Giải toán 12 Bài 1. Khái niệm vè mặt trong xoay

  • Bài 1. Khái niệm vè mặt trong xoay trang 1
  • Bài 1. Khái niệm vè mặt trong xoay trang 2
  • Bài 1. Khái niệm vè mặt trong xoay trang 3
  • Bài 1. Khái niệm vè mặt trong xoay trang 4
  • Bài 1. Khái niệm vè mặt trong xoay trang 5
  • Bài 1. Khái niệm vè mặt trong xoay trang 6
  • Bài 1. Khái niệm vè mặt trong xoay trang 7
  • Bài 1. Khái niệm vè mặt trong xoay trang 8
§1. KHÁI NIỆM MẶT TRÒN XOAY
A. KIẾN THỨC CĂN BẲN I. MẶT NÓN TRÒN XOAY 
1. Định nghĩa
Trong mặt phẳng (P) cho hai đường thẳng
d và A căt nhau tại o và tạo thành góc 3 không đổi với 0° < 3 < 90°. Khi. quay mặt phẳng (P) xung quanh A thì đường thẳng d sinh ra một mặt tròn xoay được gọi là mặt nón tròn xoay đỉnh 0 (gọi tắt là mặt nón). Đường thẳng A gọi là trục, đường thẳng d gọi là đường sinh và góc 23 gọi là góc ở đỉnh của mặt nón đó
2. Hình nón tròn xoay và khối nón tròn xoay
Cho tam giác OIM vuông tại I. Khi quay tam
nón tròn xoay (hay hình nón). Hình tròn tâm
. M
đường sinh của hình nón đó.
Khối nón tròn xoay (hay khối nón) là phần không gian được giới hạn bởi một hình nón tròn xoay kể cả hình nón đó.
Diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay
Gọi Sxq là diện tích xung quanh của hình nón có bán kính đường tròn đáy bằng r và độ dài đường sinh bằng l:
Ta có công thức: Sxq = 7irZ.
Diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay: Stp = Sxq + Sđ = 7irZ + 7tr2
Thể tích khối nón tròn xoay
Khối nón tròn xoay có chiều cao h và có diện tích đáy là B thì thể tích là
V = ^Bh = ^7tr2h 3	3
MẶT TRỤ TRÒN XOAY
Định nghĩa
Trong mặt phẳng (P) cho hai đường thẳng A và l song song với nhau, cách nhau một khoảng bằng r. Khi quay mặt phẳng (P) xung quanh A thì đường thẳng l sinh ra một mặt tròn xoay được gọi là mặt trụ tròn xoay. Người ta thường gọi tắt mặt trụ tròn xoay là mặt trụ. Đường thẳng A gọi là trục, đường thẳng l gọi là đường sinh và r là bán kính của mặt trụ đó.
Hình trụ tròn xoay và khối trụ tròn xoay
Cho hình chữ nhật ABCD. Khi quay hình chữ nhật đó xung quanh đường thẳng chứa một cạnh, ví dụ cạnh AB thì đường gấp khúc ADCB tạo thành một hình được gọi là hình trụ tròn xoay (còn được gọi tắt là hình trụ).
Khi quay quanh AB, hai cạnh AD và BC sẽ tạo ra ra hai hình tròn bằng nhau được gọi là hai đáy của hình trụ, còn cạnh CD gọi là độ dài đường sinh tạo ra mặt xung quanh của hlnh trụ. Khoảng cách AB giữa hai mặt phẳng song song chứa hai đáy là chiều cao của hình trụ.
Khối trụ tròn xoay là phần không gian được giới hạn bởi một hình trụ tròn xoay kể cả hình trụ đó. Khối trụ tròn xoay còn gọi tắt là khối trụ. Ta gọi mặt đáy, chiều cao, đường sinh của khối trụ theo thứ tự là mặt đáy, chiều cao, đường sinh của hình trụ tương ứng làm giới hạn cho khối trụ đó.
Diện tích xung quanh của hình trụ tròn xoay
Nếu gọi Sxq là diện tích xung quanh của hình trụ có bán kính đáy là r và có đường sinh là l ta có công thức: Sxq = 2ĩirZ.
Diện tích toàn phần của hình trụ tròn xoay bằng diện tích xung quanh của hình trụ đó cộng với diện tích hai đáy của hình trụ.
Stp = Sxq + 2.Sđ — 2nrZ + 7tr2 = 2ĩĩr(Z + r)
Thể tích khối trụ tròn xoay
Thể tích khối trụ tròn có chiều cao h và có diện tích đáy B thì V = B.h = 7rr2h.
