Giải Toán 10: Bài 1. Đường thẳng

CHƯƠNG III: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ
TRONG MẶT PHANG
•
§1. ĐƯỜNG THẲNG
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
PHƯƠNG TRÌNH THAM số VÀ PHƯƠNG TRÌNH CHÍNH TAC
a = (aj;a2) là
y = y„ + ta2
2. Phương trình chính tắc của đường thẳng A Q
(àị + a2 * 0)
Phương trình tham số của đường thẳng A đi qua điểm Mo(xo; y0) và có vectơ chỉ phương X = x„ + ta
đi qua điểm Mo(xo; y0) và có vectơ chỉ phương a = (aj a2) là: * - x° = y ~ y° (axa2 0)
^1 "2
Phương trình đường thẳng A đi qua điểm Mo(xo; y0) và có hệ sô' góc k là: y - y0 = k(x - x0).
Nếu A có vectơ chỉ phương a = (aja.j) với a1 * 0 thì hệ số góc của A
• Nếu A có hệ số góc là k thì A có một vectơ chỉ phương là: a = (1; k) ■
II. PHƯƠNG TRÌNH TổNG QUÁT
y
B
(0; b)
/^(a;' 0)
0 X
Phương trình của đường thẳng A đi qua điểm M0(x0; y0) và có-vectơ pháp tuyến n = (A; B) là: A(x - x0) + B(y - y0) = 0 (A2 + B2 * 0)
Phương trình Ax + By + c = 0 với A2 + B2 * 0 As'' gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng, ^/'(a; 0)
Phương trình Ax + By + c = 0 với A2 + B2 0
Đường thẳng A cắt Ox và Oy lần lượt tại A(a; 0) và B(0; b) có phương X y
trình theo đoạn chắn là — + f- = 1 (a, b 0).
a b
VỊ TRÍ TƯƠNG ĐÒÌ CỦA HAI ĐƯỜNG THANG
Cho hai đường thẳng Ap A1x + Bzy +	= 0
A2: A2x + B2y + C2 = 0
Đặt D = A1B2 - A2Bp Dx =	- B2Cp Dy = CjA2 - C2A1
Ta có:
A1 cắt A2 D 0 fD = O
b) Aj // A2 ‘
Dx * 0 hay Dy * 0
Aj = A2 D = Dx = Dy = 0 Chú ỷ: Nếu A2B9C2 * 0 thì:
A	A 1 Ah ll
XA2 2 À-1 _ Bị ct
A1 cat A2 A B
A1 // A2 •» A‘ B
-A A _ A .. Al = 1l = £l
A1 = A2 A‘ B‘ c‘
GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH
1. Góc giữa hai đường thẳng Aj và A2 được tính bởi công thức:
cos(A1; A2) = |cos(ni>n2^|
n, n.
I A2 + BjB2 I
Ựa^ + b^a^ + b
Khoảng cách từ điểm M0(x0; y0) đến đường thẳng A: Ax + By + c = 0
, Á. „	 ,	' |Axo + Byn + c|
được cho bởi công thức d(M„, A) = 	,	—-.
VFTb7
B. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
BÀI 1
Lập phương trình tham số của đường thẳng d trong mỗi trường hợp sau:
d đi qua điểm M(2; 1) và có vectơ chỉ phương U = (3; 4).
d đi qua điểm M(-2; 3) và có vectơ pháp tuyến là n = (5; 1).
Giải
Phương trình tham só d qua M(2; 1) có vectơ chỉ phương 5 = (3; 4)
í X - 2 + 3t là:ịy = l + 4t
Từ giả thiết suy ra đường thẳng d đi qua M(-2; 3) có vectơ chỉ phương V = (l;-5)-
A A	f X = -2.+1
Phương trình tham số của d: ị y _ 3 _ 5t
Lập phương trình tổng quát của đường thẳng A trong mỗi trường hợp sau:
A đi qua M(-5; -8) và có hệ số góc k - -3.
A đi qua hai điểm A(2; 1) và B(-4; 5).
Giải
Kết quả:
3x + y + 23 = 0
2x + 3y - 7 = 0
BÀI 3
Cho AABC biết A( 1; 4), B(3; -1) và C(6; 2).
Lập phương trình tống quát của các đường thẳng AB, BC và AC.
Lập phương trình tham số của đường cao AH, phương trình trung tuyến AM.
Giải
Ta có AB =_(2; -5). Gọi M(x; y) là một điếm nằm trên đường thẳng AB thì AM = (x - 1; y - 4). Ba điếm A, B, M thẳng hàng nên hai vectơ ÃB, ÃM cùng phương, cho ta:
X -1 y - 4
» 5x + 2y - 13 = 0
z	—□
Đó chính là phương trình đường thẳng AB.
Tương tự ta có phương trình đường thẳng BC: X - y - 4 = 0
Phương trình đường thẳng CA: 2x + 5y - 22 = 0.
