÌNH TổNG QUÁT CỦA MẶT PHANG Nếu mặt phẳng (a) song song hoặc chứa giá của hai vectơ khác phương là ã = (aơ a2; a3) và b = (bi; b2; b3) thì (a) có một vectơ pháp tuyến là h = (a2b3 — a3b2; a3bj — a-ib3; aib2 — a2b(). Vectơ h được gọi là tích có hướng (hay tích vectơ) của hai vectơ ã và b, kí hiệu là ã A b, hoặc [ã, bi ■ Phương trình mặt phẳng (a) đi qua điểm M0(x0; y0; z0) và nhận vectơ n = (A;B;C) khác õ làm vectơ pháp tuyến là: A(x-xo) + B(y-yo) + C(z-zo) = O Nếu mặt phẳng (a) có phương trình tổng quát là Ax + By + Cz + D = 0 thì nó có một vectơ pháp tuyến là li = (A; B; C). Nếu mặt phẳng (a) cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm có tọa độ là A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) với abc * 0 thì (a) có phương Z ,, X V z trình theo đoạn chăn là: - + 7- + - = 1. a b c ĐIỀU KIỆN ĐỂ HAI MẶT PHANG song song, VUỎNG góc Cho (cti): A1X + B-iy + C1Z + D1 = Oj n-j = (Aiị Biỉ C-i) (ữ.2): A2X 4- B2y + C2Z + D2 = 0; n2 = (A2Ỉ B2Ị C2) (oq) // (a2) (a,) = (a2) h1 = kh2 í(A-j; B1; C1)-k(A2; B2; c2) D1 * kD2 [D1 * kD2 h1 = kri2 Ị(Aj; B-ị! C1) = k(A2; B2; c2) D-| — kD2 [D, = kD2 (ơi) _L (cx2) n.|. n2 = 0 A-ịA2 + B(B2 + CflC2 — 0. IV. KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT DIEM Đẻ'n một mặt phang Định lí: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình Ax + By + Cz + D = 0 và điểm M0(x0; yo; z0). Khoảng cách từ điểm Mo đến mặt phẳng (P), kí hiệu là d(M0, (P)), được tính theo công thức Ị Axq + By0 + Cz0 + Dị Va2 +B2 +c2 B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Các bài tập sau đây đều xét trong không gian Oxyz. 1. Viết phương trình của mặt phẩng Đi qua điểm M(l; -2; 4) và nhận à = (2; 3; 5) làm vecta pháp tuyến. Đi qua điểm A(0; -1; 2) và song song với giá cửa hai vectơ ã = (3; 2; 1) và V = (-3; 0; 1). Đi qua ba điểm A(-3; 0; 0), B(0; -2; 0), C(0; 0; -1). tfiai Mặt phẳng (a) đi qua M(l; -2; 4) và nhận h = (2; 3; 5) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là: (a): 2(x - 1) + 3(y + 2) + 5(z - 4) = 0 2x + 3y + 5z - 16 = 0 Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đã cho là li = [ ũ; V ] = (2; -6; 6). (a) qua A(0; -1; 2) có veetơ pháp tuyến ĩi = (2; -6; 6) có phương trình là: 2(x - 0) - 6(y + 1) + 6(z - 2) = 0 X - 3y + 3z - 9 = 0. Mặt phẳng (a) có phương trình theo đoạn chắn là: -4? + = 1 hay 2x + 3y + 6z + 6 = 0 . -3-2-1 J J Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB với A(2; 3; 7), B(4; 1; 3). ỐỊiải Đoạn thẳng AB có trung điểm là 1(3; 2; 5). Gọi (a) là mặt phẳng trung trực của đoạn AB, ta có (a) đi qua I và có vectơ pháp tuyến là ÃB = (2; -2; -4). Vậy phương trình của mặt phẳng (a) là: 2(x - 3) - 2(y - 2) - 4(z - 5) = 0 X — y - 2z + 9 = 0 a) Lập phương trình của các mặt phẳng toự độ (Oxy), (Oyz), (Oxz). b) Lập phương trình của các mặt pliẵng di qua điểm M(2; 6; -3) và lần lượt song song