Giải toán 12 Bài 3. Khái niệm vê thể tích của khối đa diện

§3. KHÁI NỆM VỀ THỂ TÍCH CỦA KHốI ĐA DỆN
KIẾN THỨC CĂN BẤN
Thể tích V của khối chóp có diện tích đáy B và chiều cao h là V = Bh.
Thể tích V của khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h là V = Bh.
Thể tích của khối hộp bằng tích của diện tích đáy và chiều cao của nó.
Thể tích của khối hộp chữ nhật bằng tích ba kích thước của nó.
Chú ý:
Tỉ số thể tích của hai khối đa diện đồng dạng bằng lập phương tỉ số đồng dạng.
Trong một số bài toán ta thường sử dụng kết quả sau: Cho khối chóp
S.ABC. Trên các đoạn thẳng SA, SB,SC lần lượt lấy ba điểm A’, B’, C’
.. .	.. o izkii z4A VS.A'BC _ SA' SB' SC'
khác với s. Khi đó . °	= —-7-. —-Z-.——.
Vs.ABC	2 A SB SC
PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
ỉ. Tính thế tích cửa khối tứ diện đều cạnh a.
íỹiải
Cho tứ diện đều ABCD. Hạ đường cao AH của tứ diện, do các đường xiên AB, AC, AD bằng nhau nên các hình chiếu của chúng: HB, HC, HD bằng nhau.
Do BCD là tam giác đều nên H là trọng tâm của tam giác BCD.
aự3
BI là đường cao tam giác đều cạnh a nên BI = —.
2
rp - rjTT _ 2 TJT _ 2 a>/3 a 73 Ta có BH = — BI = — -4— = —
3	3	2	3
Trong tam giác vuông ABH ta có:
r—\2
aTf
3
AH2 = AB2
AH
BH2 = a2 -
2az
Diện tích tam giác BCD: s =
a2 73
A
D
v=ỉs.h = ỉ.ỉĩA 3	3	4
Thê tích tứ diện là:
2. Tínli thề tích bát diện đều cạnh a.
Ốịiải
Cho khối bát diện đều ABCDEF cạnh a. thể tích khô'i bát diện là: V = 2Vr.abcd- ABCD là hình vuông cạnh a, EH là đường cao hình chóp E.ABCD.
'aTã
2
Ta có: EH2 = AE2 - AH2 = a2 -
E
/d/Ja
/ ..••Ạ-.--í—\-	
	7^/
\i /B/
Do đó: V = 2.1 .a2.
3
>72
2	3
3. Cho hỉnh hộp ABCD.A'B'C'D'. Tinh ti số thế tích cửa khối hộp dó và thể tích của khối tứ
diện ACB'D'.
Ốjỉải
Gọi s là diện tích đáy ABCD và h là chiều cao của khôi hộp. Chia khối
hộp thành khối tứ diện ACB'D' và bôn khôi chóp A.A'B'D', C.C'B'D',
B'.BAC và D'.DAC.
Ta có diện tích tam giác A'B'D' là
SA'B’D' = — Sa b c d' = — s
Thể tích khôi chóp A.A'B'D' là
VA.AB'D = j.h.|s= js.h.
3	2	6
Tương tự Vc.c'B'D' = VB..BAC = VD. .DAC = — s.h.
6
Vậy thế’ tích khối tứ diện ACB'D' là:
Vacb d' = Vabcd.abcd' - 4VAA B’D' = s.h - -- s.h = 4- Sh.
6	3
Vậy
’ ABCD.A’B’C'D'
V,
ACB'D'
Sh
-Sh
= 3.
4. Cho hình chóp S.ABC. Trên các đoạn thẳng SA, SB, sc lần lượt lấy các điểm A‘, B', C’
khác với s.
Chứng minh rằng	= ^_SB_SC_
VSABC SA SB sc
íỹiải
Gọi H và H' lần lượt là hình chiếu của A và
A’ trên mp(SBC). Khi đó s, H, H' thẳng
hàng (vì chúng là hình chiếu của ba điểm
thẳng hàng s, A, A' trên mp(SBC)).
A’H' = SA'
AH - SA
1
Vì A'H' // AH nên
SB'.SC'.sinB'SC
Ta có:
SB'C'
SBC
-SB.SC. sin BSC
SB' SC SB ■ SC
Suy ra:
-’SA'BC’
gSSB.c..A'H' gA, gB, sc.
SA ■ SB ■ SC
jssBC.AH
5. Cho tam giác ABC vuông cân tại A và AB = a. Trên dường thẳng qua c và vuông góc với
mặt phăng (ABC), lấy điếm D sao cho CD = a. Mặt phẩng qua c và vuông góc với BD, cắt
BD tại F và cắt AD tại E. Tinh thề tích của khối tứ diện CDEF theo a.	D
tfiai
BA 1 CD ì
Ta có:
BAI CA
BA 1 (ADC) =5 BAI CE.
Mặt khác BD 1 (CEF) => BD 1 CE.
Từ đó suy ra CE 1 (ABD) => CE 1 EF, CE ± AD
Vì tam giác ACD vuông cân
_ r>TA _ „	rvo AD aự2
CA = CD = a, nên CE = —— = ——-
2 2
Ta có BC = a 72 , BD = 72a2 + a2 - a 73
Trong tam giác vuông BCD ta có CF.BD = CB.CD (= 2Sbcd)
CB.CD a72.a
„„ CB.CD aV2.a _ 2 BD 273 V 3
EF = 7CF2 - CE2 = J|a2
V3 2
DF = 7dC2 - CF2 = Ja2 -
2£
3
a76
aTã
3
Diện tích tam giác CEF là SCEF = ị EC.EF = ị . ^ệ-. ^ệ- = ịệ- 2 2 2 6 12
1	 a3
Thể tích khối tứ diện DCEF là VDCEF = DF.Scef = 77T- 3	36
Cho hai đường thẳng chéo nhau d. và d'. Đoạn thảng AB có độ dài a trượt trên d, đoạn thẳng CD có độ dài b trượt trên d'. Chứng minh rằng khối tứ diện ABCD có thể tích không dổi.
Ốjlảí
Gọi h là độ dài đường vuông góc chung của d và d', a là góc giữa hai đường thẳng d và d’. Qua B, A, c dựng hình bình hành BACF. Qua A, c, D dựng hình bình hành ACDE. Khi đó ABE.CFD là một hình lăng trụ tam giác. Ta có:
Vbadc= Vbade = Vb.abe = — Vabe.cfd
O
= — h.S.ABE — ẬhẬab.since = Ậh.ab.sina 3	3	2	6
là một số không đổi.
c. BÀI TẬP LÀM THÊM
Cho hỉnh chóp tam giác đều S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên tạo với đáy một góc 60°. Tính thể tích khối chóp đó.
T-. X oA'-	o3
Đáp so:	a .
12
Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác vuông ở B cạnh SA vuông góc với đáy. Kể AD A SB và AE A se. Cho biết AB = SA = 1, BC = 2.
Tính thể tích khối chóp S.ADE.
Tính khoảng cách từ E đến mp(SAB)
Đáp số: a) V =	; b) d = I.
90	3
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = a, BC = 2a, AA' — a. Lấy điểm M trên cạnh AD sao cho AM = 3MD.
Tính thể tích khối chóp M.AB'C.
Tính khoảng cách từ M đến mp(AB'C)
Đáp số: a) ;	b) d =	.