Đường cao AH là đường thẳng đi qua A(l; 4) và vuông góc với BC.
BC = (3; 3) => AJJ J_ BC nên AH nhận vectơ n = (3; -3) làm vectơ chỉ phương, suy ra phương trình tham số của AH là:
X = 1 + 3t y = 4 - 3t
™	. ĩf9
Gọi M là trung điếm BC, ta có L 2
1
’2
Trung tuyến AM là đường thẳng đi qua hai điểm A, M. Theo cách viết phương trình đường thẳng đi qua hai điếm trong câu a) ta viết được:
AM: X + y - 5 = 0
Viết phương trình tổng quát cúa đường thẳng đi qua điểm M(4; 0) và điếm N(0; -1).
Giải
Phương trình đường thẳng MN:
X y
Y + , = 1 =>x-4y-4 = 0 4	-1	J
BÀI 5
Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau đây:
a) dp 4x - lOy + 1 = 0;
d2:
X = 1 + 2t
y = -3 - 2t
b) dp 12x - 6y + 10 = 0;
d2: "
X = 5 + t
y = 3 + 2t
c) d1: 8x + lOy - 12 = 0;
d2: •
X = -6 + 5t
y = 6-4t
Giải
Đưa phương trình d2 về dạng tổng quát, bằng cách khử t giữa X, y ta được:
d2: X + y + 2 = 0
Kết hợp với d1: 4x - lOy +1 = 0
Ta có D = 1 X (-10) - 2 X 4 = -18 * 0
Vậy dj và d9 cắt nhau.
Tương tự, ta có:	d1: 12x - 6y + 10 = 0
d2: 2x - y - 7 = 0
D = 12 X (-1) - (-6) X 2 = -12 + 12 = 0
Dx = (-6) X (-7) - (-1) X 10 = 42 + 10 = 52 * 0
Vậy dj // d2.
Tương tự, ta có: dp 8x + lOy - 12 = 0
d2: 4x + 5y - 6 = 0 D = 8x5-4xl0 = 0 Dx = 10 X (-6) - (-12) X 5 = 0 Dy = (-12) X 4 - (-6) X 8 = 0
Vậy dj trùng với d2.
f X = 2 + 2t
Cho đường thẳng d có phương trình tham số: j y _ 2 + t Tìm điểm M thuộc d và cách điểm A(0; 1) một khoảng bằng 5.
Giải
Phương trình tống quát của d: d:x-2y + 4 = 0
Gọi M(x0; y0) là điểm thuộc d và cách A(0; 1) một khoảng bằng 5 thì XQ; y0 là nghiệm của hệ:
xo - 2y0 + 4 = 0	(1)
'x2+(y0-l)2 =25	(2)
Từ (1) ta có: x0 = 2y0 - 4
Theávaa (2): (2y0 - 4)2 + (yo - l)2 = 25
« 5y2 - 18y0 - 8 = 0 => y0 = 4; y0 = - j
Với y0 = 4 => xo = 4 => M.J4; 4)
2	24	{ 24. 2 ì
Với y =	=> X = - — => M9
5	°	5	5 5J
<24	2^
Vậy tìm được 2 điểm thỏa mãn bài toán là: Mx(4; 4) và M2I - — I.
BÀI 7
Tìm góc giữa hai đường thẳng d1 và d2 có phương trình: d1: 4x - 2y + 6 = 0 và d2: X - 3y + 1 = 0
Giải
Gọi <p là góc giữa -dỹ7-d2 ta có:
|4.1 + (-2).(-3)|	1
= V4’+ (-2)Ml2 + ws>2 ° '/2	<p = 45»
BÀI 8
Tìm khoảng cách từ điểm đến đường thẳng trong các trường hợp sau:
A(3; 5),	Á: 4x + 3y + 1 = 0
B(l;-2),	d: 3x - 4y - 26 = 0
C(l; 2), m: 3x + 4y - 11 = 0
Giải
4.3 + 3.5 + 1	28
732 +42'
d(A; A) = —
d(B; d) = 3
d(C; m) = 0
BÀI 9
Tìm bán kính của đường tròn tâm C(-2; -2) và tiếp xúc với đường thẳng A: 5x + 12y - 10 = 0.
Giải
Bán kính R của đường tròn tâm C(-2; -2) tiếp xúc với đường thẳng A: 5x + 12y - 10 = 0 thì bằng khoảng cách từ c đến A |5 X (-2) + 12(-2) -10|
=> R =
c. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
BÀI 1
Cho AABC có trọng tâm G(-2, -1), cạnh (AB) có phương trình:
4x + y + 15 = 0; (AC): 2x + 5y + 3 = 0
Tìm tọa độ đỉnh A và trung điểm M của BC.
Tìm tọa độ đỉnh B và phương trình cạnh BC.
BÀI 2
Cho P(3; 0) và hai đường thẳng (dx): 2x - y - 2 = 0 (d2): X + y + 3 = 0
Gọi (d) là đường thẳng qua p và cắt dp d2 tại A, B sao cho PA = PB. Viết phương trình đường thẳng (d).
