Giải toán 12 Ôn tập chương III

ÔN TẬP CHƯƠNG HI
Các bài toán sau đều cho trong hệ tọa độ Oxyz.
1. Cho bốn điểm A(l; 0; 0), B(0; 1; 0), CtO; 0; 1), D(-2; 1; - 1).
Chứng minh A, B, c, D là 4 dính của tứ diện.
Tìm góc giữa hai dường thẳng AB và CD.
Tinh độ dài đường cao cứa hỉnh chóp A.BCD.
tfiai
Đường thẳng AB đi qua A(l; 0; 0) có vectơ chỉ phương ÃB = (-1; 0; 0). Đường thẳng CD đi qua C(0; 0; 1) có vectơ chỉ phương CD = (-2; 1; - 2) Ta có AC = (-1; 0; 1)
h = [ÃẼ, cd] = (-2; - 2; 1)=> n. Ãc = (-2)(-l) + (-2).o + 1.1 = 3 # 0.
Suy ra AB và CD chéo nhau nên A, B, c, D là bốn đỉnh của một tứ diện. Cách khác: Ta có BC = (0; —1; 1) và BD = (—2; 0; —1)
Mp(BCD) có vectơ pháp tuyến n = [bc, bõ] = (1; -2; -2)
Phương trình mp(BCD) là:
X - 2(y - 1) - 2z = 0 X - 2y - 2z + 2 = 0	(1)
Tọa độ điểm A không thỏa (1) nên A Ể mp(BCD)
Vậy A, B, c, D là bô'n đỉnh của một tứ diện.
b) Ta có:
AB = (-1; 1; 0); CD = (-2; 1; -2)
cos(AB, CD) =
1aB.CD| = |2 + 1 + o| 1 AB.CD 72.70 72
Vậy (AB, CD) = 45°.
Phương trình mp(BCD) là: X - 2y - 2z + 2 = 0
Độ dài đường cao của hình chóp A.BCD là khoảng cách từ A đến
mp(BCD), ta có AH = d(A, (BCD)) = J1**— = 1.
71 + 4 + 4
Mặt cầu (S) có dường kinh là AB biết ràng A(6; 2; -5), B(-4; 0; 7).
Tìm toạ độ tâm I và tính bán kinh r cùa mặt cầu (S).
Lập phương trinh của mặt cầu (S).
Lập phương trình cua mặt phẩng (a) tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm (A).
Ốịlải
Tâm I của mặt cầu là trung điểm của AB. Ta có 1(1; 1; 1), bán kính r = IA = 762 .
Phương trình của mặt cầu (S) là (x - l)2 + (y - l)2 + (z - l)2 = 62.
Mặt phẳng (a) tiếp xúc với mặt cầu (S) tại A, suy ra (a) có vectơ pháp tuyến là ĨA = (5; 1; -6).
Vậy phương trình của mặt phẳng (a) là:
5(x - 6) + l(y - 2) - 6(z + 5) = 0 5x + y - 6z - 62 = 0.
Cho bốn điểm A(-2; 6; 3), B(l; 0; 6), CtO; 2; -1), D(l; 4; 0).
Viết phương trinh mặt phẩng (BCD). Suy ra ABCD là một tứ diện.
Tính chiều cao AH của tứ diện ABCD.
Viết phương trinh của mặt phẳng (a) chứa AB và song song với CD.
Ốịiảl
Ta có BC = (-1; 2; -7), BD = (0; 4; -6)
Mp(BCD) có vectơ pháp tuyến: n = [bc, BD] = (16; -6; -4)
Mp(BCD) đi qua B(l; 0; 6) và có vectơ pháp tuyến n = (16; -6; -4) nên có phương trình là:
16(x - 1) - 6y - 4(z - 6) = 0 « 8x - 3y - 2z + 4 = 0 Vì A g (BCD) nên ABCD là một tứ diện.
Chiều cao AH của tứ diện là khoảng cách từ A đến mp(BCD).
, AIT	_ |8(-2) - 3.6 - 2.3 + 4| _ 36
Ta có: AH = d(A, (BCD)) = ' ,	-	.	= -y==
7s2 + (_3)2 + (-2)2	777
Ta có ÃB = (3; -6; 3), CD = (1; 2; 1)
Mp(ct) chứa AB và song song với CD có vectơ pháp tuyến
n = [Ãẽ, cd] = (-12; 0; 12)
Phương trình mặt phảng (a) là:
-12(x - 1) + 0(y - 0) + 12(x -6) = 0x-z + 5 = 0.