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Cho đường tròn tăm o bán kính r nằm trển mặt phảng (P). Từ những điểm M thuộc đường tròn này ta kẻ các đường thẳng vuông góc vói (P). Chứng minh rằng những đường thẳng như vậy nằm trên một mặt trụ tròn xoay. Hãy xác định trục của mặt trụ và bán kinh của mặt trụ đó.
ốjiải
Gọi A là đường thẳng vuông góc với (P) tại tâm o của đường tròn cho trước. Từ những điểm M trên đường tròn ta kẻ những đường thẳng m vuông góc với mặt phẳng (P). Như vậy các đường thẳng m luôn luôn song song với A và luôn luôn cách trục A một khoảng cách r. Do đó các đường thẳng m này thuộc mặt trụ tròn xoay có trục là đường thẳng A và có bán kính bằng r.
Trong mồi trường hạp sau đây, hãy gọi tên các hình tròn xoay hay khối tròn xoay sinh ra bởi:
Ba cạnh của hình chữ nhật khi quay quanh dường thẳng chứa cạnh thứ tư.
Ba cạnh của một tam giác cân khi quay quanh trục dối xứng của nó.
Một tam giác vuông kế cả các điểm trong của tam giác vuông đó khi quay quanh .nột dường thẳng chứa một cạnh góc vuông.
Một hình chữ nhật kể cả các điểm trong của hình chữ nhật dó khi quay quanh dường thẳng chứa một cạnh.
Ốjiải
Ba cạnh của hình chữ nhật khi quay quanh đường chứa cạnh thứ tư sinh ra hình trụ.
Ba cạnh của một tam giác cân khi quay quanh trục đối xứng của nó sinh ra hình nón (đường cao xuâ't phát từ đỉnh tam giác).
Một tam giác vuông kể cả các điểm trong của tam giác vuông đó khi quay quanh đường thẳng chứa một cạnh góc vuông sinh ra khối nón.
Một hình chữ nhật kể cả các điểm trong của hình chữ nhật đó khi quay quanh đường thẳng chứa cạnh sinh ra khôi trụ.
Cho hình nón tròn xoay có đường cao h = 20 cm, bán kinh đáy r = 25 cm.
Tinh diện tích xung quanh của hình nón dã cho
Tính thể tích của khối nón được tạo thành bởi hỉnh nón dó.
Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tăm của đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện là 12 cm. Tinh diện tích thiết diện dó.
Ốịiải
Giả sử SA = l là độ dài đường sinh, SH = h là chiều cao hình nón.
Trong tam giác vuông SOA ta có:	s
SA2 = SO2 + OA2 = h2 + r2 = 202 + 252 = 1025 => SA = 71025
Diện tích xung quanh hình nón là:
SXq = 7irZ = 71.25 ^1025 « 2514,5 (cm2)
Thể tích khôi nón là:
V = 4 7ir2.h = ị ti.252.20 » 13083,3 (cm3)
3	3
Giả sử thiết diện SAB đi qua đỉnh s cắt đường tròn đáy tại A và B. Gọi I là trung điểm của dây cung AB. Từ tâm o của đáy vẽ OH vuông góc với SI.
m TAB 101
Ta có A~ 7	=> AB 1 (SOI) =>ABlOH
[AB 1 SO
,, [OH 1 AB
Từ đó [ II *	=> OH 1 (SAB) nên OH = 12 cm.
OH 1 SI
Trong tam giác vuông SOI ta có: —ị-r- = —+ —4z- OH2 OI2 OS2
1 = _1	Ị_ = JL	Ị_ 256	_	1	_
OI2 OH2	OS2 122	202 ” 57600	225	~	cm'
Xét tam giác vuông OAI ta có AI2 = OA2 - OI2 = 252 - 152 = 202.
Vậy AI = 20 cm.
Ta có: SI.OH = SO.OI => SI =	= 25 (cm)
OH 12
Vậy diện tích thiết diện SAB là: S.sab = 7? SLAB =• 25.20 = 500 (cm2).
2
4. Trong không gian cho hai điểm A, B cố định và có độ dài AB = 20 cm. Gọi d là một đường thẳng thay đổi luôn luôn đi qua A và cách B một khoảng bàng 10 cm. Chứng minh rằng đường thẳng d luôn luôn nằm trên một mật nón, hãy xác định trục và góc ờ đỉnh của mặt
Vậy đường thẳng d luôn luôn thuộc mặt nón nhận đường thẳng AB làm trục và có góc ở đỉnh bằng 2a = 60°.