BÀI 3
Viết phương trình các cạnh của AABC biết A(l; 3) và hai đường trung tuyến của phương trình:
(dx): y - 1 = 0 và (d2): X - 2y + 1 = 0
BÀI 4
Lập phương trình các cạnh của AABC biết B(-4; -5) và hai đường cao hạ từ hai đỉnh còn lại có phương trình: 5x + 3y - 4 = 0 và 3x + 8y + 13 = 0.
BÀI 5
Biện luận vị trí tương đổi của hai đường thẳng theo tham số m A1: 4x - my + 4 - m - 0 A2: (2m + 6)x + y - 2m -1 = 0
BÀI 6
Cho điểm A(-1; 3) và đường thẳng A có phương trình X - 2y + 2 = 0. Dựng hình vuông ABCD sao cho hai đỉnh B, c nằm trên A và các tọa độ của đỉnh c đều dương.
Tìm tọa độ các đỉnh B, c, D.
Tính chu vi và diện tích của hình vuông ABCD.
BÀI 7
Cho điểm M(a; b) với a > 0, b > 0. Viết phương trình đường thẳng qua M và cắt các nửa trục Ox, Oy tại A và B sao cho tam giác OAB có diện tích nhỏ nhất.
BÀI 8
Cho hai đường thẳng
d1: 2x - y - 2 = 0 d2: X + y + 3 - 0
và điểm M(3; 0).
Tìm tọa độ giao điểm của d1 và d.,.
Viết phương trình đường thẳng đi qua M cắt d1 và d2 lần lượt tại điểm A và B sao cho MA = MB.
BÀI 9
Cho tam giác ABC cân tại A, biết phương trình các đường thẳng AB, BC lần lượt là X + 2y - 1 = 0 và 3x - y + 5 = 0. Viết phương trình đường thẳng AC biết rằng đường thẳng AC đi qua điểm M(l; -3).
BÀI 10
Cho ba điểm A(2; 0), B(4; 1), C(l; 2).
Chứng minh rằng A, B, c là ba đỉnh của một tam giác.
Viết phương trình đường phân giác trong của góc A.
Tìm tọa độ tâm I của đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
BÀI 11
Viết phương trình đường thẳng đi qua A(l; 1) và cách điềm B(3; 6) một khoảng bằng 2.
BÀI 12
í X = 2 + at
Xác định các giá trị của a để góc tạo bởi hai đường thẳng jy _ 1 _ 2t và 3x + 4y + 12 - 0 bằng 45°.
BÀI 13
Cho đường thẳng Am: (m - 2)x + (m - 1 )y + 2m - 1 = 0 và hai điểm A(2; 3), B(l; 0).
Chứng minh rằng Aní luôn đi qua một điểm cố định với mọi m.
Xác định m để Am cắt đoạn thẳng AB.
Tìm m đế khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng Am là lớn nhất.
BÀI 14
Qua điểm A(2; -1) vẽ đường thẳng cắt các trục tọa độ tại B và c sao cho A là trung điểm của đoạn thẳng BC. Viết phương trình đường thẳng đó.
BÀI 15
Qua điểm M(4; -3) vẽ đường thẳng sao cho nó tạo thành với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 3. Viết phương trình đường thẳng đó.
BÀI 16
Hai cạnh của tam giác có phương trình 2x - y = 0, 5x - y = 0. Một trong các đường trung tuyến của tam giác có phương trình 3x - y = 0. Thiết lập phương trình cạnh thứ ba của tam giác biết rằng nó đi qua điểm (3; 9).
BÀI 17
Hai cạnh của tam giác lần lượt có phương trình 3x - 2y + 1 = 0 và X - y + 1 = 0. Đường trung tuyến ứng với cạnh thứ nhât có phương trình 2x - y - 1 - 0. Viết phương trình cạnh thứ ba của tam giác đó.
BÀI 18
Một cạnh của tam giác có phương trình X - 2y + 7 = 0. Hai đường trung tuyến ứng với hai cạnh còn lại có phương trình x + y- 5 = 0và2x + y- ll = 0. Hãy viết phương trình hai cạnh còn lại của tam giác.
BÀI 19
Viết phương trình đường thẳng song song và cách đều hai đường thang x + y- l= 0vàx + y-13 = 0.
BÀI 20
Viết phương trình đuhng thẳng cách đều ba điểm A(l; 2), B(3; 0), O(-4; -5).
BÀI 21
Hình bình hành ABCD có tâm 1(1; 6). Các cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt đi qua các điểm P(3; 0), Q(6; 6), R(5; 9), S(-5; 4). Viết phương trình các cạnh của hình bình hành đó.
BÀI 22
Ba cạnh của tam giác ABC có phương trình: AB: 2x + 3y - 1 = 0 BC: x + 2y + 1 = 0 CA: -X + y - 4 = 0
Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác đó.