vái các mặt phẵng toạ độ. tfiai Mặt phẳng Oxy đi qua gốc toạ độ 0(0; 0; 0) và có vectơ pháp tuyến k = (0; 0; 1) nên có phương trình là: z = 0. Tương tự mặt phẳng (Oyz), (Oxz) lần lượt có phương trình là X = 0, y = 0. Gọi (a), (p), (y) là các mặt phẳng đi qua điểm M(2; 6; -3) và lần lượt song song với các mặt phẳng tọa độ (Oxy), (Oyz) và (Ozx). Ta suy ra các mặt phẳng (a), (p), (y) có phương trình lần lượt là: z + 3 = 0, X - 2 = 0, y - 6 = 0. Lập phương trình của mặt phẵng: Chứa trục Ox và điếm P(4; -1; 2). Chứa trục Oy và điểm Q( 1; 4; -3). Chứa trục Oz và điểm R(3; -4; 7). úịiảl Mặt phẳng (a) chứa P(4; -1; 2) và trục Ox thì (a) có cặp vectơ chỉ phương là ĩ = (1; 0; 0) và ÒP = (4; -1; 2). Do đó (ct) có vectơ pháp tuyến là n = [ỉ, op] = (0; -2; -1). Phương trình của (a) là: -2y - z = 02y + z = 0. Mặt phẳng (P) chứa Q(l; 4; -3) và trục Oy thì (p) có cặp vectơ chỉ phương là J = (0; 1; 0) và OQ = (1; 4; -3). Do đó (P) có vectơ pháp tuyến là n = [ j , OQ] = (-3; 0; -1). Phương trình của (p) là: -3x - z = 0 o 3x + z = 0. Mặt phẳng (y) chứa điểm R(3; -4; 7) và trục Oz và (y) có cặp vectơ chỉ phương là k = (0; 0; 1) và ÕR = (3; —4; 7) do đó (y) có vectơ pháp tuyến là h = [k, or] = (4; 3; 0). Phương trình của (y) là 4x + 3y = 0. Cho tứ diện có các dính là A(5; 1; 3), B(l; 6; 2), C(5; 0; 4), D(4; 0; 6) Hãy viêt phương trình của các mặt phăng (ACD) và (BCD) Hãy viêt phương trình mặt phẳng (P) đi qua cạnh AB và song song với cạnh CD. 6. 7. 8. ốịlảl Ta có AC = (0; -1; 1); AD = (-1; -1; 3) Mặt phẳng (ACD) có vectơ pháp tuyến ri = [ác, ad] = (-2; -1; -1) Vậy phương trình của mặt phẳng (ACD) là: -2(x - 5) - l(y - 1) - l(z - 3) = 0 o 2x + y + z - 14 = 0 Tương tự mặt phẳng (BCD) có phương trình là: 6x + 5y + 3z - 42 = 0 Ta có: AB = (-4; 5; -1) và CD = (-1; 0; 2), suy ra mặt phẳng (a) có vectơ pháp tuyến là’ ri = [aẽ, cd] = (10; 9; 5) Vậy phương trình của mặt phẳng (a) là: 10(x - 5) + 9(y - 1) + 5(z - 3) = 0 lOx + 9y + 5z - 74 = 0 Hãy viết phương trình mặt phẳng (a) đi qua điếm M(2; -1; 2) và song song với mặt phẵng (/)): 2x - y + 3z + 4 = 0. Ốịlảl Mặt phẳng (a) song song với mặt phẳng (P) nên (a) có dạng: (a): 2x - y + 3z + D = 0. Vì (a) qua M(2; - 1; 2) nên 2.2 + 1 + 3.2 + D = 0 => D = -11 Vậy (a): 2x - y + 3z - Ị1 = 0. Lập phương trinh của mặt pliẵng (a) di qua hai điềm All; 0; 1), B(5; 2; 3) và vuông góc với mặt phăng 1/3): 2x - y + z - 7 = 0 . Ta có AB = (4; 2; 2) và vectơ pháp tuyến của mp(P) là np = (2; -1; 1) Vectơ pháp tuyến của mp(a) là na = [ÃB, n~] = (1; 0; -2) Vậy phương trình của mặt phẳng (a) là: l(x - 1) + o.(y - 0) - 2.(z -l) = 0x-2z+l = 0 Xác định các giá trị của m và n đế mỗi cập mặt phắng sau đây là một cặp mặt phẵng song song với nhau: 2x + my + 3z - 5 = 0 va nx - 8y - 6z + 2 - 0 éỹiải Với mặt phăng (a): 2x + my + 3z - Ta có: (a) // (P) =' - - * 2 -8 -6 Với mặt phăng (a): 3x - 5y + mz - Ta có: (a) // (P) I = — = * 2 n -3 5 = 0 và (P): nx - 8y - 6z + 2 = 0. -5 in =-4 —- 5 2 [m = 4 3 = 0 và (P): 2x + ny - 3z + 1 = 0. 