5. Một hình trụ có bán kinh đáy r - 5 cm và có khoang cách giữa hai đáy là 7 cm.
Tinh diện tích xung quanh của hìnli trụ và thể tích của khối trụ dược tạo nên.
Cắt khối trụ bởi một mặt phẩng song song với trục và cách trục 3 cm. Hãy tinh diện tích của thiết diện dược tạo nên.
Ốịíảl
Đường sinh 1 = 1 cm.
Diện tích xung quanh hình trụ là.
sxq = 2;trZ = 271.5.7 « 219,91 (cm2)
Thể tích khối trụ có chiều cao h = 7 cm là	z
V = 7ir2.h = 7I.52.7 « 549,77 (cm3).
AI2 = OA2 - OI2 = 52 - 32 = 16 => AI = 4 cm => AB = 2AI = 8 (cm)
Mặt phẳng (AA‘, BB') song song với trục 00' và cách trục 3 . cm cắt khối trụ theo thiết diện là một hình chữ nhật ABBIA'. Gọi I là trung điểm của dây cung AB, ta có: OI = 3;
Vì thiết diện ABB'A' là hình chữ nhật nên có diện tích s = AB X AA' = 8 X 7 = 56 (cm2).
Cắt một hình nón bàng một mặt phẳng qua trục của nó ta dược thiết diện là một tam giác
đều cạnh 2a. Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình nón đó.	q
Ốịiải
Giả sử thiết diện là ASAB cạnh 2a. Khi đó bán kính đáy hình nón r = a, độ dài đường sinh l = 2a và chiều cao h = a 73 .
Diện tích xung quanh hình nón là:
Sxq = 71.rZ = Jt.a.2a = 27ia2
Thể tích hình nón là: V = ị nr'.h = 4xa2.a\/3 =
3	3	3
Một hình trụ có bán kính r và chiểu cao h = r \Í3 .
Tinh diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ.
Tính thể tích của khối trụ tạo nén bởi hỉnh trụ dà cho.
Cho hai điểm A, B lần lượt nằm trên hai dường tròn đáy sao cho góc giữa dường thẳng AB và trục của hỉnh trụ bằng 30°. Tinh khoảng cách giữa đường thăng AB và trục của hình trụ.
(/jiai
Ta có h = l = r 73
Diện tích xung quanh hình trụ là:
Sxq = 27irZ = 27tr.r 73 - 2 73 7tr2 Diện tích toàn phần hình trụ là:
stp = Sxq + 2Sđ = 2 73 7tr2 + 2ĩir2 = 2(73 + l)7ir2
b.) Thể tích khối trụ là: V = 7ir2h = 7xr2.rT3 - 73 7ir3
Ta có OA = O'B = r
Gọi AA’ là đường sinh của hình trụ, ta có: O'A' = r và AA' = r 73 Góc giữa đường thẳng AB và trục của hình trụ chính là góc BAA' = 30° Vì 00' song song với mặt phẳng (ABA') nên khoảng cách giữa 00' và AB bằng khoảng cách giữa 00' và mặt phẳng (ABA').
Gọi H là trung điểm của đoạn BA' ta có O’H chính là khoảng cách cần tìm (vì ƠH 1 (AA'B)). Tam giác BA’A vuông tại A' nên ta có:
BA' = AA’tan30ú = r 73 -7= - r.
73
Vậy ABA'O' là tam giác đều cạnh r nên O’H
8. Một /linh trụ có hai đáy là hai hình tròn (O; r) và (O'; r). Khoảng cách giữa hai đáy là
00' = r \Ỉ3 . Một hình nón có đính là O' và có đáy là (O; r).
Gọi Sỉ là diện tích xung quanh của hình trụ và S2 là diện tích xung quanh của hình nón,
, , , s, „
hãy tinh tỉ sô' ~ ?
Mặt xung quanh của hình nón chia khối trụ thành 2 phần, hãy tinh tí số thể tích của hai phần đó.
Ốịiải
a) Ta có l = h = r 73
Diện tích xung quanh hình trụ là:
Sj = 2nr.z = 2xr.r 73 - 2 73 7ir2 O'M là một đường sinh của hình nón ta có:
l' = O'M = 7OO,2+OM2 = 73r2 + r2 = 2r Diện tích xung quanh hình nón là:
S2 = 7trZ' = 7t.r.2r = 2xr2
	£
O’
\l
Vậy
s, _ 273xr2 _ rr
o ~ o 2 -	■
2ĩtr
Khôi trụ và khôi nón có cùng đáy và cùng chiều cao nên thể tích khôi trụ bằng ba lần thể tích khỗì nón. Gọi Vi là thể tích khối nón và v2 là
thể tích phần còn lại của khôi trụ, ta suy ra: 77 = 7 ■
V2 2
Cát hình nón dính s bởi mặt phăng di qua trục ta dược một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng a \Í2 .