Lập phương trình tham số của dường thẳng
X =-2+ 2t y = 3 - 4t z - -5t
Đi qua hai điếm All; 0; -3), BI3; -1; 0)
Đi qua điểm MỊ2; 3; -5) và song song với dường thẳng .1 có phương trinh
Ốịlảí
Ta có AB = (2; -1; 3)
Đường thẳng AB đi qua A(l; 0; -3) có vectơ chỉ phương AB = (2; -1; 3) X = 1 + 2t
nên có phương trình tham sô' là: < y = -t
z = -3 + 3t
Đường thẳng A có vectơ chỉ phương là: á = (2; -4; -5)
X = 2 + 2t y = 3 - 4t z = -5 - 5t
Đường thẳng d đi qua M (2; 3; -5) song song với A nên cũng có vectơ
chỉ phương ã. Vậy phương trình tham sô' của d là:
Cho mặt cầu (S) có phương trlnli: (x - 3? + (y + 2)2 + (z - 7/ = 100 và mặt pliẩng la) có phương trình: 2x - 2y - z + 9 = 0. Mặt pliẳng (a) cát mặt cầu (S) theo một đường tròn (9ọ). Hãy xác dinh toạ độ tâm và tinh bán kinh cứa dường tròn (‘ệ).
tfiai
Mặt cầu (S) có tâm là 1(3; -2; 1) và có bán kính R = 10.
d(I, (a)) =	+ 2 2 ~1	= 6
V22 + 22 + l2
Ta có: d(I, (a)) = 6 < 10, suy ra mặt phảng (a) cắt (S) theo một đường tròn (tf). Tâm J của (lí) chính là hình chiếu vuông góc của I trên mặt phẳng (a). Đường thẳng A đi qua I và vuông góc với (a) nên A có phương trình là:
X = 3 + 2t
■ y = -2 - 2t
z = 1 -1
A cắt (a) tại J(3 + 2t; -2 - 2t; 1 - t). Vì J e (a) nên ta có:
2(3 + 2t) - 2(-2 - 2t) - (1 - t) + 9 = 0 9t + 18 = 0 t = -2.
Vậy ta được J(-l; 2; 3).
Bán kính r cùa (‘ễ) được tính theo công thức:
r = 7r2 -d2(I,(a)) = V100 - 36 = 8 Vậy đường tròn (^) có tâm J(-l; 2; 3) và bán kính r = 8.
6.
7.
Cho mặt phẳng (a) có phương trình 3x + 5y - z - 2 = 0 và đường thẳng d có phương trình: x = 12+4t ■ y = 9 + 3t ; = / + /
Tỉm giao điếm M cùa dường thẩng d và mặt phàng (a).
Viết phương trình mặt phảng (J3) chứa điểm M và vuông góc với đường thẳng d.
úịiài
a) Thay X = 12 + 4t, y = 9 + 3t, z = 1 + t vào phương trình mp(a) ta được 3(12 + 4t) + 5(9 + 3t) - (1 + t) - 2 = 0 26t + 78 = 0 o t = -3.
Khi đó X = y = 0, z = -2.
Vậy d cắt (a) tại điểm M(0; 0; -2). b) Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là ã d = (4; 3; 1)
Mp(3) vuông góc với d thì (a) có vectơ pháp tuyến h = á(1 = (4; 3; 1) nên (a) có phương trình là:
4(x - 0) + 3(y - 0) + l(z + 2) = 0 4x + 3y + z + 2 = 0.
X = 1 + 3t
Cho điểm Al-l; 2; - 3), vectơ á = (6;-2; -3) và dường thẩng d có phương trình:
y = -l + 2t z = 3 - 5t
Viết phương trình mặt phẳng (a) chứa điếm A và vuông góc với ã .
Tim giao điểm của d và (a).
Viết phương trinh dường thẳng J di quơ điểm A, vuông góc với ã và cắt đường thẳng d.
Ốjiảl
Mặt phẳng (a) đi qua A(-l; 2; -3) có vectơ pháp tuyến h = ã = (6; -2; -3) = 0 nên có phương trình là:
6(x	+	1) - 2(y -	2) - 3(z + 3) = 0 « 6x - 2y + 3z + 1 =	0	(1)
Thay	X =	1	+ 3t, y = -1 + 2t, z = 3 - 5t vào phương trình (1)	ta được
6(1	+	3t) - 2(-l	+ 2t) - 3(3 - 5t) + 1 = 0 o t = 0
Khi đó: X	=	1, y = -1,	z = 3. Vậy d cắt (a) tại điểm M(l; -1;	3).
Đường thẳng A đi qua A vuông góc với giá của ả và cắt đường thẳng d chính là đường thẳng AM. A có vectơ chỉ phương là AM = (2; -3; 6).
X = 1 + 2t
Phương trình tham sô' của A là:
• y = -1 - 3t
Viếí phương trinh mặt phảng (a) tiếp xúc với mặt cầu
(S): X2 + y2 + z2- lũx + 2y + 2ổz + 170 = 0
và song song với hai dường tliẳng: d:
X = -5 + 2t y = l-3t , z = -13 + 2t
d’:
X = -7 + 3t y = -1 - 2t z = 8
z = 3 + 6t
ốịlảl
Đường thẳng d và d' lần lượt có vectơ chỉ là ă = (2;-3;2) và ã’ = (3;-2;0). Mặt phẳng (a) song song với d và d’ có vectơ pháp tuyến
h = [ã, ã’] = (4; 6; 5)
Vậy (a) có dạng: 4x + 6y + 5z + D = 0.