10 3x -5y + mz - 3 = 0 và 2x + ny - 3z + 1 = 0 Tính khoảng cách từ điểm A(2; 4; - 3) lần lượt đến các mặt phẳng sau: 2x - y + 2z - 9 = 0; b) 12x - 5z + 5 = 0; c) X = 0 íỹiảl Với mặt phẳng (a): 2x - y + 2z - 9 = 0, , , |2.(2) - (4) + 2(-3) - 9| c 7l + 0 + 0 Giải bài toán sau đăy bằng phương pháp toạ độ: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng 1. Chứng minh rằng hai mặt phẳng (ABT)’) và (BC’D) song song với nhau. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng nói trên. tfiai Chọn hệ trục toạ độ như hình vẽ. Ta có: A(0; 0; 0), B(l; 0; 0), C(l; 1; 0), D(0; 1; 0) A’(0; 0; 1), B’(l; 0; 1), C’(l; 1; 1), D’(0; 1; 1) a) Đặt (a) = (AB'D') và (3) = (BCD). Ta có: ÃẼ' = (1; 0; 1) và ÃD' = (0; 1; 1), suy ra mặt phẳng (a) có vectơ pháp tuyến là riQ = [ÃB', ÃD'] = (1; 1; -1) Vậy phương trình của mặt phẳng (a) là X + y - z = 0. Ta có BỠ = (0; 1; 1) và BD = (-1; 1; 0) Suy ra mặt phẳng (3) có vectơ pháp tuyến là rip = [bC',BD] = (-!;-!; 1) Phương trình mp(P) là: Ta có: ỉ 1 -l(x - 1) - l.y + 1.Z = 0 « X + y - z - 1 = 0. vậy hai mặt phẳng (ct) và (3) song song nhau. b) d((a), (3)) = d(A, (3)) = -ự- _ = -4 7l2+l2+(-l)2 73 c. BÀI TẬP LÀM THÊM Viết phương trình mặt phẳng trong những trường hợp sau: Đi qua điểm Mo = (1; 3; -2) và vuông góc với trục Oy. Đi qua điểm Mo = (1; 3; -2) và vuông góc với đường thẳng MịMỉ, ở đây M, (0; 2; -3), M2 = (1; -4; 1). Đi qua điểm Mo = (1; 3; -2) và song song với mặt phẳng 2x - y + 3z + 4 = 0. Đáp số: y - 3 = 0 ; b) X - 6y + 4z + 25 = 0; c) 2x - y + 3z + 7 = 0. Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng (a) đi qua 2 điểm A(2, -1, 4), B(3, 2, -1) và vuông góc với mặt phẳng x + y + 2z-3 = 0. Hướng dẫn: (a) đi qua A(2, -1, 4) nhận AB - (1, 3, -5) và n = (1, 1, 2) làm cặp vectơ chỉ phương, (a): llx - 7y - 2z - 21 = 0. Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng (a) đi qua M(3, -1, -5) dồng thời vuông góc với mặt phẳng 3x - 2y + 2z + 7 - 0 và mặt phẳng: 5x - 4y + 3z + ỉ = 0. Hướng dẫn: (a) qua M(3, -1, -5) nh'ận h = (3, -2, 2); m = (5, -4, 3) làm cặp vectơ chỉ phương nên có pháp vectơ ủ = (2, 1, -2). (a): 2x + y - 2z - 15 = 0. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ biết A’(0, 0, 0), B’(a, 0, 0), 0’(0, a, 0), A(0, 0, a) trong đó a > 0. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và B’C’. viết phương trình mặt phang (a) đi qua M và song song với hai đường thẳng AN và BD’. Hướng dẫn: Vectơ chỉ phương là: AỸ = |a, -oj = I (2, 1, -2); BD’ = (-a, a, -a) = -a(l, -1, 1) y Ob Pháp vectơ là: h = (-1, -4, -3), (a): X + 4y + 3z - = 0. 2 Cho A(2; 3; 4). Viết phương trình mặt phẳng (a) di qua các hình chiếu của A trên các trục tọa độ. Đáp sô': (a): Ặ + 4 = 1- p 2 3 4