Tinh diện tích xung quanh, diện tích dày và thể tích của khối nón tương ứng.
Cho dây cung BC của đường tròn đáy hình nón sao cho mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẵng chứa đáy hình nón một góc 60°. Tính diện tích tam giác SBC.
éỹiải
a) Giả sử cắt hình nón bởi mặt phẳng đi qua trục SO của hình nón đó là tam giác vuông cân SAB (SA 1 SB và AB = a 72 ). Ta suy ra hình nón có
bán kính đáy r =	, chiều cao h = so =
và đường sinh z = a.
Do đó:
i72 TĨTta2
.a =
2 2
7ia2
Diện tích đáy của hình nón là s = 7ir2 = —7- 2
Gọi V là thể tích	khôi	nón ta	có:
..	1	2,.	l a2	ã\Ỉ2	Tỗxa3
V =	—	Ttr h	=	— 71 —. —_— = —7—
3	3	2	2	12
/ 	T	\
Í7-	
c
b) Kẻ OH 1 BC thì SH 1 BC, theo giả thiết ta có SHO = 60°.
=> SH
=5 BC
SO
sin60°
2a
73
=> BH = 7SB2 = SH2 73
2a2 _ a
a ~7T " 73
Diện tích ASBC là Ssbc = I SH.BC = ị.• 2	2 ạ/3	a/3	3
Cho hình trụ có bán kính r và có chiều cao cũng bằng r. Một hình vuông ABCD có hai cạnh AB, CD lần lượt là các dây cung của hai đường tròn đáy, còn cạnh BC, AD không phải là dường sinh của hình trụ. Tính diện tích của hình vuông đó và tinh côsin của góc giữa mặt phẳng chứa hình vuông và mặt phăng đáy.
éỹiải
Gọi c, D’ lần lượt là hình chiếu của 3C và D trên mặt phẳng đáy chứa dây cung AB thì ABC'D' là hình chữ nhật, do đó: AC' = 2r Q Từ các tam giác vuông ABC' và CBC' ta có:
BC'2 = AC2 - AB2 = 4r2 - AB2	(1)
BC'2 = BC2 - CC'2 = AB2 - r2	(2)
So sánh (1) và (2) ta có 4r2 - AB2 = AB2 - r2
=> AB2 = I r2	=> AB =
2 2
Vậy diện tích hình vuông ABCD là Sabcd =
Ta có: BC'2 = ị r2 - r2 = — => Bơ = r
0	... ÂE.EC' r7ĨÕ Tẽ - r2 - r'2^
SABCD. = AB.BC =	= r ~ =
Gọi a là góc giữa mặt phẳng chứa hình vuông ABCD và mặt phẳng đáy,
ta có: cosa = ^ABC'D
JABCD
_ BC' _ BC' _ rTẽ . rTĨÕ _ /3 ~ BC - AB - 2 :	2	" V 5
c. BÀI TẬP LÀM THÊM
Một hình nón tròn xoay có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân có cạnh bên bàng a.
Tính diện tích toàn phần và thể tích hình nón.
Một mặt phẳng qua đỉnh tạo với đáy một góc 60°.
Tìm diện tích thiết diện được tạo nên.
Đáp số: a) Stp = i Tia2 (72 + 1), V = Tra3 72 ;	b) s = a •
2	12	3
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có chiều cao so = h, góc SAB = a (a > 45°). Tính diện tích xung quanh của hình nón dính s và có dường tròn đáy ngoại tiếp hình vuông ABCD của hình chóp.
Đáp số: Sxq =
7tự2h2 cosa 1 - 2cos2a
Cho hình trụ có bán kính đáy r = 50 cm và chiều cao h = 50 cm.
Tính diện tích xung quanh của hình trụ và thể tích khối trụ được tạo nên.
Một đoạn thẳng có chiều dài 100 cm và có hai đầu mặt nằm trên hai đường tròn đáy. Tính khoảng cách từ đoạn thẳng đó đến trục hình trụ.
Đáp sô': a) Sxq = 71.5000 (cm2) V = 125000k (cm3)	b) 25 (cm).