Mặt cầu (S) có tâm 1(5; -1; -13) và bán kính
R = 7a2 + b2 + c2 - d = 725 +1 + 169 -170 = 5
Ta có: (a) tiếp xúc với (S) d(I, (a)) = R
|4.(5) + 6.(-l) + 5.(-13) + D| _ K
7l6 + 36 + 25
	|D-5l| = 5777 » D = 51 ± 5 V77
Vậy ta có hai mặt phẳng (a) thỏa mãn đề bài. Phương trình tổng quát của (a) là: 4x + 6y + 5z + 51 ± 5 777 = 0.
Tìm toạ độ điếm H là hình chiếu vuông góc của điếm M( 1; - 1; 2) trên mặt phẳng (a): 2x - y + 2z + 11 = 0.
tfiai
X = 1 + 2t
• y = -1-t z = 2 + 2t
Gọi d là đường thẳng đi qua M và vuông góc với d thì vectơ chỉ phương của d là ảđ = ri„ = (2; -1; 2).
Phương trình tham sô' của đường thẳng d là:
Giao điểm H của d và (a) là hình chiếu vuông góc của M trên mp(a). Thay X = 1 + 2t, y = -1 -t, z = 2 + 2t vào phương trình mp(a), ta được
2(1 + 2t) - (-1 -t) + 2(2 + 2t) + 11 = 0 9t + 18 = 0 t = -2. Khi đó X = -3; y = 1; z = -2.
Vậy H(-3; 1; -2).
Cho điếm M(2; 1; 0) và mặt phăng (a): X + 3y - z - 27 - 0. Tìm toạ độ điểm M’ dôi xứng với M qua (a).
Ốịiải
Gọi H là hình chiếu của M lên mp(a).
X = 2 + t y = 1 + 3t
Gọi d là đường thẳng đi qua M và vuông góc với (a) d có vectơ chỉ phương là â(i = ri„ = (l;3;-l)
Phương trình tham số của d là:
Thay X = 2 + t, y = 1 + 3t, z = -t vào phương trình mp(a), ta được: (2 + t) + 3(1 + 3t) - (-t) - 27 = 0 « lit - 22 = 0 » t = 2.
Khi đó X = 4; y = 7; z = -2.
Vậy H(4; 7; - 2).
Vì M’ đốì xứng với M qua (a) nên:
MM’ =2MH o
XM. -2 = 2(4-2) yM.-l = 2(7-1) «
ZM. = 2(-2)
XM. = 6
yM =13 ZM' = -4
Vậy điểm đối xứng của điểm M qua mặt phẳng (a) là M’(6; 13; -4).
11. Viết phương trình đường thẳng A vuông góc với mặt phảng toạ độ (Oxz) và cát hai dường
thẳng: d :
X = t
y =-4 + t; z = 3~t
X = 1 - 2t' y = -3 + t' z = 4 - 5t'
Ốịíảl
A vuông góc với mặt phẳng tạo độ (Oxyz) nên A có vectơ chỉ phương là j = (0; 1; 0). Gọi M(t; -4 + t; 3 - t) và M’(l - 2t’; -3 + t’; 4 - 5t’) lần lượt là giao điểm của A với d và d’ (h.34). ta có: MM’ = k J .
Suy ra:
1 - 2t1 = 0 1 + tt = k 1 - 5t'+ t = 0
Từ (1) và (3) suy ra
(1) (2) (3)
t = | 7
f = Ị
Thay t = f vào tọa độ M ta được mÍỆ
7	17	7	7
Vậy phương trình tham sổ" của đường thẳng A là:
3
X = —
7
_ -25 , + y = -zF+t
7
18
Tìm toạ độ diêm A’ đối xứng với điếm Aíl; -2; -5) qua dường thẳng 1 có phương trình: X = 1 + 2t ■y = -l-t z = 2t
Ốịlải
Đường thẳng A có vectơ chỉ phương Gọi (a) là mặt phẳng qua A và vuông góc với A thì (cx) có vectơ pháp tuyến h = ã = (2; -1; 2) do đó phương trình mp(a) là:
2(x - 1) - (y + 2) + 2(z + 5) = 0 o 2x - y + 2z + 6 = 0	(1)
Hình chiếu H của A lên A là giao điểm của A và (a). Thay X = 1 + 2t, y = -1 - t, z = 2t vào (1) ta được:
2(1 + 2t) - (-1 - t) + 4t + 6 = 0 o 9t + 9 = 0 o t = -1.
Khi đó X = -1; y = 0; z = -2.
Vậy H(-l; 0; -2).
Vì A’ là điểm đô'i xứng của A qua A nên:
XA. = -3 yA =2 . z.. = 1
XA -1 = 2.(-1-1)
ÃÀ' = 2 AH yA. + 2 = 2.(0 + 2) 
ZA. + 5 = 2.(-2 + 5)
Vậy điểm đối xứng với A qua đường thẳng A là A’(-3; 2; 1).